Развитие и применение метода декомпозиции к расчету регулярных стержневых пластин

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. На основе классических методов строительной механики получены разрешающие конечно-разностные уравнения для регулярных стержневых систем записанные в форме метода сил, метода перемещений, смешанного метода.

2. Реализована возможность обобщения метода декомпозиции на Область функции дискретного аргумента, систем конечно-разностных уравнений, что дало возможность выполнять приближенные расчеты сетчатых пластинок без перехода к континуальным расчетным моделям.

3. Для стержневой (сквозной) пластинки в виде регулярной системы перекрестных балок получены простые приближенные решения задач изгиба и свободных колебаний в функциях дискретного аргумента для различных вариантов опирания сторон контура. Показано, что сложность и точность решения не зависит от числа элементов системы.

4. Сопоставление результатов полученных в работе с другими известными методами показывает достаточную простоту и точность метода декомпозиции в применении к регулярным системам перекрестных балок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе развивается один из наиболее перспективных методов решения краевых задач математической физики — метод декомпозиции. На его основе разработаны эффективные алгоритмы построения аналитических и численно-аналитических решений для упругозащемленных по контуру прямоугольных сетчатых пластинок без учета и с учетом кручения.

1. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П., Савченков Б. И. Численные методы в теории упругости и теории оболочки. Красноярск, 1986.

2. Александров A.B., Лащеников Б. Я., Шапошников H.H., Смирнов В. А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2 ч. 4.1,2. -М.: Стройиздат, 1976, 237 с.

3. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. -М.: Наука, 1987, 360 с.

4. Андрианов И. В., Грижевский Г. А. Расчет собственных колебаний парал-лелограммной пластины приближенным методом // Изв. вузов. Стр-во и ар-хит. 1988. № 2. С. 46−49.

5. Андрианов И. В., Иванков A.C., Колесник И. А. Динамика пластин со смешанными граничными условиями // Изв. вузов. Машиностроение. 1987. № 8. С. 34−37.

6. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Маневич Л. И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. -М.: Наука, 1985, 221 с,.

7. Андронов В. А. Применение метода дискретных конечных элементов к решению задач статики и динамики сложных стержневых систем регулярной и квазирегулярной структуры: Дис.. канд. техн. наук. Волгоград, 1986, 187 с.

8. Аргирис Дж. Матричная теория статики конструкций // Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем / Под ред. А. П. Филина. Л.: Судпромгиз, 1961.

9. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Пер. с англ.- М.: Стройиздат, 1982. 466 с.

10. Бате К., Вилсон Е. Методы решения задач на собственные значения в строительной механике / Пер. с англ. Л.: 1983. 38 с.

11. Беликов Г. И. Свободные колебания и устойчивость сетчатой цилиндрической замкнутой оболочки // Надежность и долговечность строительных конструкций / ВПИ. Волгоград. 1974. С. 114−116.

12. Беликов Г. И., Пшеничнов Г. И. Прочность, устойчивость и колебания сетчатых оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны. -В кн.: Надежность и долговечность строительных конструкций / ВПИ. Волгоград. 1974. С. 109−114.

13. Беспалова Е. И. О свободных колебаниях пологих оболочек при различных условиях закрепления контура / КИСИ. Киев: Будивельник. 1987.

14. Бицеко К. В., Граммель Р. Техническая динамика, Т. 2. ГИТТЛ, 1950, 1952.

15. Блохина И. В. Сравнение эффективности различных вариантов метода динамической конденсации при определении частот собственных колебаний сложных стержневых систем/Волгоградский инж.-строит. институт. Волгоград, 1987. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 3.02.87, № 1134.

16. Блохина И. В. Развитие суперэлементной методики статического и динамического расчета тонкостенных коробчатых систем. Дис.. канд. техн. наук. Волгоград, 1989. -227 с.

17. Болотин В. В. Асимптотический метод исследования спектра собственных частот упругих пластинок // Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1960. Вып. 6.

18. Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек // При-кладн. матем. и механика. 1960, № 5.

19. Броуде В. М. Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций. М.: Машстройиздат, 1949.

20. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. Часть И. СПБ, 1914.

21. Варвак П. М. Колебания мембран и пластинок. Сб. трудов КИСИ, 1947, ¦ № 7.

22. Варвак П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластин. 4.1. Изд-во АН УССР, 1949. Ч. 2 Изд-во АН УССР, 1952.

23. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике // Избранные труды, Т. 1. / Изд-во АН СССР, 1962.

24. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1972, с.22−28.

25. Гайан. Приведение матриц жесткости и масс // Ракетная техника и космонавтика. Т. 3, № 2, 1965.-е. 287.

