Математическое моделирование спиральных течений идеального газа

Диссертация посвящена применению математического моделирования и численных методов для описания придонных течений восходящих закрученных потоков, имеющих спиральный характер. В основу теоретического исследования положена предложенная в книге [ 1 ] схема возникновенния и устойчивого функционирования восходящего закрученного потока (ВЗП) газа.

Исследование поддержано РФФИ, проекты 08−01−52 и 11−01−198.

Актуальность темы

В природе довольно часто встречается интересное явление — ВЗП воздуха. В качестве примеров таких потоков можно привести многочисленные смерчи и торнадо, регулярно наблюдаемые на юге США и в других, достаточно теплых и ровных местностях. К подобным явлениям относятся и периодически возникающие тропические циклоны. В книгах На-ливкина Д.В. [2, 3] и Вараксина А. Ю. [35—42, 58] приведены многочисленные примеры реальных торнадо и тропических циклонов, наблюдавшихся на протяжении большого промежутка времени и приносивших многочисленные разрушения и человеческие жертвы.

Несмотря на то, что большое число исследователей на протяжении десятилетий активно занимается проблемой ВЗП (см., например, [4—33]), к настоящему времени у упомянутых авторов отсутствует достаточно убедительная теория, объясняющая причины возникновения, функционирования и естественного исчезновения таких течений и подтвержденная как экспериментально, так и адекватным математическим моделированием.

Методы исследования. В работе использованы аналитические и численные методы исследования математической модели — нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными — системы уравнений газовой динамики (СУГД) в условия действия силы тяжести и силы Кориоли-са (СК).

Для указанной СУГД поставлены две конкретные начально-краевые задачи. Решение первой описывает движение газа, вызванное заданным стоком. Это решение представляется в виде сходящегося ряда и проводится анализ первых коэффициентов рядов, что позволяет с использованием конечного отрезка ряда качественно смоделировать движение газа в начальные моменты времени. Решение второй задачи описывает трехмерное стационарное движение газа в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости. Показано, что при определенных условиях решение этой задачи существует в виде аналитических функций.

Кроме это в диссертации используются численные методы построения решений СУГД, описывающие трехмерные стационарные спиральные течения.

Для этого используется начальный отрезок ряда, задающий это аналитическое решение. Коэффициенты начального отрезка ряда численно строятся при решении соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В виде графиков представлены распределения газодинамических параметров исследуемых течений. В виде таблицы приведены некоторые числовые показатели, являющиеся итоговым анализом общих характеристик рассматриваемых течений газа.

Целями работы являются:

1. Математическое моделирование течений газа в начальные моменты времени, вызванных заданным стоком из покоящегося в поле тяжести газа в условиях действия силы Кориолиса. Математическое моделирование течений газа в условиях действия указанных сил в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости численными и аналитическими методами.

2. Численное построение трехмерных стационарных спиральных течений, описывающих движение воздуха в придонных частях торнадо и тропических циклонов.

Научная новизна работы заключается в следующем: Математическое моделирование:

• впервые построено решение задачи о стоке газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса;

Численные методы:

• при численном нахождении значений начальных отрезков сходящихся рядов, зависящих от трех независимых переменных, впервые проведены расчеты трехмерных стационарных спиральных течений, результаты которых соответствуют данным натурных наблюдений за торнадо различных классов и за тропическим циклоном средней интенсивности;

Комплексы программ:

• создан программный пакет, ориентированный на численное решение рассматриваемых задач с использованием результатов аналитического моделирования. Результатами работы одной части этого комплекса являются определение численных значений коэффициентов ряда, в том числе с помощью численного решения системы, состоящей из 14 обыкновенных дифференциальных уравнений. Другая часть комплекса по насчитанным табличным значениям и при последующем решении своей системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений восстанавливает траектории движения отдельных частиц газа. Третья часть комплекса с использованием готового пакета Golden Software Grapher 9 позволяет в различных пространствах и в различных ракурсах визуализировать результаты расчетов. С помощью созданного программного пакета проведены массовые расчеты газодинамических течений. Программный пакет прошел государственную регистрацию.

Теоретическая ценность работы состоит в следующем. Впервые в модели движения сплошной среды строго обоснованы факт возникновения в горизонтальном течении закрутки газа и направление этой закрутки под действием силы Кориолиса при наличии радиального стока. Тем самым, в частности, дано теоретическое обоснование результатов соответствующих экспериментальных исследований группы А. Ю. Вараксина, опубликованных в 2008;2012 годах в журнале «Теплофизика высоких температур» [35— 42, 58].

Впервые поставлена и исследована начально-краевая задача, решения которой моделируют трехмерные стационарные течения, имеющие место в придонных частях ВЗП в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.

Практическая ценность работы состоит в том, что численно построенные решения моделируют сложные течения воздуха, имеющие место в реальных торнадо и тропических циклонах, и дают числовые характеристики газодинамических параметров этих течений.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на:

Международной конференции «X Забабахинские научные чтения» — Снежинск, РФЯЦ-ВНИИТФ, 2010;

Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» — посвященной 110-летию академика М. А. Лаврентьева, Новосибирск, 2010;

Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» — посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко, Новосибирск, 2011; X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Нижний Новгород, 2011;

Международной конференции «XI Забабахинские научные чтения» — Снежинск, РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012; А также на:

Научной сессии НИЯУ МИФИ — 2011, Снежинск, 2011; Всероссийской школе молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил» — Институт проблем механики РАН, Москва, 2010; 42-й Всероссийской молодежной школе — конференции, Екатеринбург: Инстатут математики и механики УрО РАН, 2011;

Международной (43-й Всероссийской) молодежной школе — конференции, Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012; Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики, математики, информатики — 2012» с международным участием, посвященной памяти С. Н. Черникова, И. Ф. Верещагина, Л. И. Волковысского, ПГ-НИУ, Пермь, 2012.

Публикации.

По теме диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, из них 7 в соавторстве, в том числе работы [1, 2] в изданиях по перечню ВАК. В работах [6] и [7] приведены подробные выкладки доказательств теорем, опубликованных в работах [1] и [2] соответственно. Работа [3], изданная Pleiades Publishing, является переводом статьи [2]. Также опубликованы 11 тезисов в трудах различных конференций [10−20].

Статьи в изданиях из списка ВАК.

1. Баутин С. П., Баутин П. С., Белова Е. Д., Замыслов В. Е., Крутова И. Ю., Мезенцев A.B., Обухов А. Г. Математическое моделирование природных восходящих закрученных потоков типа торнадо // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4 (2). С. 384−385.

2. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Закрутка газа при плавном стоке в условиях действия сил тяжести и Кориолиса // Теплофизика высоких температур, 2012 год, том 50, № 3. С. 473−475.

Статьи в других изданиях.

3. Bautin S.P., Krutova I.Yu. Twisting of Smooth Gas Flow under the Action of Gravity and Coriolis Forces// High Temperature, ISSN 0018−151X, Pleiades Publishing, Ltd.2012, Vol. 50, No. 3, pp. 444−446.

4. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Об одном численно-аналитическом моделировании течений газа при учете действия силы Кориолиса. // Краевые задачи и математическое моделирование [Текст]: тематич. Сб. науч. Ст.: в 3 т. Т. 1. / НФИ ГОУ ВПО «КемГУ» — под общ. Ред. В. О. Каледина, — Новокузнецк, 2010. С. 36−42.

5. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Первушина H.A. Об одном численно-аналитическом методе решения начально-краевых задач для эволюционных систем уравнений с частными производными. // Проблемы прикладной математики, механики и информатики: сб. научн. трудов // Под общей ред. С. Л. Дерябина, д-ра физ.-мат. наук. — Екатеринбург: УрГУПС, 2010. Вып. 84 (167)/ 4 м. С. 52−69.

6. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Задача о плавном стоке в переменных г, t как характеристическая задача Коши стандартного вида. // Научный журнал.

Вестник Уральского государственного университета путей сообщения" № 1 (9), 2011 годЕкатеринбург, издательство УрГУПС 2011. С. 4−13.

7. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Задача о плавном стоке газа в переменных t, г, ip, z при учете сил тяжести и Кориолиса. // Проблемы прикладной математики, механики и информатики: сб. научн. трудов // Под общей ред. C.JI. Дерябина, д-ра физ.-мат. наук. — Екатеринбург: Изд-во Ур-ГУПС, 2011. -Вып. 95 (178)/6м. С. 16−43.

8. Крутова И. Ю. Задача о движении газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости. // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения, № 1 (13), 2012 годЕкатеринбург, издательство УрГУПС 2012. С. 14−22.

9. Крутова И. Ю. Трехмерное стационарное движение газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости. // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения, № 3 (15), 2012 годЕкатеринбург, издательство УрГУПС, 2012,.С. 16−23.

Тезисы в трудах конференций.

10. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Первушина H.A. Об одном численно-аналитическом методе решения начально-краевых задач для эволюционных систем уравнений с частными производными. // Забабахинские научные чтения: сборник материалов X Международной конференции 15−19 марта 2010.-Снежинск: Издательство РФЯЦ-ВНИИТФ, 2010. С. 276−277.

11. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Рощупкин A.B. Закрутка газа силой Кориолиса. // Международной конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, посвященная 110-летию академика М. А. Лаврентьева: 23−27 августа 2010 г., тезисы докладов, Новосибирск, 2010. С. 75−75.

12. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Первушина H.A. Решения начально-краевых задач для эволюционных уравнений с частными производными методом, близким к методу Бубнова-Галеркина. // XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики посвященная памяти К. И. Бабенко: тезисы докладов, Дюрсо, 15−20 сентября 2010. С. 10−11.

13. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Численно-аналитическое исследование значений газодинамических характеристик, изменяемых в придонной части восходящего закрученного потока. // Всероссийская школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил Москва, 30 ноября — 2 декабря 2010 г.- сборник тезисов докладов. С. 21−22.

14. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Задача о плавном стоке при наличии силы Кориолиса. // Современные проблемы математики. Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы — конференции, 30 января — 6 февраля 2011 г, Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011. С. 90−92.

15. Баутин С. П., Замыслов В. Е., Крутова И. Ю. Математическое моделирование вихрей типа торнадо. // Научная сессия НИЯУ МИФИ — 2011, Сне-жинск, 1−5 февраля 2011 г.- сборник тезисов докладов. С. 21−21.

16. Баутин С. П., Крутова И. Ю. Аналитическое исследование течений газа, закрученных действием силы Кориолиса. // Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко- 30 мая-4 июня 2011 г., тезисы докладов, Новосибирск, Академгородок, 2011. С.120−120.

17. Крутова И. Ю. Закрутка газа силой Кориолиса при плавном стоке. // Современные проблемы математики. Тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы — конференции, 29 января — 5 февраля 2012 г. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 372−374.

18. Баутин С. П., Белова Е. Д., Крутова И. Ю., Обухов А. Г. Математическое моделирование разрушительных природных восходящих закрученных потоков. // Забабахинские научные чтения: сборник тезисов XI Международная конференция 16−20 апреля 2012. Снежинск: Издательство РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. С. 283−284.

19.Крутова И. Ю. Закрутка газа силой Кориолиса при плавном стоке. // XIX Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики посвященная памяти К. И. Бабенко: тезисы докладов, Дюрсо, 15−20 сентября 2012. С. 5759.

