Некоторые конструктивные методы построения периодических решений линейных дифференциальных систем в частных производных

Линейные системы дифференциальных уравнений в частных производных являются одним из важных объектов исследования современного математического анализа, что обусловлено как многочисленными приложениями последних в различных областях естествознания, так и их особыми свойствами. В силу этого проблемы, связанные с разработкой простых и эффективных методов интегрирования линейных и нелинейных систем в частных производных, всегда представляли и предстаьляют интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Классическая точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений (следуя Ж. Адамару) состояла в отыскании «общего интеграла», т. е. решения уравнения, содержащего столько произвольных параметров или произвольных функций, сколько необходимо, чтобы представить все решения, за исключением некоторых особых. В последние годы особенно интенсивно развивается иная точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений. Задача (в большинстве приложений) состоит не в нахождении общего решения дифференциального уравнения, а в выборе среди них некоторого единственного решения, определяемого дополнительными краевыми условиями. Тем не менее возможность представить общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества.

К настоящему времени разработано и фактически применяется большое число разнообразных методов интегрирования дифференциальных уравнений, основанных на принципиально различных идеях.

Среди них важное место занимают итерационные методы и различные модификации метода малого параметра, представляющие собой одно из мощныхсредств современной прикладной математики. В эпоху бур ного развития вычислительной техники эти методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они дают возможность получать приближенные аналитические представления решений сложных линейных и нелинейных краевых задач, делать заключения о существовании, единственности и области существования решений. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных «тестовых» решений, а в ряде случаев являются и основой для разработки вычислительных методов. Кроме того, при построении аналитических приближений решений ряда задач по специальным алгоритмам, для определения необходимых числовых коэффициентов разложения могут быть использованы современные ЭВМ, что значительно расширяет практическую роль аналитических методов.

Цель настоящей работы — разработка и исследование эффективных аналитических методов построения периодических решений линейных дифференциальных систем в частных производных. В основу этих методов положены идеи и представления, разработанные в теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Краевые задачи, связанные с изучением периодических решений дифференциальных уравнений в частных производных, имеют большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики, техники (в последнее время биологии) и занимают важное место в современной теории дифференциальных и интегральных уравнений (см., например,[I]). Исследование условий существования и единственности периодических решений осуществляется на основе хорошо разработанной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на основе методов функционального анализа, особенно интенсивно развивающихся в последнее время.

Использование функционального подхода для изучения периодических решений нелинейных уравнений в частных производных обусловлено прежде всего необходимостью преодоления трудностей, связанных с «потерей производных» (см. [2−4]), а также стремлением исследовать самые общие свойства операторов, отвечающих рассматривавмым задачам. Функциональный подход позволяет устанавливать теоремы существования и единственности решения весьма сложных краевых задач в соответствующих пространствах (см., например, [4]). В то же время проблемам аналитического представления решений дифференциальных систем и эффективным конструктивным способам их построения не уделяется должного внимания, и эти вопросы менее разработаны. Об этом можно судить, в частности, и по имеющейся литературе, посвященной данному кругу вопросов.

В связи с этим обстоятельством разработка конструктивных методов построения периодических решений и получение достаточных коэффициентных условий разрешимости соответствующих краевых задач представляются актуальными как с теоретической, так и с практической точек зрения.

В работах, посвященных конструктивному анализу дифференциальных систем в частных производных, выделим прежде всего задачи, поставленные для гиперболических систем и уравнений, как имеющие важное прикладное значение и тесно примыкающие к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для изучения квазипериодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений? х/а = /м с квазипериодической правой частью в монографии [5] изложен подход, основанный на рассмотрении вспомогательной системы в частных производных вида с периодической по правой частью. Это дало возможность записать условие квазипериодичности решения с помощью конечных уравнений (разрешимость которых устанавливается на основании теорем о неявных функциях) и получить ряд важных результатов.