26. Галишникова В. В., Пшеничнов Г. И. Решение задачи изгиба прямоугольной пластинки с упругим контуром методом декомпозиции. Расчеты на прочность. -М.: Машиностр., 1990, вып. 32.

27. Галишникова В. В. Решение задач изгиба прямоугольных сетчатых пластинок методом декомпозиции: Дис. канд. техн. наук / М.: МИСИ, М., 1991, С. 110.

28. Галишникова В. В., Лебедь Е. В. Расчет стержневой пластинки с ортогональной сеткой, лежащей на упругом основании. -11 с, Деп. в ВИНИТИ РАН2090;В98.

29. Гликман Б. Т. Свободные колебания круглой пластинки со смешанными граничными условиями// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1972. № 1.

30. Гольденвейзер A.JI., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979, с. 60−61.

31. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев: Наукова думка, 1964.

32. Игнатьев В. А. Методы супердискретизации в расчетах сложных стержневых систем. Изд-во Саратовского ун-та, 1981, 107 с.

33. Игнатьев В. А. Расчет регулярных статически неопределимых стержневых систем. Изд-во Саратовского ун-та, 1979, 295 с.

34. Игнатьев В. А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. (Метод дискретных конечных элементов). Изд-во Саратовского ун-та, 1988, 158 с.

35. Игнатьев В. А., Шурыгин C.B. Применение метода декомпозиции к расчету сетчатых пластин в виде регулярных систем перекрестных балок / Волгогр. инж.-строит, ин-т. Волгоград, 1992.-14с. — Деп. в ВИНИТИ 25.09.92 № 2848-В92.

36. Именитов Л. Б. Собственные поперечные колебания прямоугольных пластин переменной толщины с произвольными граничными условиями: Расчеты на прочность и жесткость элементов машиностроит. конструкций. М., 1987. С. 2628.

37. Каурова Т. М. Развитие и применение редукционных методов в конечно-элементном статическом расчете стержневых и пластинчатых систем. Дисс. канд.техн.наук: Волгоград, 1989, 262 с.

38. Клабукова Л. С. О применении метода декомпозиции для решения некоторых задач математической физики. Изд-во ВЦ АН СССР. М., 1989, 28 с.

39. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. ИЛ, 1953.

40. Коренев Б. Г., Рабинович И. М. (ред.) Справочник проектировщика: Динамический расчет зданий и сооружений. М.: Стройиздат, 1984.

41. Коренева Е. Б., Пшеничнов Г. И. Применение метода декомпозиции к решению задач теории изгиба пластин переменной толщины // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997, Т. 37, № 5, стр. 539 544.

42. Кособлик Ф. И. Применение континуально-дискретного метода к расчету регулярных систем нелинейной жесткости. Дис. канд. технич. наук. М., 1975.

43. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, Т. 1 и 2, ил., 1953.

44. Курек Л. Н., Смирнова Л. Г. Решение нелинейных задач изгиба пластин и балок методом декомпозиции // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. № 3.

45. Курек Л. Н., Смирнова Л. Г. Расчет нелинейно-упругих прямоугольных пластин методом декомпозиции. // Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. / МГСУ. М.: 1997, с. 63−67.

46. Лащеников Б. Я. Континуально-дискретный метод перемещений в строительной механике пространственных систем. Дис.. д-ра. техн. наук.: / МИИТ.М.: 1970.

47. Лизарев А. Д., Ростанина Н. Б. Структура спектра собственных частот тонких сферических оболочек // Исследования по теории сооружений. М.: 1987. Вып. 25, с.75−82.

48. Лужин О. В. Некоторые вопросы динамики замкнутой сферы. // Исследования по теории сооружений. М., Стройиздат, 1967. Вып. 15.

49. Ляв А. Е. Математическая теория упругости / ОНТИ, М., 1935.

50. Марчук Г. Н. Методы расщепления и переменных направлений. М., Изд-во АН СССР, 1986, 334 с.

51. Марчук Г. Н. Методы расщепления. М.: Наука, 1982, 263 с.

52. Меланич В. М. Применение метода дискретных конечных элементов к расчету сложных шарнирно-стержневых систем типа структурных плит и оболочек. Дис.. канд.техн. наук. Волгоград, 1986, 182 с.

53. Михлин С. Г. Вариационные методы математической физики / ГИТТЛ, М., 1957.

54. Наумова Г. А. Применение разностно-вариационных методов к расчету шарнирно-стержневых плит: Дис.. канд. техн. наук. Волгоград, 1986, 78 с.