20.Крутова И. Ю. Математическое моделирование спиральных течений идеального газа. //Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы механики, математики, информатики — 2012» с международным участием, посвященная памяти С. Н. Черникова, И. Ф. Верещагина, Л.И. Волко-высского: тезисы докладов, ПГНИУ, Пермь, 30 октября — 1 ноября 2012. С. 98−98.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Текст диссертации содержит 105 страниц печатного текста, 75 рисунков, 14 таблиц. Список использованной литературы включает 58 наименований работ российских и зарубежных авторов.

§ 8. Общие выводы о свойствах спиральных трехмерных стационарных течениях.

Анализ приведенных графических зависимостей параметров газа в придонной части ВЗП позволяет отметить следующие характерные особенности их поведения с течением времени.

1. Течение в придонной части восходящего закрученного потока принципиально трехмерное. При этом наличие стока при г -> го + 0 существенно влияет на все течение и абсолютное изменение всех газодинамических параметров настолько велики (относительно), что при г —> гд + 0 «рябь» в потоке практически исчезает. Это иллюстрируют рисунки 8.1 и 8.2.

Рис. 8.2.

2. При увеличении интенсивности восходящего закрученного потока (при переходе к торнадо более высогкого класса и к тропическому циклону) трехмерность потока проявляется все более существенно (смотри рисунки 8.3 и 8.4). ян.

Л09 .

0.004. я И Яр ш щ я ¡-¡-ш ¦рр

Р в § 11 1 ЯК Яйй ш ¦ 11 Я ¦ш нр

Ш Ншн ¡-ряр 1Я ЯРР 9 т щ ?§| рш ш ИР Шш ж ШШ ???"1 щ ¦¡-¡-Ш шйм! ш ВИШй ре ¡-¡-РЯ! 41Ш.

— си.

— Од.

Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

3. «Рябь» в потоке имеет достаточно незначительные изменения в безразмерных переменных. Тем не менее в размерных переменных изменения, например, по высоте траектории движения частиц, представляется достаточно ощутимыми: от метров для торнадо с маленьким номером по шкале Фудзито до десятков сотен метров для тропического циклона средней интенсивности. Полученные количественные характеристики изменения газодинамических параметров хорошо согласуются с основными данными натурных наблюдений за природными ВЗП: скорости ветра в окрестности вертикальной части ВЗП, а также радиусами вертикальной части природных ВЗП.

4. Изменения газодинамических параметров во всей придонной части ВЗП на качественном уровне также согласуются с «рябью» наблюдаемой в природных ВЗП.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Представленные в диссертации результаты математического моделирования следующие:

1) используется давно апробированная и проверенная практикой математическая модель: СУГД с единственным исходным упрощением — предположением об изэнтропичности исследуемых течений. Это упрощение часто и успешно используется для моделирования течений газа, не содержащих ударные волны. А в природных ВЗП как раз и наблюдается их отсутствие;

2) для СУГД — квазилинейной системы уравнений с частными производными — поставлены конкретные начально-краевые задачи, которые и соответствуют газодинамическому смыслу рассматриваемых задач, и с точки зрения математики поставлены правильно;

3) для рассмотренных задач доказаны теоремы о существовании и единственности их решений;

4) эти решения представлены аналитически либо в виде начальных отрезков сходящихся рядов по степеням специальным образом введенных независимых переменных, либо в виде первых коэффициентов разложений искомых решений в ряды по степеням малых параметров, входящих в СУГД регулярно. Оба эти аналитические метода, правильные с математической точки зрения, давно и успешно применяются для исследования задач газовой динамики;

5) численное построение решений рассматриваемых начально-краевых задач для СУГД проводится при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений, хорошо зарекомендовавшим себя при решении очень многих и очень важных прикладных задач. Правильность работы вычислительных программ установлена как сопоставлением результатов расчетов, проведенных разными исследователями по своим персональным программам, так и стандартными для численных методов приемами (сравнение с тестовыми примерами и тому подобное).