В то же время выяснилось, что изучение этих и более общих систем в частных производных представляет известный интерес, так как они находят применение в некоторых разделах математики и в прикладных задачах. В связи с этим обстоятельством в монографии [б] были изучены многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью, содержащих различные малые параметры. Для таких систем удается избежать «потери производных», поскольку они сводятся к соответствующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разработан мощный аналитический аппарат. Тем не менее, там же отмечается, что такое сведение может привести к обеднению свойств уравнений в частных производных. Кроме того, многие системы в частных производных вообще не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому обобщение изло женных в монографиях [5,б] результатов представляет важную задачу.

Следует сказать, что задача о периодических решениях линейных и нелинейных гиперболических систем и уравнений явилась предметом многочисленных исследований. Обширная библиография по этому вопросу содержится в [1,7] (см. также[8−10]).

Отметим работы [10,11−14], в которых построение периодических решений осуществляется на основе метода последовательных приближений. Обратим внимание также на идею Проди [4,стр.502], которая связана с представлением периодического решения.

Изучению периодических решений автономных волновых уравнений посвящены работы [15−18] (см. также и библиографию в них). Специфика этих задач заключается в том, что период искомого решения является неизвестной величиной и определяется в процессе построения решения. При этом, как правило, искомые период и решение представляются в виде степенных рядов по малому параметру.

Для линейных гиперболических уравнений и систем с постоянными и переменными по Ь коэффициентами, рассмотренных в [7], периодические решения предлагается строить в виде рядов Фурье по независимым переменным. Возникающие при этом трудности в обосновании сходимости этих рядов связаны с проблемой малых знаменателей.

Для непосредственного построения периодических решений некоторых линейных гиперболических уравнений целесообразно использовать метод поэтапного разделения переменных, предложенный в работе [19].

В последнее время в связи с биологическими и другими приложениями интенсивно исследуются периодические решения систем уравнений параболического типа [20−27]. Менее разработана теория периодических решений систем уравнений эллиптического типа (см., например, [28−30]) Наиболее изученными в этом плане можно считать лишь скалярные параболические и эллиптические дифференциальные уравнения. В частности, отметим работы В. А. Треногина, А.М.Тер-Крикорова.

31], посвященные исследованию длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений, работы А. Б. Васильевой [32,33], связанные с изучением периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, а также работы Ю. А. Дубинского [34], в которых исследуются периодические решения нелинейных уравнений бесконечного порядка. Заметим, что периодические решения общих (без ограничения на тип) линейных систем в частных производных слабо изучены.

С точки зрения конструктивных методов отыскания периодических решений дифференциальных систем в частных производных также представляют интерес работы [35−38], в которых рассматриваются некоторые специальные системы в частных производных.

Основная цель настоящей работы — разработка эффективных аналитических методов построения периодических решений дифференциальных систем в частных производных и нахождение достаточных коэффициентных условий разрешимости рассматриваемых краевых задач, а также — исследование возможностей конструктивного способа преодоления трудностей, связанных с «потерей производных» .

Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.

В первой главе на основе подхода, предложенного в [39] и основанного на идеях метода малого параметра и учете аналитической структуры матрицы Грина периодической краевой задачи, развивается методика построения периодических и многопериодических решений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от X коэффициентами, и обосновывается конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с «потерей производных» .

В частности, в § 1.1,1.2 разработаны алгоритмы построения периодических поI: и многопериодических решений линейной системы вида г+1Ш §?, = т) и + с периодическими по ^ коэффициентами, а также алгоритмы построения периодических решений этой системы с дополнительным условием.

В последующих двух параграфах разработаны алгоритмы построения решений следующих краевых задач:

За ^ л /лЗа да дх1 где К^Э/дх) — любая линейная комбинация операторов дифференцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, и) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от? ;

Ж?ш^ШъМФ = ^' ренцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, О) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от.

Обоснование сходимости всех предложенных алгоритмов построения периодических решений указанных выше задач проведено в соответствующем банаховом пространстве, которое позволяет преодолеть трудности, связанные с «потерей производных». Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных задач.

Во второй главе эта же методика применяется к гиперболическим системам и уравнениям, которые, как известно, допускают интегрирование с помощью итерационных методов, у которых не происходит «потери производных» .

В первом параграфе с помощью характеристик строится двоякопе-риодическое решение полулинейной гиперболической системы вида.