55. Наумова Г. А., Шурыгин C.B. Применение метода декомпозиции к расчетустержневых пластинок // Тезисы докладов научно-технической конференции, посвященной 40-летию института / Волгогр. инж.-строит. ин-т. Волгоград, 1992. С.116−117.

56. Новацкий В. Динамика сооружений. М., Госстройиздат, 1963.

57. Hyp А.К., Андерсен М. С., Грин В. Х. Континуальные модели решетчатых конструкций типа балок и пластин // Ракетная техника и космонавтика. 1978, № 12, с. 6−17.

58. Нурмаганбетов Е. К. Применение метода декомпозиции к определению свободных поперечных колебаний прямоугольных ортотропных плит с упругим контуром // Строит, механика и расчет сооружений. 1990, № 1, с>55−58.

59. Нурмаганбетов Е. К. Свободные поперечные колебания квадратной пластинки с упругим контуром // Строит, механика и расчет сооружений. 1988, № 2, с.76−78.

60. Нурмаганбетов Е. К., Скориков А. В. Свободные колебания пологой сферической оболочки с упругим контуром // Строительная механика и расчет сооружений. 1989, № 3.

61. Ониашвили О. Д. Некоторые динамические задачи теории оболочек. Изд-во АН Груз. ССР, 1957.

62. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Т. 2. М.: Судпромгиз, 1941.

63. Папкович П. Ф. Труды по строительной механике корабля. Т. 2 Л.: Судпромгиз, 1962.

64. Пензиен Р. Динамика сооружений. -М.: Стройиздат, 1979, 320 с.

65. Периков A.C., Плетнев В. И. Свободные колебания пространственных регулярных систем: Вопросы механики строительных конструкций и материалов. -Л., 1984, с.83−89.

66. Песчанский П. С., Пугачевская J1.M. Металлические решетчатые пространственные конструкции за рубежом. Обзор. -М.: ЦИНИС Госстроя СССР, 1974, 75 с.

67. Пономарев В. В. Свободные колебания сетчатых оболочек вращения / Волгоградский инж.-строит. ин-т. Волгоград, 1981. 11 с. Деп. в ВНИИС, № 2762.

68. Постнов В. А., Дмитриев С. А. и др. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций. Л.: Судостроение, 287 с.

69. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике / ГИТТЛ. М., 1948.

70. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3 томах / Под общей ред. И. А. Бирчера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968.

71. Пшеничнов Г. И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач: ДАН СССР, М., 1985. Т. 282, № 4, с. 792−794.

72. Пшеничнов Г. И. Решения некоторых задач строительной механики методом декомпозиции // Строит, механика и расчет сооружений. 1986. № 4. С. 12−17.

73. Пшеничнов Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок. М.: Наука, 1982,352 с.

74. Пшеничнов Г. Й., Галишникова В. В. Поперечный изгиб квадратной пластинки с упругим контуром // Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций / МИСИ им. В. В. Куйбышева. М., 1990, с.

75. Пшеничнов Г. И., Скориков A.B. Оптимизация структуры прямоугольной упругозакрепленной сетчатой пластинки / II Всесоюз. школа-семинар «Актуальные проблемы оптимизации конструкций». Суздаль, Владимир, 1990.

76. Пшеничнов Г. И., Скориков A.B. Решение задачи о свободных колебаниях пологой сферической оболочки методом декомпозиции // С.М. и P.C. 1988. № 5, с. 37−41.

77. Пшеничнов Г. И., Скориков A.B. Свободные колебания пологой сферической оболочки с упругим контуром // Труды Международного конгресса по новейшему применению оболочек и пространственных конструкций (МАСС). Бангалор (Индия), 1988.

78. Пшеничнов Г. И., Скориков A.B. Свободные колебания пологой сферической оболочки с упругим контуром // Теоретическая и прикл. механика. Харьков, 1989, в. 20.

79. Пшеничнов Г. И., Скориков A.B. Свободные колебания ортотропной прямоугольной пластины с упругим контуром // Механика твердого тела. 1992. С. 166.

80. Пшеничнов Г. И., Ульянова В. И. Поперечный изгиб растянутой прямоугольной пластинки с упругим контуром // Изв. Акад. наук. Механика твердого тела. 1995, № 1. С. 153−158.

81. Резников P.A., Бомштейн К. Г., Монохина Г. И. Системы перекрестных балок. Методика расчета и таблицы. М., Гипротис, 1964.

82. Розин JI.A. Метод расчленения в теории оболочек // Прикладн. матем. и механика. 1961. Т. XXY, № 5, с. 921−926.

