Новые методы в технике Бохнера и их приложения

В заглавие диссертации вынесено название одного из основных аналитических методов глобальной дифференциальной геометрии. Этот метод является общим для доказательства vanising theorems, в которых констатируется обращение в нуль некоторых топологических или геометрических инвариантов (таких, как числа Бетти или размерность векторного пространства Киллинга) на замкнутом (то есть компактном без границы) римановом многообразии при определённых ограничениях на его кривизну. В основе метода лежит вывод «формул Вейценбёка» (см., напр., [ 2 ], стр. 77 — 83), сравнивающих лапласианы на тензорных полях. Впервые такие формулы были получены С. Бохнером (см. [ 36 ]) для гармонических векторных полей и дифференциальных форм с целью найти условия на кривизну замкнутого риманова многообразия, препятствующие их существованию и, как следствие этого, гарантирующих обращение в нуль чисел Бетти.

Актуальность темы

В каждом из трёх (см. [ 40 ]- [ 55 ] и [ 74 ]) опубликованных обзоров работ, выполненных с использованием «техники Бохнера», список литературы превышал 70 единиц. «Технике Бонера» посвящены монографии К. Яно и С. Бохнера [ 36 ], Б. Шифмана и А. Соммеса [ 68 ], К. Яно [ 78 ], а также отдельные главы и параграфы в монографиях А. Бессе [ 2 ] и [ 3 ], Ш. Кобаяси [11], Ш. Кобаяси и К. Но-мидзу [ 12 ] и [ 13 ], К. Морена [ 19 ], К. Яно [ 82 ] и других авторов. Успех метода базируется на целой серии результатов (см., напр., [ 6 ], [ 38 ], [ 49 ], [ 54 j и [ 77 ]), в которых утверждается существование метрик на полных, замкнутых и компактных с краем многообразиях с тем или иным наперёд заданным условием на кривизну.

Исследования с использованием «техники Бохнера» ведутся постоянно, и подтверждением этому могут служить столь разноплановые, но объединённые одним методом работы последних лет [ 39 ]- [ 44 ]- [ 69 ] и [ 76 ].

Подчёркивая современное значение «техники Бохнера», известный американский математик X. By в предисловии к своему обзору [ 74 ] писал: «By now this technique has achived the status of being part of the basic vocabulary of every geometer» .

К сожалению, отечественная научная литература содержит буквально единицы статей, выполненных с использованием классической «техники Бохнера», и при этом вообще отсутствуют работы, направленные на её развитие.

Степень разработанности темы. Анализ опубликованных к настоящему времени работ зарубежных авторов, которые выполнены с использованием «техники Бохнера», позволяет выделить три особенности в получении результатов.

Во-первых, задача применения «техники Бохнера» всегда решалась персонифицированно: для каждого изучаемого объекта выводилась своя формула Вейценбёка и лишь затем повторялись предписываемые «техникой» шаги. Это очевидно ограничивало возможности её использования.

Однако при первой же попытке самого автора вывести «универсальную» формулу Вейценбёка для исследования внешних дифференциальных форм (см. [ 96 ]) был обобщён остававшийся неизменным с 1968 года результат Т. Кашивады (см. [ 52 ]). Дальнейшие наши исследования глобальной геометрии дифференциальных и симметрических форм ([ 99 ]- [ 115 ] и [ П8 ]), римановых структур почти произведения (см. [ 88 ]- [ 89 ]- [104 ] и [ 108 ]) и отображений римановых многообразий (см. [ 106 ]- [ 109 ]- [111]и[112]) привели к многочисленным новым результатам и обобщениям уже известных к этому времени фактов теории и тем самым подтвердили правильность выбранного метода.

Во-вторых, «техника Бохнера» применялась до последнего времени для исследования объектов на замкнутых и компактных с краем римановых многообразиях (см. об этом в [ 74 ] и [ 78 ]), и только недавно наметилась тенденция к расширению области применения «техники» за счёт переноса уже известных результатов на комплексные, полные римановые и лоренцевые многообразия (см., напр., [ 37 ]- [ 68 ] и [ 69 ]).

К этому ряду статей относятся работы и самого автора [ 119 ]- [ 120 ]- [ 122 ] и [ 125 ], в которых разрабатывается «аффинный аналог» техники Бохнера с последующим приложением его к глобальной лоренцевой геометрии (см. также [ 121 ]- [ 123 ] и [ 124 ]).

В-третьих, несмотря на предпринятые усилия по расширению области применения «техники Бохнера», она продолжает обслуживать внутренние потребности дифференциальной геометрии. При этом за рамками исследований остаются многочисленные задачи смежных наук.

К исключениям можно отнести классическую теорему С. Бохнера об обращении в нуль чисел Бетти на замкнутом римановом многообразиитеорему К. Яно (см. [ 78 ]), распространяющую результат С. Бохнера на компактные римановы многообразия с краем и две работы [41 ] и [ 59 ] физического плана, в которых из полученного К. Яно ещё в 1952 году интегрального уравнения (см. [ 36 ], стр. 44 — 45) выводятся простые следствия для гармонических и киллинговых векторных полей на замкнутых псевдори-мановых многообразиях.

В отличие от перечисленных в работах автора [ 101 ]- [ 106 ]- [ 122 ] и [ 124 ] «техника Бохнера» используется в общей теории относительности для описания динамики релятивистской жидкости и (3 + 1) — расщепления пространства-времени.

Целью диссертационной работы является выработка метода, основанного на теории представлений групп и дифференциальных операторов, позволяющего выводить формулы Вейценбёка в общем виде, пригодном к одновременному изучению «в целом» различных сечений наперёд заданного тензорного расслоения над компакным многообразием с линейной связностью и (псевдо) римановым многообразием.

Кроме решения основной проблемы в диссертации даны приложения этого метода и полученных с его помощью формул Вейценбёка для описания локальной и глобальной геометрий a) пространств сечений касательного расслоения, расслоений внешних дифференциальных и симметрических форм над многообразием с линейной связностью или (псевдо) римановым многообразием, b) структур почти произведения и (псевдо) римановых структур почти произведения, c) отображений и, в частности, субмерсий римановых многообразий, а также для изучения (с возможностью практического применения) следующих объектов релятивистской физики: a) уравнений Эйнштейна и Максвелла, b) тензоров энергии-импульса и электромагнитных колебаний в орентирован-ном во времени пространстве-времени, c) динамики релятивистской жидкости, геометрии (3+1)-расщепления пространства-времени.

Методика исследований опирается на теорию представлений групп, теорию дифференциальных операторов и включает в себя классическую «технику Бохнера» .

Научная новизна работы. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми, обобщающими и дополняющими ставшие уже фактами теории результаты К. Яно и С. Бохнера, К. Номидзу и Ш. Исихары, Н. С. Синюкова и Е. Н. Синюковой, Т. Кашивады, Ж. — П. Бургиньона, А. Навейры и других.

В частности, в работе.

1) введено понятие фундаментального дифференциального оператора первого порядка на пространстве сечений тензорного расслоения над ш-мерным многообразием М с линейной связностью V и (псевдо) римановым многообразием Мнайдены все такие операторы на пространствах сечений касательного расслоения ТМ, расслоений внешних дифференциальных АрМи симметрических 8рМр-форм (1 < р < ш);

2) дана геометрическая интерпретация ядра каждого из найденных фундаментальных дифференциальных операторов, что позволило a) выработать единый подход к изучению внешних дифференциальных и симметрических форм, провести их частичную классификацию, изучить геометрию каждого класса, что и существенно пополнило теорию новыми фактами, b) провести частичную классификацию уравнений Эйнштейна, указав для большинства выделенных классов уравнений их решения, c) выделить и изучить ранее неизвестный класс уравнений Максвелла релятивистской электродинамики;

3) выведен целый ряд «универсальных» формул Веценбёка для сечений расслоений ТМ, ЛрМ и 8рМ над т-мерным с линейной связностью компактным многообразием М с краем или римановым компактным многообразием М с краем, которые связывают значения выделенных фундаментальных операторов на соответствующих сечениях, тензоры Вейля и Риччи, скалярную кривизну многообразия со второй фундаментальной формой края многообразия;

4) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены, но и существенно дополнены результаты С. Бохнера и К. Яно (см. [ 36 ] и [ 78 ]), Т. Кашивады (см. [ 52 ]), М. Берже и А. Грэя (см. [ 2 ], стр. 591 и 613) и других (см., напр., [ 401 и [ 74 ]) по глобальной геометрии векторных полей, дифференциальных и симметрических форм на замкнутых римановых многообразиях, чего нельзя было сделать с помощью «классической техники Бохнера» ;

5) на основе известной задачи теории представлений полной и (псевдо) ортогональной групп о разложении тензорного произведения представлений на неприводимые компоненты получены поточечно неприводимые разложения а) ковариантной производной фундаментального тензора структуры почти произведения на многообразии с линейной связностью и (псевдо) римано-вом многообразии, b) определенной в диссертации второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразия, c) тензоров энергии импульса и электромагнитного поля и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости;

6) дана геометрическая интерпретация каждой из неприводимых компонент полученных разложений, что позволило a) провести частичные классификации структур почти произведения и псевдо-римановых структур почти произведения, которые включили в себя известные классификации А. П. Нордена и А. М. Навейры (см. [ 21 ] и [ 60 ]), и существенно пополнить теорию таких структур новыми фактамиb) выработать подходы к изучению и классификации субмерсий римановых многообразий, позволившие выделить новые виды субмерсий и описать их геометриюc) установить, что выведенные из физических соображений представления тензора энергии-импульса и ковариантной производной единичного поля скоростей релятивистской жидкости (см., напр., [ 15 ], стр. 58 и [ 18 ], стр. 219.

— 220) являются следствием их поточечно неприводимого относительно действия ортогональной группы разложения;

1) получить неизвестное ранее поточечно неприводимое разложение тензора электромагнитного поля заряженной релятивистской жидкости на «электрическую» и «магнитную» компоненты;

7) на основании поточечно неприводимых разложений получены «универсальные» формулы Вейценбёка на компактном (псевдо) римановом многообразии с краем, которые связывают а) тензор кривизны многообразия и неприводимые компоненты разложений ковариантной производной фундаментального тензора римановой структуры почти произведения со скалярным произведением вектора Йордена структуры и единичного вектора нормали края многообразияb) тензор кривизны и неприводимые компоненты разложения второй фундаментальной формы субмерсии риманова многообразияc) тензор Риччи и неприводимые компоненты разложения ковариантной производной единичного поля скоростей релятивисткой жидкости со второй фундаментальной формой края многообразия;

8) с помощью полученных формул Вейцебёка не только обобщены, но и существенно дополнены результаты a) A.M. Навейры и А. Н. Рокаморы (см. [ 61 ] и [66 ]), А. Ранжана (см. [ 67 ]), П. Вальчака (см. [ 76 ]), П. Култона (см. [ 43 ]) и других по глобальной геометрии римановых структур почти произведенияb) К. Яно и Ш. Исихары (см. [ 79 ]), Т. Норе (см. [ 63 ]), 3. Хар Эля (см. [ 51 ]), Е. Н. Синюковой (см. [ 27 ]), Й. Микеша (см. [ 58 ]) и других по глобальной геометрии отображений римановых многообразийc) по динамике течения релятивистской жидкости и проблеме (3 + 1) — ращеп-ления пространства — времени, выраженные в известных теоремах С. Хокин-га (см. [ 25 ], стр. 164), Г. Галовэйя (см. [ 46 ]) и других, чего нельзя было сделать с помощью «классической» техники Бохнера.

Теоретическая и практическая значимость работы подчёркивается эффективностью разработанных методов и широким спектром их приложений, что и демонстрируется как в классической области применения «техники Бохнера» — геометрии векторных полей, симметрических и дифференциальных форм, так и в теории структур почти произведения, геометрии отображений римановых многообразий, а также в геометрической теории тяготения и релятивистской электродинамике.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 29 статьях, одной коллективной монографии и 12 тезисах (см. [ 86 ] - [ 126 ]). Работы [ 120 ] - [ 126 ] выполнены в соавторстве, и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на IX Всесоюзной геометрической конференции (г. Кишинёв, 1988 г.) — Республиканской конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г. Тарту, 1990 г.) — III Всесоюзной школе «Понтрягинские чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ.» (г. Кемерово, 1990 г.) — Международной конференции «Лобачевский и современная геометрия» (т. Казань, 1992 г.) — У Всесоюзной школе «Понтрягинские чтения: Оптимальное управление. Геометрия и анализ» (г. Воронеж, 1994 г.) — Всероссийской школе — коллоквиуме «Стохастические методы геометрии и анализа» (г. Абрау — Дюр-со, 1994 г.) — Международном геометрическом семинаре «Современная геометрия и её приложения», посвященном 100 — летию со дня рождения П. А. Широкова (г. Казань, 1995 г.) — VII Международной школе — семинаре «Современные проблемы теоретической и математической физики» (Казань, 1995 г.) — Международной геометрической школе — семинаре памяти Н. В. Ефимова (г. Абрау — Дюрсо, 1996 г.) — Международных геометрических семинарах имени Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей» (г. Казань, 4−6 февраля 1997 г.) и «Проблемы современной геометрии» (г. Казань, 2−5 декабря 1997 г.). Текст доклада был представлен Международной конференции по дифференциальной геометрии (Будапешт, 1996 г.) и опубликован в её трудах (см. [ 112 ]).

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах: по векторному и тензорному анализу в МГУ (рук. акад. РАН А.Т. Фоменко) — по геометрии «в целом» в МГУ (рук. проф. Э. Г. Позняк, проф. Е. В. Шикин и проф. И.Х. Сабитов) — кафедры геометрии К ГУ (рук. проф. Б.Н. Шапуков) — по геометрии в МИСиС (рук. проф. М.А. Акивис) — кафедры геометрии ХГУ (рук. проф. Ю.А. Аминов) — кафедры геометрии МПГУ (рук. проф. В. Т. Базылев и проф. В.Ф. Кириченко) — по дифференциальным уравнениям в ВлГПУ (рук. проф. В.В. Жиков).

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, списка литературы, содержащего 126 наименований, и занимает 289 страниц машинописного текста.

1. Аминова A.B. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. — УМН, 1993, Т. 48, Вып. 2,107 — 164.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, Т. 1 и Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

3. Бессе А. Четырёхмерная рымановая геометрия: Пер с англ. М.: Мир, 1985.

4. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

5. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления: Пер. с англ. -М.: ИЛ, 1947.

6. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. М.: Наука, 1982.

7. Громол Д. и др. Романова геометрия в целом: Пер. с нем. М.: Мир, 1971.

8. Давидов Й., Сергеев А. Г. Твисторные пространства и гармонические отображения. Успехи матем. наук, 1993, Т. 48, № 3, 3 — 96.

9. Дозморов И. М. Гравитационные системы отсчёта. Теория относительности и гравитация. — М.: Наука, 1976, 73 — 100.

10. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения: Пер. с нем. -М.: Мир, 1975.

11. Кобаяси Ш. Группы преобразований в диффернциальной геометрии: Пер. с англ. М.: Наука, 1986.

12. Кобаяси LLL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, Т. 1: Пер. с англ. М.: Наука, 1981.

13. Кобаяси LLL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, Т. 2: Пер. с англ. М.: Наука, 1981.

14. Кручкович Г. И. Признаки полуприводимых римановых пространств. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1966, Вып. XIII, 399 — 406.

15. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна: Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 1982.

16. МантуровО.В. Элементы тензорного исчисления. М/. Просвещение, 1991.

17. Мизнер Ч. и др. Гравитация, Т. h Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

18. Мизнер Ч. и др. Гравитация, Т. 2: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

19. Морен К. Методы гильбертова пространства: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.

20. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях: Пер. с англ. М.:Мир, 1971.

21. Норден А. П. Теория композиций. Проблемы геометрии, 1978, Т. 10, 117 -145.

22. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.

23. Пале Р. Семинар по теореме Атъи Зингера об индексе: Пер. с англ. — М.: Мир, 1970.

24. Петров А. З. Пространства Эйнштейна. М.: ФМ, 1961.

25. ПенроузР. Структура пространства-времени: Пер. с англ. М.: Мир, 1972.

26. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.

27. Синюкова E.H. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств. Математические заметки, 1981, Т. 30, № 6, 889 — 894.

28. Солодовников A.C., Камышанский Н. Р. Полуприводимые аналитические пространства «в целом». УМН, 1980, Т. 35, Вып. 5,3 — 51.

29. Цыганок И. И. Аффинная геометрия векторных полей. Автореферат на соискание уч. степени к. ф.-м. н. — М: МГПИ, 1990. — 13 с.

30. Шапиро Я. Л. Об одном классе римановых пространств. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1963, Вып. XII, 203 — 212.

31. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях, Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, 1967, ВИНИТИ АН СССР. М.: 1967,127 188.

32. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Riemann'-овых пространствах. Изв. Физ. — матем. о-ва, Казань, 1925, Т. 25, 86 — 114.

33. Широков П. А. О конкурентных направлениях вримановых пространствах. Изв. Казанского физ. — мат. ова, сер. 3, 1939, Т. 7, 77 — 87.

34. Шоке Брюа И. Математические вопросы общей теории относительности. — Успехи матем. наук, 1985, Т. 40, № 6, 3 — 39.

35. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия.: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1948.

36. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти.: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1957.

37. Berard P. A note on Bochner type theorems for complete manifolds. Manuscr. math., 1990, Vol. 69, № 3, 261 — 266.

38. Bishop R.L., O’Neill B. Manifolds of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc., 1969, Vol. 145, 1 -49.

39. Bitis G. Harmonic forms and killing tensor fields. Tensor, 1994, Vol. 55, № 3, 215 — 222.

40. Berard Pierre H. From vanishing theorems to estimating theorem: the Bochner technique revisited Bull. Amer. Math. Soc. 1988, Vol. 19, № 2, 371 — 406.

41. Blau M. Symmetries and pseudoRiemannian manifols. Reports on Mathematical Physics, 1988, Vol. 25, № 1, 109 -116.

42. Brito F., Walczak P.G. Totally geodesic foliations with integrable normal bundles! -Bol. Soc. Bras. Mat., 1986, Vol. 17, № 1,41 46.

43. Coulton P. An intvariant formula for orthogonal distributions. Ann. Global Anal. Geom., 1988, Vol. 6, № 1,47 -54.

44. Fontenele F. Submanifolds with parallel mean curvature vector in pinched Riemannian manifold. Pacif. J. Math., 1997, Vol. 177, № 1,47−70.

45. Gray A. Pseudo Riemannian almost product manifolds and submersions. — Journal of Mathematics and Mechanics, 1967, Vol. 16, № 7, 715 — 737.

46. Galloway Gr. J. Some global aspects of compact space-times. Archiv der Mathematik, 1984, Vol. 42, № 2, 168- 172.

47. GuofangWei and others. Negative Ricci curvature and isometry group. Duke Math. J., 1994, Vol. 76, № 1,59−73.

48. Gil Medrano O. Geometric properties of some classes of Riemannian almost — product manifolds. — Redieonty del Circolo Matematico di Palermo, serie II, 1983, Vol. 32, 315−329.

49. Hass J. Bounded 3 manifolds admit negatively curved metric with concave boundary. — J. Differential Geometry, 1994, Vol. 40, № 3,449 — 459.

50. Hangan T., Lutz R. Champ d’hyperplans totalement geodesiques sur les spheres. Asterisque, 1983, № 107 — 108, 189 — 200.

51. Har' El Zvi. Projective mappings and distortion theorems. J. Differential Geometry, 1980, Vol. 15,97- 106.

52. Kashiwada T. On conformai Killing tensor. Natural Science Report, Ochanomizu University, 1968, Vol. 19, № 2,67 — 74.

53. Lichnerowicz A. Operateurs differentiels invariants sur un espace homogene. AnnalesScientifiques de l’E cole Normale Superieure (3), 1964, Vol. 81, 341 385.

54. LohkampJ. Negatively Ricci curved manifolds. Bull. Amer. Math. Soc., 1992, Vol. 27, № 2, 288 — 291.

55. Matthias W. Die Bochner-methode und Sius starrheitssatz. Bonn. Math. Schr., 1989, № 198, 1−58.

56. Montesinos A. On certain classes of almost product structures. Michigan mathematical journal, 1983, Vol. 30, № 1, 31 — 36.

57. Meyer D. Sur les varietes riemanniennes a operateur de coubure positif C. R. Acad. Sci. Paris, Serie A, 1971, Vol. 272,482 — 485.V.

58. Mike s J. Global geodesic mappings and their generalizations for compact Riemannianspace. Conf. on Diff. Geom. and its Appl. (Opava, August 24 — 28, 1992): Abstracts. -Opava, 1992, 143 — 149.

59. Muzinich I.J. Differential geometry in the large and compactification of higherdimensional gravity. J. Math. Phys., 1986, Vol. 27, № 5, 1393 — 1397.

60. Naveira A.M. A classification on Riemannian almost product manifolds. Rendiconti di matematica e delle sue applicazkmi, 1983, Vol. 3, № 3, 577 592.

61. Naveira A.M., Rocamora A.H. A geometrical obstruction to existence two totally umbilical complementary foliations. Notes Math., 1985, № 1139, 263 — 279.

62. Nomizu K. On completeness in affine differential geometry. Geometriae dedicata, 1986, Vol. 20,43 — 49.

63. Nore T. Second fundamental form of a map. Ann. mat. pure ed appl., 1987, № 146, 281−310.

64. Ponge R., Reckziegel H. Twisted products in pseudo Riemannian geometry. — Geom. dedic., 1993, Vol. 48, № 1, 15 — 25.

65. ReinhartB.L. Differential geometry of foliations. Berlin — New York: Springer Verlag, 1983.

66. Rocamora A.H. Some geometric consequences of Weitzenbock formula on Riemannian almost product manifoldsweak — harmonic distributions. — Illinois Jornal of Math., 1988, Vol. 32, 655−671.

67. Ranjan A. Structural equations and an integral formula for foliated manifolds. Geom. dedic., 1986, Vol. 20, № 1, 85 — 91.

68. Shiffman B., Sommese A. J. Vanishing theorems in complex manifolds, Progress in Math., Vol. 56 — Boston: Birkh#user, 1985.

69. Sanchez M., Romero A. An integral inequality on compact Lorentz manifolds, and its applications Bull. London Math. Soc., 1996, Vol. 28, № 5, 509 — 513.

70. Tashibana Sh. On conformal Killing tensor in a Riemannian space. Tohoku Math.Journ., 1969, Vol. 21, 56−64.

71. TashibanaSh. On Killing tensor in a Riemannian space. Tohoku Math. Journ., 1968, Vol. 20, 257 — 264.

72. Tanno Sh. Patially conformal transformation with respect to (mI)-dimensional distributions of m-dimensional Riemannian manifolds. Tohoku Math. J., 1965, Vol. 17, № 4, 358 — 409.

73. Tanno Sh. A theorem on totally geodesic foliations and its applications. Tensor, 1972, Vol. 24, 116- 122.

74. WuH. The Bochner technique. Proc. Beijing Symp. Differ. Geom. and Differ. Equat. (Aug. 18 — Sept. 21, 1980). — New York: Science — Press & Gordon — Breach, 1982, 929- 1071.

75. Walczak P.G. On quasi-Riemannian foliations. Ann. Global Annal. Geom., 1991, Vol 9, № 1,83−95.

76. Walczak P.G. An integral formula for a Riemannian manifold with two ortogonal complementary distributions. Colloqium mathematicum, 1990, Vol. 58, Fasc. 2, 244 — 252.

77. Yau S.T., Zhiyong Gao L. The existence of negatively Ricci curved metric on three manifolds. Invent, math., 1986, Vol. 85, 637 — 652.

78. Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry. New York: Marcel Dekker, 1970.

79. Yano K., Ishihara Sh. Harmonic and relatively affine mappings. J. Differential Geometry, 1975, Vol. 10,501 — 509.

80. Yano K. Affine connexions in an almost product space. Kodai Math, Sem. Reports, 1959, Vol. 11, № 1, 1 -24.

81. YanoK. Concircular geometry I IV. — Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1940, Vol. 16, 195 — 200, 354 — 360,442 — 448, 505 — 511.

82. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. Oxford: Pergamon Press, 1965.

83. Yano К. On torse forming directions in Riemannian spases. — Proc. Imp. Acad. Tokyo, Vol. 20, 1944, 701 — 705.

84. Yoon Y.D., Chi D.P. On an affine connection which admits a volume-like form. Can.Math. Bull., 1990, Vol. 33, № 4, 482 487.

85. Yamaguchi S., Jun Jae-Bok, Ayabe S. On the conformai Killingp-form in compact Kaeh-lerian manifolds. Tensor, 1985, Vol. 42, № 3, 258 — 271. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

86. Степанов С. Е. Сферическое распределение в евклидовом пространстве. Известия вузов. Математика, 1986, № 9, 76 — 78.

87. Степанов С. Е. Скалярная кривизна римановой структуры почти произведения. IX Всесоюзная геометрическая конференция (Кишинёв, 20 — 22 сентября 1988 года): Тезисы докладов. — Кишенёв: Штиинца, 1988, С. 299.

88. Степанов С. Е. Об одном классеримановых структур почти произведения. Известия вузов. Математика, 1989, № 7,40 — 46.

89. Степанов С. Е. Техника Бохнера в теории римановых структур почти произведения. Матем. заметки, 1990, Т. 48, № 2,93 — 98.

90. Степанов С. Е. Компактное риманово многообразие почти произведения. Проблемы теоретической и прикладной математики (Тарту, 21−22 сентября 1990 года): Тезисы докладов. — Тарту: Тартусский университет, 1990,72 -74.

91. Степанов С. Е. Кривизна и распределение. ~ III Всесоюзная школа «Понтрягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ» (Кемерово, 24 сентября- 3 октября 1990 года): Тезисы докладов. Кемерово: Кемеровский гос. ун — т, 1990, С. 73.

92. Степанов С. Е. Геометрическое препятствие к существованию вполне омбилического распределения на компактном многообразии. Ткани и квазигруппы. — Калинин: Калининский гос. ун — т, 1990, 135 — 137.

93. Степанов С. Б. Минимальное гиперраспределение на компактном многообразии.- Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1991, № 22, 101 104.

94. Степанов С. Е. Римановы структуры почти произведения и отображения постоянного ранга. Геометрия и анализ. — Кемерово: Кемеровский гос. ун — т, 1991, 39 — 41.

95. Степанов С. Е. Симметрические тензоры на компактном римановом многообразии.- Международная конференция «Лобачевский и современная геометрия» (Казань, 18 22 августа 1992 года): Тезисы докладов. — Казань: Казанский гос. ун-т, 1992, 94 — 95.

96. StepanovS.E. The seven classes of almost symplectic strutures. Webs & Quasigroups.- Tver': Tver' State University, 1992, 93 96.

97. Степанов С. Е. Симметрические тензоры с постоянным следом. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1992, № 23,94 — 96.

98. Степанов С. Е. Бежевы субмерсии. Известия вузов. Математика, 1992, № 5, 93 —95.

99. Степанов С. Е. Симметрические тензоры на компактном римановом многообразии.- Матем. заметки, 1992, Т. 52, № 4, 85 88.

100. Степанов С. Е. Техника Бохнера и космологические модели. Известия вузов. Физика, 1993, № 6, 82−86.

101. Степанов С. Е. О проективных субмерсиях и иммерсиях в целом. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1993, № 24, 97 — 101.

102. Степанов С. Е. Вторая фундаментальная форма субмерсии. V Всероссийская школа «Понтрягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ» Воронеж, 25 29 апреля 1994 года): Тезисы докладов. — Воронеж: Воронежский гос. ун — т, 1994, С. 132.

103. Степанов С. Б. Об одном классе замкнутых форм на римановом многообразии.- Всеросийская школа коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа (Абрау — Дюрсо, 25 сентября — 2 октября 1994 года): Тезисы докладов. — М.: ТВП, 1996, 110- 111.

104. Степанов С. Е. Интегральная формула для компактного многообразия сримановой структурой почти произведения. Известия вузов. Математика, 1994, № 7,69 — 73.

105. Степанов С. Е. О замкнутых пространственноподобных гиперповерхностях.- Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1994, № 25,91 96.

106. Степанов С. Е. К теории отбражений римановых многообразий в целом. Известия вузов. Математика, 1994, № 10, 81 — 88.

107. Степанов С. Е. Гармонические отображения. VI Всероссийская школа «Понт-рягинские чтения: Оптимальное управление, геометрия и анализ» (Воронеж, 20 — 26 апреля 1995 года): Тезисы докладов. — Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 1995, С. 72.

108. StepanovS.E. An integral formula for a Riemannian almost product manifold. -Tensor, 1994, Vol 55, № 3, 209 — 214.

109. Степанов С. Е. К глобальной теории проективных отображений. Матем. заметки, 1995, Т. 58, № 1, 11−118.

110. Степанов С. Е. Плоские дифференциальные формы. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1995, № 26, 84 — 89,.

111. Степанов С. Е. 0(п) хО (mп) структуры на m — мерных многообразиях и суб-мерсии. — Алгебра и Анализ, 1995, Т. 7, № 6,188 — 204.

112. Stepanov S.E. On the global theory of some classes of mappings. Annals of Global Analysis and Geometry, 1995, Vol 13, № 3, 239 — 249.

113. Степанов С. Е. Об одном применении теории представлений групп в релятивистской электродинамике. Известия вузов. Физика, 1996, № 5,90−93.

114. Степанов С. Е. Неприводимые представления ортогональной группы и геометричеекая теория тяготения. В кн.: Лекционные заметки по теоретической и математической физике, Т. 1, Часть 2. — Казань: Казанский гос. ун-т, 1996,449 — 461.

115. Степанов С. Е. О применении одной теоремы П. А. Широкова в технике Бохнера. Известия вузов. Математика, 1996, № 9, 53 — 59.

116. Stepanov S.E. A class of closed forms and special Maxwell equations. Conference on Differential Geometry (Budapest, July27 — 30,1996): Abstracts. — Budapest, 1996, P. 113.

117. Степанов С. Е. Плоские дифференциальные 2- формы и специальные уравнения Максвелла. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1996, № 27,107 — 111.

118. Степанов С. Е. О групповом подходе к изучению уравнений Энштейна и Максвелла. -Теоретическая и математическая физика, 1997, Т. 111, № 1, 32 43.

119. Stepanov S.E., Tsyganokl. L Vector fields in manifolds with equiaffine connection. -Webs & Quasigroups. Tver': Tver' State University, 1993, 70 — 77.

120. Степанов С. Е., Цыганок И .И. Техника Бохнера в аффинной дифференциальной геометрии. Алгебраические методы в геометрии. — М.: Российский ун-т дружбы народов, 1992, 50 — 55.

121. Степанов С. Е., Цыганок И. И. Векторное поле на лоренцевом многообразии. Известия вузов. Математика, 1994, № 3, 81 — 83.

122. Степанов С. Е., Цыганок И. И. Оператор Ходжа на многообразии с эквиаффинной структурой. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1996, № 27,114. 117.

123. Степанов С. Е., Цыганок И. И. Единичное торсообразующее векторное поле. Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1995, № 26,103 107.

124. Степанов С. Е., Цыганок И. И. Векторное поле на лорещевом многообразии. Лоба чевский и современная геометрия (Казань, 18−22 августа 1992 года): Тезисы докладов. — Казань: Казанский гос. ун-т, 1992, С. 108.