Во втором и четвертом параграфах обосновывается метод последовательных приближений для решения классических краевых задач:

I. где СИ) — диагональная матрица. и (4,о)=и (1яг) = о ,.

В третьем параграфе на примере линейной краевой задачи ии-ихх=еШ)и + 4(*, х), выясняются причины возникновения «потери производной» в методе Фурье.

Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости указанных задач.

Заключительная третья глава представляет собой дополнение к первым двум главам. В ней рассмотрены некоторые вопросы, связанные с непосредственным построением решения задачи Коши как для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка, так и для канонических гиперболических систем. Кроме того, для линейной системы вида с непрерывными по I и аналитическими по X коэффициентами и свободным членом получены коэффициентные оценки аналитического по X решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности метода последовательных приближений.

Полученные результаты могут найти применение в научно-исследовательских работах, проводимых Могилевским отделением Института физики АН БССР, на кафедре математики физического факультета МГУ, Львовским институтом прикладных проблем механики и математики.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [59, 60,65,66,69,70,ПО] и обсуждены на семинаре Ю.А.кубинского по дифференциально-операторным уравнениям, на семинаре А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова по теории сингулярных возмущений, на семинаре В.Я.Ско-робогатько, Б. И. Пташника по теории дифференциальных уравнений и их применению, на семинаре А. И. Перова по нелинейным колебаниям, на семинаре П. Е. Соболевского по дифференциальным уравнениям.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. В результате проведенных исследований разработана методика построения мало изученных периодических и многопериодических решений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от х коэффициентами. Получены коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных краевых задач. Обоснован конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с «потерей производных» .

2. На основе этой методики для гиперболических систем и уравнений разработаны эффективные методы решения классических краевых задач, имеющих важное прикладное значение. Впервые сформулированы достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости этих задач.,.

3. Для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка и канонических гиперболических систем разработаны эффективные методы решения задачи Коши. Получены коэффициентные оценки аналитического по х решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности метода последовательных приближений, которые улучшают уже известные результаты.

1. Vej, vodiL 0. Pclulcl1.?^?nenlial equciUons: Ume-petiodic solutions. — USA, Sijlhoff A/oozcLkoff, im. -358p.

2. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения.-Успехи мат. наук, 1968, т.23,вып.4,с.179−238.

3. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике.-Киев:Наукова думка, 1969. -245с.

4. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М.: Мир, 1972.-588с.

5. Харасахал В. Х. Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений.-Алма-Ата:Наука КазССР, 1970.-200с.

6. Умбетжанов Д. У. Почти многопериодические решения дифференциальных уравнений в частных производных.-Алма-Ата:Наука КазССР, 1979. -211с.

7. Полищук В. Н., Пташник Б. И. Периодическая краевая задача для линейных гиперболических уравнений и систем.-Львов, 1982.-60с. (Препринт/ ФМИ им. Г. В. Карпенко, АН УССР.: № 64).

8. Погореленко В. А. Обобщение теоремы Рабиновича о периодических решениях нелинейного волнового уравнения.-Воронеж, 1979.-31с. -рукопись деп. в ВИНИТИ 24.07.79,№ 3042.

9. Се$а.г1Ь. ВхЫепсе. 1п Ог&- 1алуе о/рег1ос11с 5о^йопз я/7 курм-кйс. ралИа1 ¿-¿-¡-{егеШа? ?(?иа.иоп$.- Аикше (ог 1}аИока1 Меch.tLn.tis а. пс1 ?nalpis, /965, 20, а/3, р. </70-/90.

10. Че.}УО (1(10. Pttiod. it о/а ¿-шаг сигс/. -щшк^у поп.?Сигаггс ?(?и, а.Шп. ¿-пот ?Сггшъио/ьСъесАо$ 1ошк Ма{к. Уошипл1,1964, {4 (89), а/3, р. Ш~382.

11. Карп В. Н. Применение метода волновых областей к решению задачи о вынужденных нелинейных периодических колебаниях струны.-Изв. высш.учебн.заведений.Математика, 196I,№ 6,с.51−59.

12. Карп В. Н. О существовании и единственности периодического решения одного нелинейного уравнения гиперболического типа.- Изв. высш.учебн.заведений.Математика, 1963,№ 5,с.43−50.

13. УумсШ-О. эоЛШо/гз Ьо ш&к1у попйпеаг сьикпотом ыаиъ е. с/иа.Ььом.-Сгёско^ог/а'к Мсфь. Уош/гаI, 1975⁵(100), У4, р.53Б-554.

14. Тш&^.РггЫа $о1и11оп$ non.lin.ecti иг&и-е. гци^СопЗ ¿-п. п-кттшпМ spa.ce. -$ 1АМ Ъагпа1 Арр (. Ма-И., Ш, 34,.

15. Иманалиев М., Алымкулов К. Отыскание периодических решений нелинейных волновых уравнений.-Сердика Българско математическо списание, 1980, 6, № 1,с.З-8.

16. СкоигД Регьоскс ъоЬ^ьопЬ о^ попйишг шЬопотоил куре^ойс. ^ио+иопъ.-исЫъе. ¿-п. МаУшпаАм, ШО^Ш^.

17. Черский Ю. И. Метод поэтапного разделения переменных.-Мат.методы и физ.-мех.поля.Киев, 1980,12,с.Ю-14.

18. Митряков А. П. 0 периодических решениях систем нелинейных уравнений параболического типа.-Труды Самаркандского университета, 1962,119,с.109−114.

19. КизалрТ. А штагк оп а. Ьоапс/агу рюМ&т. ?>/ ьагабо&сypt.-P'wc. У&рсиг Acad., {986,42, H, p. iO-iZ.

20. Вишневский M.П. Периодические и близкие к ним решения параболических систем.-Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1974, 16, с.84−90.

21. Rosen G. Necissavy condition foi the msien.ee. of peuodiu $ o lui Co nb to sguetns of ii&cUon-diffusion ?tjuciUons.- Ma-lh. Biosc?)?944,2/, t/3−9, p. US-m.

22. Загорский Т. Н., Кобзарев В. И. О периодических решениях некоторой параболической системы.-В сб.:Дифференц.уравнения и их приложения. Днепропетровск, 1976, с. I72-I8I.

23. Httde&iK.P. Nonlineax diffusion, цш1сол$ ?n icotyyLeciuit Noki in MCLIUmcliics, 1 т, 5Й, р.№-гое.

24. Rosen Ptuodic solutions h systems of uaciiorL-diffusion, iqiLCL-iions. Joutnai FicLnkiirL Inst, /М, 301 n р

25. Васильева A.B., Дворянинов С. В., Розов Н. Х. К асимптотической теории колебаний в сингулярно возмущенных параболических системах.-IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Киев, 1981, с. 79.

26. Shade U. Kirne periodische, ?osuruj&n eei п1Мйл. шг^ slaikMij>huch?n. s^ie-пгвп. vori pazUeI?? n. cLffete/be?afy?e?cAMn.g?sr. -Mamsci. maih., im, a/3, $.Z5i-ZU.

27. Мухамадиев Э. К теории периодических решений нелинейных систем уравнений эллиптического типа.-Докл.АН СССР, 1973,208,№ 5,с.1035−1037.

28. Байзаев С. 0 периодических решениях нелинейной обобщенной системы Коши-Римана.-Докл.АН ТаджССР, 1979,22,№ 1,с.3−6.

29. Тер-Крикоров A.M., Треногин В. А. Решения типа длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной полосе. -Дифференц.уравнения, 1967,3,№ 3,с.496−508.

30. Васильева A.B., Дворянинов C.B. 0 периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа.-Научные труды Куйбышев. г о с.пед.ин-та, 1979,232,с.145−154.

31. Васильева А. Б. О периодических решениях уравнений эллиптического типа с малыми параметрами.-Дифференц.уравнения, 1982, 18, № I2, c.2I74−2I78.

32. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. -Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, 1976, т.9,с.5−130.

33. Ткач Б. П. К отысканию периодических решений систем уравненийсо смешанными частными производными нейтрального типа.-Качеств, методы теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев, 1977, с.130−140.

34. Иванов В. А., Шакибалиев Р. Ш. Существование периодических или почти периодических решений одного класса уравнений в частных производных в критическом случае.-Москва, 1978.-11с.(Препринт / Институт теоретической и экспериментальной физики.:№ 166).

35. Тажимуратов И. 0 применении метода Пуанкаре для одной системы уравнений в частных производных первого порядка типа Пфаффа.-Научные труды Куйбышев.гос.пед.ин-та, 1980,236,с.95−102.

36. Тажимуратов И. 0 периодических решениях одной системы уравнений в частных производных первого порядка.-Мат.заметки, 1981,30, If 3, с.363−369.

37. Лацтинский В. Н. Об одном алгоритме построения периодических решений линейных систем второго порядка.-Изв.АН БССР, сер.физ.-мат.наук, 1978,№ 3,с.113−116.

38. Ковалевская C.B. К теории дифференциальных уравнений в частных производных. Научные работыЛраздел.М.:Изд-во АН СССР, 1948.-368с.

39. Леднев H.A. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными.-Мат.сборник, 1948, т.22,вып.2,с.205−266.

40. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.-М.:Физматгиз, 196I.-400с.

41. Филатов А. Н. Обобщенные ряды Ли и их приложения.-Ташкент: Изд-во ФАН УзССР, 1963.-108с.

42. Курант Р. Уравнения с частными производными.-М.:Мир, 1964.-830с.

43. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными произ водными.-М.:Мир, 1965.-379с.

44. Демидов Г. В. Некоторые приложения обобщенной теоремы Ковалевской. -Численные методы механики сплошной среды. Информационный бюллетень, 1970, I,№ 2,с.10−32.

45. Cescm’L. Fmcuonai cLncLipiS cuud loan-daiy mlue f>.i12*i34.

46. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977.-504с.

47. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.-М.: Мир, 1977.-232с.

48. Бондаренко Б. А., Филатов А. Н. Квазиполиномиальные функции и их приложения к задачам теории упругости.-Ташкент:Изд-во ФАНУзССР, 1978.-176с.

49. МiyaktM. А иттк ort i/ut Invtts, -bhiOiem. fr? C&utky-Kow&hirsU.-Pwc. У&р&п. Acad.} ?930, sei. A, 56, a/2, p. 55−58.

50. Аграчев A.A."Вахрамеев С. А. Хронологические ряды и теорема Коши-Ковалевской.-Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, 198I, 12, с.165−189.

51. Лаптинский В. Н. Об одном методе регуляризации периодической краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Минск, 1979.-15с.(Препринт/ Институт физики АН БССР: № 176).

52. Лаптинский В. Н. Об одном итерационном методе в теории нелинейных колебаний.-Изв.АН БССР, 1980, сер.физ.-мат.наук,№ 2,с.6−12.

53. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике. -Успехи мат. наук, 1982, т.37,вып.5,с.97−137.

54. Беркинов Х. Б., Роишев А. Р. 0 связи символического метода интегрирования линейных уравнений в частных производных с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.-Сб.научн.тр.Ташкент, политехи. ин-та, 1981,№ 316,с.44−48.

55. Жестков C.B. 0 построении многопериодических решений линейных систем уравнений в частных производных.-5-я республиканская конференция математиков Белоруссии. Тезисы докладов.Часть 2. Гродно, 1980, с. 85.

56. Жестков C.B., Лаптинский В. Н. Об одном конструктивном алгоритме построения периодических решений линейных уравнений в частных производных.-В сб.:Некоторые вопросы дифференц. уравнений в решении прикладных задач. Тула, 1981, с.24−27.

57. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности.-М.:Наука, 1975.-48с.

58. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях.-МГУ, 1978.-106с.

59. Самойленко A.M., Лаптинский В. Н. Об оценках периодических решений дифференциальных уравнений.-Докл.АН УССР, сер. А, 1982,1,с.2931.

60. Peitov&nu D. SotniionS petloducues de cziiaines equa-Uons olutlivuvtes jjcLtiuihsr Апл.тсЖ.рига, ed cLppi. JI%S7 $Z>p-8Z~36.