83. Розин JI.A. О расчете конструкций методом расчленения // Информационный сборник Ленчидэпа, 1961, № 21, с. 22−38.

84. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976,232 с.

85. Розин Л. А. Схема метода расчленения и применение вариационного метода к расчлененному уравнению // Методы вычислений. Л., 1967, № 4, с, 87−96.

86. Саченков A.B. Определение частот свободных колебаний ортотропных пологих оболочек на основании аналогий // Исследования по теории пластин и оболочек. № 3. Казань: КГУ, 1965.

87. Скориков A.B. Свободные колебания пологих оболочек при различных краевых условиях: Дис.. канд. техн. наук. / МИСИ им. В. В. Куйбышева. М., 1988, 114 с.

88. Скориков A.B. Изгиб прямоугольной сетчатой пластины с упруго закрепленными краями // Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций / МГСУ. М., 1997, с. 59−62.

89. Смирнов А. Ф. О выборе алгоритма решения системы перекрестных балок с большим числом неизвестных // Труды МИИТ. Строительная механика. Вып. 155.-1962. С. 4−29.

90. Смирнов В. А. Применение метода голографической интерферрометрии при исследовании вынужденных колебаний пластинок // Строит, механика и расчет сооружений. 1984. № 5, с. 51−55.

91. Смирнов В. А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978.

92. Смирнов В. А., Архипов A.A. Экспериментальное определение частот и форм резонансных колебаний прямоугольной пластинки, ослабленной отверстиями // Инженерные задачи статики, динамики и устойчивости сооружений. Воронеж: ВГУ, 1985.

93. Смирнов В. А., Архипов A.A., Нанасов М. П. Экспериментальное исследование консольной пластинки ломаного очертания // Расчет пространственных строит, конструкций / КГУ, Куйбышев, 1985.

94. Соболев Н. Д. Решение задачи изгиба прямоугольной пластины на упругом основании методом декомпозиции. В сб.: Вопросы теорет. и прикл. механики. М., МИСИ им. В. В. Куйбышева. Деп. в ВИНИТИ, № 3799-В-87, 198,7, с. 239−242.

95. Соболев H.Д. Решение задачи квадратной пластины на упругом основании методом декомпозиции. В сб.: Вопросы теорет. и прикл. механики. М., МИСИ им. В. В. Куйбышева. Деп. в ВИНИТИ, № 3799. В8, 1987, с. 235−238.

96. Соболев Н. Д. Решение задач о кручении стержней и изгибе пластин методом декомпозиции: Дис.. канд. техн. наук: 05.23.17 М., 1990, 93 с.

97. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций. M.: Стройиз-дат. 1956.

98. Сорокин C.B. Сравнение эффективности метода ортогональной прогонки и обобщенного метода Бубнова-Галеркина в задачах о собственных колебаниях оболочек вращения // Упругость, пластичн. и разруш. тонкостей, конструкций. Л., 1987, С. 101−106.

99. Стальные решетчатые пространственные конструкции / Пер. с нем. ЦИНИС Госстроя СССР. М., 1970.

100. Тананайко О. Д. Приближенное решение задач теории упругости с помощью пространственных стержневых решеток // Строительная механика и расчет сооружений. 1981. № 1. С.39−43.

101. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959.

102. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1955.

103. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластцнки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963, 635 с.

104. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. М., 1957, 536 с.

105. Трофимов В. И. Исследование, расчет, классификация и области применения пространственных стержневых конструкций в отечественном и зарубежном строительстве // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1976. Вып. 9, с. 3−20.

106. Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.-564 с.

107. Справочник проектировщика расчетно-теоретический. Кн. 2. / под ред. A.A. Уманского. Стройиздат, 1973. с. 363.

108. Феодоеьев Р. В. Основной тон треугольной пластинки // Уч. зап. Кишиневского ун-та, 1957. С. 29−89.

109. Филин А. П. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. М.: Стройиздат, 1983, 231 с.

110. Филин А. П. Матрицы в статике стержневых систем. -М.: Стройиздат, 1966.438 с.

111. Филин А. П. Расчет пространственных стержневых конструкций типа системы перекрестных связей и его применение к оболочкам при использовании электронно-вычислительных машин // Сборник трудов ЛИИЖТ. Вып. 190. 1962. С. 7−83.

112. Филиппов А. П. Колебания упругих систем / Изд-во АН УССР, 1956.

113. Шиманский Ю. А. Справочник по строительной механике корабля. Т. 2, М.: Судопромгиз, 1958.

