Обобщенный процесс плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями: вычисление и применения

Вопросы эквивалентности, абсолютной непрерывности и сингулярности распределений случайных процессов, а также вид их плотности являются классическими и находят применение в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, финансовой математике.

Одним из хорошо исследованных и широко встречающихся в приложениях классом случайных процессов являются процессы с независимыми приращениями. Первые результаты о плотностях распределений непрерывных процессов с независимыми приращениями были получены Р. Камероном и В. Мартином в работах [13, 14] в связи с изучением вопроса о замене переменных в интеграле по винеровской мере. Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и формула для их плотности были получены А. В. Скороходом [4, 5] (см. также статью И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [1]).

Необходимые и достаточные условия абсолютной непрерывности распределений произвольных семимартингалов с независимыми ириращени-ями и выражение для их процесса плотности были получены Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [3] и Ж. Жакодом [22] как следствие общей теории, детальное изложение которой можно найти в монографии Ж. Жакода, А. Н. Ширяева [23].

Выражение для плотности абсолютно непрерывной компоненты одного распределения относительно другого без предположения об абсолютной непрерывности в случае процессов Леви было получено К. Сато [36]. Упомянем также работы Ч. Ньюмена [34, 35] и Ж. Мемена, А. Н. Ширяева [33], прилегающие к этому кругу вопросов.

Понятие большей информативности статистических экспериментов было введено X. Боненбластом, Л. Шепли, С. Шерманом в 1949 году в неопубликованной работе и развито в статьях Д. Блекуэлла [11, 12]. Дальнейшее развитие теория получила, в первую очередь, в работах JL Ле Кама и Э. Торгерсена, см. монографии [29, 41]. «Очень часто» эксперименты несравнимы между собой (что привело к введению JI. Jle Ка-мом понятия дефекта одного эксперимента относительно другого [30]), и даже если они сравнимы, то доказать это бывает непросто. Большинство из известных результатов о сравнимости конкретных экспериментов относятся к случаю гауссовских экспериментов или экспериментов с параметром сдвига, а в качестве стандартного приема при доказательстве использовался рандомизационный критерий Ле Кама.

В последние годы в финансовой математике стали появляться задачи, в которых требуется максимизировать или минимизировать /-дивергенцию по некоторому множеству пар вероятностных мер, причем нередко это требуется сделать одновременно для всех выпуклых функций /. Последнее эквивалентно нахождению наиболее или наименее информативного в некотором множестве бинарных экспериментов.

Так, задача, двойственная задаче максимизации полезности, состоит в минимизации /-дивергенции между «физической» мерой и абсолютно непрерывными локально мартингальными мерами (см., например, [27, 37]). Как правило, если локально мартингальная мера неединственна (т.е. рынок является неполным), мера, на которой достигается минимум /-дивергенций, зависит от функции /.

Весьма распространенное предположение о модели финансового рынка состоит в том, что процесс цен есть экспонента от процесса Леви относительно «физической» меры. Для некоторых специальных / было доказано, что относительно локально мартингальной меры, доставляющей минимум в указанной выше задаче минимизации /-дивергенции, процесс цен также является экспонентой от процесса Леви (см., в частности, работы [15, 18, 19, 21, 25]), однако нет оснований предполагать, что это справедливо для всех выпуклых /.

В работе А. А. Гущина и Э. Мордецки [2] рассматривалась задача нахождения верхней и нижней цен выпуклых опционов европейского типа. Был предложен подход к решению этой задачи, основанный на нахождении наиболее и наименее информативных экспериментов в некотором множестве бинарных экспериментов. Для реализации этого подхода в конкретных моделях ими была доказана так называемая лемма о сравнении, дающая достаточные условия сравнимости бинарных экспериментов, отвечающих наблюдениям за случайными процессами с непрерывным временем, т. е. в ситуации, когда применение рандомизационного критерия затруднено и, может быть, даже невозможно. Однако, даже в случае наблюдения за процессами Леви условия леммы о сравнении являются только достаточными, но, вообще говоря, не необходимыми.

Упомянем еще работу А. Шида [38], в которой была полностью решена задача максимизации робастной полезности на полном рынке в предположении, что существует субъективная мера, на которой достигается минимум /-дивергенции между субъективными мерами и единственной локально мартингальной мерой одновременно для всех выпуклых функций /. Иными словами, во множестве соответствующих бинарных экспериментов существует наименее информативный.

В работе Д. Крамкова и М. Сирбу [28] доказано, что существование так называемого риск-толерантного процесса капитала (что означает важные качественные свойства цен платежных обязательств, основанных на принципе максимизации полезности) для всех функций полезности эквивалентно существованию эквивалентной супермартингальной меры, максимизирующей /-дивергенцию между всеми эквивалентными супермартингальными мерами и «физической» мерой одновременно для всех выпуклых функций /. Другими словами, речь идет о существовании наиболее информативного в соответствующем множестве бинарных экспериментов.

Круг вопросов, рассматриваемых в настоящей диссертации, во многом мотивирован перечисленными выше задачами из финансовой математики. В частности, решается следующая задача. Берется произвольный семимартингал с независимыми приращениями. Усредняя его локальные характеристики по времени, мы преобразуем его в процесс Jle-ви. Показано, что этот процесс Леви «ближе» к любому процессу Ле-ви, чем исходный процесс, где «большая близость» процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями, что эквивалентно сравнимости бинарных экспериментов, составленных из распределений соответствующих процессов.

Из этого результата вытекает следующий факт. Предположим, что на некотором пространстве с фильтрацией на конечном временном интервале задан процесс Леви. Пусть также есть мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс является процессом с независимыми приращениями. Тогда найдется третья мера, абсолютно непрерывная (эквивалентная) относительно исходной, по которой рассматриваемый процесс есть процесс Леви, и которая «ближе» (в прежнем смысле) к исходной мере, чем вторая. При этом, если процесс был мартингалом по второй мере, то он им останется и по третьей. Этот факт может быть полезен при решении задач минимизации /-дивергенции, рассмотренных выше.

В решении задачи, касающейся усреднения локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, используется доказанный в диссертации критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви, и имеющий самостоятельный интерес для теории сравнения бинарных экспериментов, поскольку он позволяет строить вспомогательные эксперименты, эквивалентные исходным, но более удобные для сравнения.

Как для решения задачи об усреднении локальных характеристик семимартингала с независимыми приращениями, так и для доказательства критерия эквивалентности экспериментов требуется уметь вычислять обобщенный процесс плотности распределения произвольного семимартингала с независимыми приращениями относительно распределения процесса Леви без предположения о локальной абсолютной непрерывности этих распределений.

В диссертации решается более общая задача: установлен вид обобщенного процесса плотности распределений двух произвольных семимартингалов с независимыми приращениями. Таким образом, обобщаются упомянутые выше результаты, относящиеся к локально абсолютно непрерывному случаю и случаю процессов Леви.

Цель работы.

Диссертация преследует следующие цели.

• Получить представление для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.

• Показать, что процесс Леви, полученный из семимартингала с независимыми приращениями усреднением локальных характеристик по времени, «ближе» к любому процессу Леви, чем исходный процесс, в смысле большей близости всех /-дивергенций между их распределениями.

• Получить критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

• Получены два представления для обобщенного процесса плотности распределений двух семимартингалов с независимыми приращениями без предположения об их локальной абсолютной непрерывности.

• Показано, что усреднение локальных характеристик по времени преобразует семимартингал с независимыми приращениями в процесс Леви, который «ближе» к любому процессу Леви, чем исходный процесс. «Большая близость» процессов понимается как большая близость всех /-дивергенций между их распределениями.

• Доказан критерий эквивалентности бинарных экспериментов, составленных из распределения семимартингала с независимыми приращениями и распределения процесса Леви.

Методы исследования.

В работе применяются методы стохастического исчисления и теории статистических экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, теории случайных процессов, а также в различных областях приложения теории случайных процессов, в частности, в статистике случайных процессов, анализе, теории информации, а также в задачах финансовой математики.

Апробация диссертации и публикации.

Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар «Стохастический анализ: теория и приложения», проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, г. Москва, март 2009 v.

2. Международная конференции студентов, аспирантов и молодых учёных :£Ломоносов-2009″, г. Москва, апрель 2009 г.

3. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Н. Ширяева, г. Москва, март 2010 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]—[10].

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 41 наименований. Общий объем диссертации составляет 85 стр.

1. Гихман И. И., Скороход А. В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах. // Успехи матем. наук. 1966. Т. 21, № 6. С. 83−152.

2. Гущин А. А., Мордецки Э. Границы цен опционов для семимар-тингальных моделей рынка. // Тр. МИАН. Т. 237. Стохастическая финансовая математика. М.: Наука, 2002. С. 80−122.

3. Кабанов Ю. М., Липцср Р. Ш., Ширяев А. Н. Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений II. // Матем. сб. 1979. Т. 108(150), № 1. С. 32−61.

4. Скороход А. В. О дифференцируемое&tradeмер, соответствующих случайным процессам. // Теория вероятн. и ее примен. 1957. Т. 2 № 4. С. 417−443.

5. Хихол С. А. Формула для обобщенного процесса плотности распределений семимартингалов с независимыми приращениями. // Теория вероятн. и ее примен. 2009. Т. 54, № 4. С. 716−729.

6. Хихол С. А. Усреднение локальных характеристик приближает се-мимартингал с независимыми приращениями к процессам Леви. // Успехи матем. наук. 2010. Т. 65, № 2. С. 199−200.

7. Хихол С. А. Усреднение локальных характеристик сближает семи-мартингал с независимыми приращениями с процессами Леви. // М.: МГУ имени М. В. Ломоносова, 2010. 25 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.03.2010, № 143-В2010.

8. Blackwell D. Comparison of experiments. // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1950 — University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951. P. 93 102.

9. Blackwell D. Equivalent comparisons of experiments. // Ann. Math. Statistics. 1953 Vol. 24. P. 265−272.

10. Cameron R. H., Martin W. T. Transformation of Wiener integral under translation. // Ann. Math. 1944. Vol. 45. P. 386−396.

11. Cameron R. //., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under a general class transformation. // Trans. Amer. Math. Soc. 1945. Vol. 58. P. 184−219.

12. Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by Levy processes. 11 Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, № 2. P. 504−528.

13. Csiszar I. Eine Informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodizitat von Markoffschen Ketten. /1 Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1963. Vol. 8. P. 85−108.

14. Eberlein E., Jacod J. On the range of options prices. // Fin. and Stoch. 1997. Vol. 1. P. 131−140.

15. Esche F., Schweizer M. Minimal entropy preserves the Levy property: how and why. 11 Stoch. Proc. Appl. 2005. Vol. 115. P. 299−327.

16. Fujiwara TMiyahara Y. The minimal entropy martingale measures for geometric Levy processes. // Finance Stoch. 2003. Vol. 7, № 4. P. 509 531.

17. Hubalek F., Sgarra C. Esscher transforms and the minimal entropy martingale measure for exponential Levy models. // Quantitative Finance. 2006. Vol. 6, № 2. P. 125−145.

18. Hurd T. R. A note on log-optimal portfolios in exponential Levy markets. // Statististics and Decisions. 2004. Vol. 22, № 3. P. 225−233.

19. Jacod J. Calcul stochastique et problemes de martingales. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979. (Lect. Notes Math. Vol. 714).

20. Jacod J., Shiryaev A. N. Limit theorems for stochastic processes. Second edition. Berlin: Springer-Verlag, 2003.

21. Jakubenas, P. On option pricing in certain incomplete markets. // Tp. МИАН. T. 237. Стохастическая финансовая математика. M.: Наука, 2002. С. 123−142.

22. Jeanblanc М., Kloppel S. and Miyahara Y. Minimal /^-martingale Measures for Exponential Levy Processes. // Ann. Appl. Probab. 2007. Vol. 17, № 5/6, P. 1615−1638.

23. Kallsen J. Optimal portfolios for exponential Levy processes. // Math. Methods Oper. Res. 2000. Vol. 51, № 3. P. 357−374.

24. Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets. // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, № 3. P. 904−950.

25. Kramkov D., Svrbu M. Sensitivity analysis of utility-based prices and risk-tolcrance wealth processes. // Ann. Appl. Probab. 2006. Vol. 16, № 4. P. 2140−2194.

26. Le Cam L. Asymptotic methods in statistical decision theory. New York: Springer-Verlag, 1986.

27. Le Cam L. Sufficiency and approximate sufficiency. // Ann. Math. Statist. 1964. Vol. 35, P. 1419−1455.

28. Liese F., Miescke K. Statistical decision theory. Estimation, testing and selection. Springer (Springer Series in Statistics), 2008.

29. Liese F., Va, jda I. Convex statistical distances. Leipzig: Teubner, 1987.

30. Memin J., Shiryayev A. N. Distance de Hellinger-Kakutani des lois correspondant a deux processus a accroissements independants. // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1985. Vol. 70, № 1, P. 67−89.

31. Newman C. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 78 P. 268−271.

32. Newman C. On the orthogonality of independent increment processes. // Topics in probability theory. Courant Inst. Math. Sci., New York, 1973. P. 93−111.

33. Sato K. Density transformation in Levy processes. Lecture notes for «Concentrated advanced course on Levy processes». // MaPhySto, Centre for Mathematical Physics and Stochastics, Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, 2000.

34. Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative. // Ann. Appl. Probab. 2001 Vol. 11, N2 3. P. 694−734.

35. Schied A. Optimal investments for robust utility functional in complete market models. 11 Math. Oper. Res. 2005 Vol. 30, № 3. P. 750−764.

36. Shiryaev A. N., Spokoiny V. G. Statistical experiments and decisions. Asymptotic Theory. Syngapore: World Scientific, 2000.

37. Strasser H. Matematical theory of statistics. Berlin: de Gruyter, 1985.

38. Torgersen E. Comparison of statistical experiments. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.