61. Жестков C.B. О некоторых алгоритмах решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных первого порядка.-Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.наук, 1979, W 3, с.129−130.

62. Жестков C.B. Об одном конструктивном алгоритме решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных первого порядка. -Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.наук, 1980,№ 6,с.49−51.

63. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) .-М. :Наука, 1968.-504с.

64. Радыно Я. В. Векторы экспоненциального типа и функциональное исчисление. -Док л. АН БССР, 1983,27,№ 10,с.875−878.

65. Жестков C.B. 0 построении периодических решений квазилинейного уравнения Клейна-Гордона.-7-я республиканская конференция молодых ученых по физике (Могилев, июнь 1982).Тезисы докладов, 1982, с. 14.

66. Жестков C.B. Конструктивные методы исследования некоторых задач математической физики.-Минск, 1983.-20с.(Препринт/Институт физики АН БССР: № 313).

67. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений.-Киев:Вища школа, 1976.-179с.

68. Haue й. К. Peuodlc Sotui Loris o-f a. ciass of hypei io.

69. Лика Д. К., Рябов Ю. А. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний.-Кишинев:Штиинца, 1974.291 с.

70. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.-М.:Наука, 1966.-332с.

71. Мьппкис А. Единственность решения задачи Коши.-Успехи мат. наук, 1948, т. З, вып.2,с.3−46.

72. VeitkaAeshcL Muuty MX, А suivy o (some. diirttymen. ls ?t-LIul Шогу о/ СшсЛу Pzobiem. Bo-Piz tiino deiict lf/iior?e Ma, i. Ш&лпа. Boio^tict, № 1,4 W, р. Ш-5~а.

73. PllccL C. Sll2pwifk/na, di Caiui/^ pei ¿-г equazterU -??/lea^L ¿-г cLtbivciie. р&ггь&ёсAUl frccc^d. /daZ. Li/tcel. Re/icL.}c?. sci. fi med. z naiiib., p. d9Z-Z0Z.

74. Гаврилob А. Ф. Применение способа последовательных приближений Пикара к интегрированию некоторых уравнений математической физики., -Сб. трудов Ленинград.электротехн.ин-та связи им. М.А.Бонч-Бруевича, 1955, с.164−169.

75. Райкерус A.A. К вопросу о приближенном решении задачи Коши способом неопределенного параметра.-Уч.зап.Петрозаводск.ун-та, 1955(1957), 4,№ 4,с.3−12.

76. Герасименко Л. В. Применение метода последовательных приближений к решению задачи Коши-Ковалевской.-Труды Казанского с/х инта им. М.Горького.Казань, 1959(i960), т.3,вып.42,с.48−52.

77. Tai? rdiG-. Vti pioUemcL dt ColllcJi^.- Ann. icuola. noim. super. Pisa, sei. fu, t rnaA., {9S4,18, a/Z, />. iC5-{86,84. cuncunolo MlnouL. Ort Camchy’s ръой&пъ а. -й/иалput-iia? cLiffeienkal iqua-iLons o^ огс/ег., Рыс. Уа^а^п.

78. Вострова Л. Е. Задача Коши для волнового уравнения.-Волжский мат. сборник, 1971,8,с.64−67.

79. Qtordh Я Щег ein ь/И^шп^шг^кгед- ¿-иг LosiLn^^ei^cL^i^im^ lei pojbhielit^L J>tlfettri^^??icJuL/bu?n- ^-??t O^d/tLcnQ. Wiss.

80. Тескк. ttocksck. KcLie-Maiz-SMi imj^M, p.70SШ.

81. Иванов JI.A. Теорема Коши-Ковалевской для систем с особенностями. -В сб. .'Методы решения операторных уравнений. Воронеж, 1978, с.50−54.

82. Яненко Н. Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных.-Труды 4-го всесоюзного математического съезда. Ленинград, 1964, с.247−252.

83. Сидоров А. Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений.-Числ.методы мех. сплошной среды.Новосибирск, 1975,6,№ 4,с.106−115.

84. Кокарева Т. А., Кретов М. В. Методика интегрирования квазилинейной системы с двумя неизвестными функциями.-В сб.:Совершенствование процесса обучения математике. Калининград, 1979, с.10Т-115.

85. Шарипов Б. Некоторые квазилинейные совместные системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка интегрируемые в квадратурах.-Докл.АН ТаджССР, 1980,23,1? 3, с. 126−130.

86. Сидоров А. Ф. Аналитические методы построения решений в нелинейных задачах пространственной конвекции.-В сб.:Механика неоднородных сред. Новосибирск, 1981, с.236−250.

87. Гарифуллин P.M. Применение метода интегрирующего множителя для решения некоторых квазилинейных уравнений.-Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, I98I, I2, if° I, с.30−36.

88. Гарифуллин P.M. Аналитическое решение некоторых систем квазилинейных уравнений.-Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 198I, 12,№ 2,с.22−27.

89. Мелешко C.B. Об одном классе решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений со многими независимыми переменными.-Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1981,12, 1Г> 4, с.87−100.

90. Салехов Г. С. К проблеме Коши для линейных уравнений с частными производными в области бесконечно дифференцируемых функций, -Успехи мат. наук, 1947, т. 2, вып.2,с.226−228.

91. Салехов Г. С. О задаче Коши для одного класса уравнений с частивши производными в области сколь угодно гладких функций.-Изв.Казанского филиала АН СССР, сер.физ.-мат. и техн. наук, 1948, № 1,с.63−74.

92. Салехов Г. С., Фридлендер В. Р. К вопросу о задаче, обратной задаче Коши-Ковалевской.-Успехи мат. наук, 1952, т.7,вып.5,с.169 -192.

93. Сочнева В. А. О решениях общих линейных систем уравнений с частными производными над пространствами Жеврея.-Докл. АН СССР, 1966,166,№ I, с.41−44.

94. Сочнева В. А., Фридлендер В. Р. Задача Коши для многомерных линейных систем над пространствами Жеврея.-Мат.сборник, 1969,79, № 2,с.264−292.

95. Крылов А. Н. 0 некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах.М.-Л.:ГТТИ, 1950,-368с.

96. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа.-М.:Наука, 1967.-512с.

97. Клейза И. В. 0 представлении решения задачи Коши рядом Хартог-са.-Литовский мат.сборник.Вильнюс, 1976,16,№ 3,с.65−71.

98. Бондаренко Б. А. Операторные алгоритмы построения решений уравнений математической физики.-Вопросы вычисл. и прикладной математики. Ташкент, 1981,65,с.106−115.

99. Ul№ C.V. Li/ua/i luruihonoLIs and Ни Стеку 'Houfctit^skL Циогет,-%илла1 ИМ. and M? ck.} 1Щ 19, р. ZH-2W.

100. ЕгЬегF. Ьи ReihmMeuucle. 3ui Losung des Cauchy-PzoUzmsdiЦтпк&^ШсАи-пде/г еШгг (уьЖпшгу. -i. cut^erf. Ma-Lk.und Me.th.jm, Я, s.?-17.

101. Филимонов A.M. 0 решениях специального вида уравнений в частных производных полиномиального типа.-В сб.:Дифференц.геомет-рия.Калинин, 1977, с. II2-II9.

102. OiiotrK. TfvL ^¿-дт/ method / а/г^ Шжг Мат. iecH.7 dm, 2, ь/3,.

103. Жестков C.B. Решение трехмерной обратной задачи теплопроводности в постановке Коши.-В сб.'.Некоторые вопросы дифференц. уравнений в решении прикладных задач. Тула, 1982, с.97−99.

104. Рудерфер В. И. Априорные оценки решения задачи Коши для уравнения и системы уравнений в частных производных с коэффициентами, неаналитическими по выводящей переменной.-Докл.АН СССР, 1978,240,№ 4,с.782−785.

105. Краснодембский A.M. Периодичность решений одного типа линейных уравнений в частных производных первого порядка.-В сб.: Теоретические и прикладные вопросы алгебры и дифференц.уравнений.Киев, 1976, с.100−101.

106. Титов С. С. Решение периодических задач Коши с помощью специальных тригонометрических рядов.-Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978,9,$ 2, сЛ12−124.