114. Шурыгин C.B., Игнатьев В. А. Применение метода декомпозиции к расчету пластин в виде регулярных систем перекрестных балок с учетом кручения Волгогр. гос. архит.-строит. акад. — Волгоград, 2000. -11 с. — Деп. в ВИНИТИ 22.08.00 № 2293-В00.

115. Abrate, S. «Continuum modeling of latticed structures,» Shock and Vibration Digest, 9%5,1{), pp. 15−21.

116. Abrate, S. «Continuum modeling of latticed structures for dynamic analyses,» Shock and Vibration Digest, 1988, 20 (10), pp. 3−8.

117. Abrate, S. «Continuum modeling of latticed structures Part III,» Shock and Vibration Digest, 1991, 23, 15−20.

118. Abrate, S. «Simple models for periodic lattice,» In Modal analysis, modeling, diagnostics and control-analytical and experimental, DE, 38, Huang, T.C. et al, (eds.), ASME, New York, 1991, pp. 725−731.

119. Douglas, J., Rachford H. On the numericalsolution of heat conduction problem in two and three space variables. Trans.Amer. Math. Society, 1956, 82, 2, pp.421 439.

120. Dow, J.O. and Huyer, S.A. «Continuum models of space station structures,» J, Aerospace Engrg., 1989, 2(4), pp. 220−238.

121. Himmelblau D.M. Morphology of Decomposition. New York: 1967.

122. Kollar, L., and Hegedus, I. Analysis and Design of Space Frames by the Continuum Method. Developments in Civil Engineering, 10, Elsevier, 1985.

123. Lattice structure: State-of-the art report. Journal of the Structural Division, ASCE, 1976, 102 (ST11), pp. 2197−2230.

124. Lee, U. «Dynamic continuum modeling of beamlike space structure, using finite-element matrices,» AIAA Journal, 1990, 18 (4), pp. 725−731.

125. Lee, U. «Dynamic continuum modeling of large platelike space structures,» Ma-chinary Dynamics and Element Vibration, DE, 1991, 36, ASME, pp. 217−222.

126. Lee, U. «Dynamic continuum plate representations of large thin lattice strac-turesAIAA Journal, 1993, 31(9), pp. 1734−1736.

127. Lee, U. «Equivalent continuum models of large plate-like lattice structures,» Int. J. Solid Structures, 1994, 31 (4), pp. 457−467.

128. Lee, U. «Equivalent continuum representation of lattice beams: spectral element approach,» Engineering Structures, 1998, 20 (7), pp. 587−592.

129. Nayfeh, A.M. and Hefzy, M.S. «Continuum modeling of three-dimensional truss-like space structures,» AIAA Journal, 1978, 16 (8), pp. 779−787.

130. Nayfeh, A.M. and Hefzy, M.S. «Continuum modeling of the mechanical and thermal behavior of discrete large structures,» AIAA Journal, 1981, 19 (6), pp. 766 773.

131. Necib, B. and Sun, C.T. «Analysis of truss beams using a high order Ti-moshenko beam finite element,» J. Sound Vib., 1980, 130 (1), pp. 149−159.

132. Nelson, F.C. «A Rewiew of Substructure Analysis of Vibrating systems,» Shock Vib. Digest, 1979, 11(11), pp. 3−9.

133. Noor, A.K. «Continuum modeling for repetitive lattice structures,» Appl. Mech. Rev., 1988, 41(7), pp. 285−296.

134. Noor, A.K. «Recent advances in Reduction methods for nonlinear problems,» Computers Struct., 1981, 13, pp.31−44.

135. Noor, A.K., Kamel, H.A., and Fulton, R.E. «Substructuring techniques status and progections,» Computers Structures, 1981, 13, pp.961−962.

136. Noor A.K. and Mikulas, M.M. «Continuum modeling of large lattice structures: Status and progections,» 830-H-15(MF), 1988.

137. Pshenichnov, G.I. A theory of latticed plates and shells. Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences, 5, World Scientific, 1993.

138. Quarteroni A. and Valli A. Domain decomposition. Methods for partial differential equations. Series in Numerical mathematics and scientific computation, Clarendon Press, Oxford, 1999.

139. Renton, J.D. «General properties of space grids,» International Journal of Mechanical Sciences, 1970,12, pp. 801−810.96.

140. Sun, C.T. and Yang, T.Y. «A Continuum approach toward dynamics of grid-works,» Journal of Applied Mechanics, ASME, 1973,40, pp. 186−192.

141. Sun, C.T., and Kim, B.J. «Continuum modeling of periodic truss structures,» Engrg Mechanics Division of the ASCE in Conjunction with ASCE Convention, Detroit, MI, 1985, pp. 57−71.

142. