Некоторые вопросы классификации Бэра показателей Ляпунова

Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей [3,12], которые были введены А. М. Ляпуновым в связи с исследованием устойчивости по первому приближению. Библиография в обзорах Н. А. Изо-бова [8,10] по изучению теории показателей Ляпунова и связанных с ними характеристик насчитывает несколько сотен наименований.

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правой части системы дифференциальных уравнений. Перрон показал [21], что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем, наделенном топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, является разрывной функцией. Усилиями Р. Э. Винограда [6], В. М. Мил-лионщикова [13], Н. А. Изобова [9] и И. Н. Сергеева [28,30] для каждого из показателей Ляпунова был получен критерий его полунепрерывности сверху в данной точке, а в не более чем трехмерном случае — и критерий полунепрерывности снизу.

В. М. Миллионщиков предложил [14] для описания свойств характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра [4] разрывных функций, установив, что показатели Ляпунова, как функционалы на пространстве систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, принадлежат второму классу Бэра. Затем М. И. Рахимбердиев доказал [22], что эти показатели не принадлежат первому классу Бэра даже на пространстве систем с равномерной топологией.

Свойства показателей изучались на пространствах не только с перечисленными выше топологиями. Так, М. И. Рахимбердиев и НХ. Розов [23] рассматривали пространство линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем. В пространстве систем с такой топологией для каждого из показателей Ляпунова И. Н. Сергеев получил [29] критерий его полунепрерывности сверху и снизу в отдельности, а также доказал [31], что он не принадлежит никакому классу Бэра.

В. М. Миллионщиков распространил определение [16] показателей Ляпунова на линейные неоднородные системы, что естественным образом привело к изучению свойств этих характеристик в рамках теории Бэра разрывных функций. О. И. Морозов нашел [19] критерий полунепрерывности сверху старшего показателя, рассматриваемого как функционал на пространстве линейных неоднородных систем, наделенном равномерной топологией, а также доказал [20], что показатели Ляпунова на этом пространстве являются функциями второго класса Бэра.

Впоследствии И. Н. Сергеев [32] начал изучать локальные свойства характеристических показателей с точки зрения все той же теории Бэра разрывных функций. Оказалось, что если понимать локализацию, как сужение на некоторую окрестность системы в пространстве с топологией равномерной сходимости коэффициентов на компактах, то каждый из показателей Ляпунова по отношению к любой точке имеет второй класс Бэра, а для пространства с равномерной на положительной полуоси топологией младший показатель Ляпунова локально по отношению к любой точке либо имеет нулевой класс, либо не имеет и первого. Позже был предложен [33] еще один вариант локализации, идея которой заимствована у К. Куратовского [И], так появилось определение принадлежности показателя какому-либо классу Бэра в точке. В дальнейшем это определение было модифицировано В .В. Быковым [1], который установил [2], что на пространстве линейных однородных не менее чем двумерных систем с равномерной топологией каждый из показателей Ляпунова принадлежит первому классу Бэра в точке тогда и только тогда, когда он полунепрерывен снизу в этой точке.

В настоящей диссертации установлен критерий полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных неоднородных систем с топологией, заданной семейством норм, а при некотором дополнительном условии на однородную часть системы получен критерий полунепрерывности сверху для каждого из показателей Ляпунова. Найдена полунепрерывная сверху мажоранта старшего показателя Ляпунова на пространстве линейных неоднородных систем с альфа-экспоненциальной топологией. А при некотором дополнительном условии на неоднородность получен критерий полунепрерывности сверху для старшего показателя Ляпунова. Описаны все возможные случаи принадлежности тому или иному классу Бэра в точке показателей Ляпунова на пространстве линейных однородных систем с топологией сходимости в среднем. Для каждого показателя Ляпунова, как функционала на множестве линейных систем с равномерной топологией, указана точка, в которой он является функцией в точности первого класса Бэра.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 34 наименования. Нумерация формул, определений, теорем, лемм и т. д. в главах независимая, первая цифра обозначает номер главы, вторая цифра обозначает номер форму-лы (определения, теоремы, лемы и т. д.) в этой главе.

1. Быков В. В. Модификация определения класса Бэра показателя в точке. Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, Ml. С. 1577.

2. Быков В. В. Локальная Бэровская классификация показателей Ляпунова. Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 2007, вып.27.

3. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

4. Бэр Р. Теория разрывных функций. М.-Л.: ГТТИ, 1932.

5. Ветохин А. Н. О Лебеговских множествах показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 11. С. 1567.

6. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений. Матем. сборник. 1957. Т. 42, вып. 2, С.207−222.

7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

8. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: ВИНИТИ, 1974, Т. 12, С.71−146.

9. Изобов Н. А. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы. Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 5. С.848−858.

10. Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям. Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 12, С.2034;2055.

11. Куратовский К. Топология. Т.1. М.:" Мир", 1966.

12. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Госте-хиздат, 1950.

13. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей. Сибирск. мат. журнал. 1969. Т. 10, № 1. С.99−104.

14. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, № 8. С.1408−1416.

15. Миллионщиков В. М. Показатели Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. Матем. заметки. 1985. Т. 38, № 1, С.92−109.

16. Миллионщиков В. М. Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем. Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 12. С.2179−2180.

17. Миллионщиков В. М. Формулы для показателей Ляпунова неоднородных линейных систем. Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, № 12. С. 2183.

18. Миллионщиков В. М. Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных линейных систем. Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, № 6. С. 1085.

19. Морозов О. И. Показатели Ляпунова неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений. Дисс. 1991.

20. Морозов О. И. О Бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем. Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1991, № 6. С.22−30.

21. Perron 0. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhangige Variable reel ist. — J. reine und angew. Math., 1931, 142, S.254−270.

22. Рахимбердиев М. И. О бэровском классе показателей Ляпунова. Мат. заметки. 1982. Т.31. № 6. С.925−931.

23. Рахимбердиев М. И., Розов Н. Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным. Дифференци. уравнения. 1978. Т. 14, № 9. С. 1710— 1714.

24. Рожин А. Ф. К задаче о классе Бэра в точке для показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, № 11. С. 1577.

25. Рожин А. Ф. О классах Бэра в точке показателей Ляпунова в топологии сходимости в среднем. Дифференц, уравнения. 2006, Т. 42, № 6. С.853−854.

26. Рожин А. Ф. О полунепрерывности сверху старшего показателя Ляпунова неоднородной системы. Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 11. С.1573−1574.

27. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности. Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 3. С.438−448.

28. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности. Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, № 9. С. 1719.

29. Сергеев И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях. Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1986, вып. 11. С.32−73.

30. Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу показателей Ляпунова трехмерных линейных систем. Успехи мат. наук. 1994. Т.49, вып.4. С. 142.

31. Сергеев И. Н. О классах Бэра показателей Ляпунова линейных систем с топологией сходимости в среднем. Успехи мат. наук. 1996. Т.51, вып.5. С. 188.

32. Сергеев И. Н. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова. Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, № 11. С. 1577.

33. Сергеев И. Н. Определение класса Бэра показателя в точке. Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, № 11. С. 1570.

34. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.-Л.: ОНТИ, 1937.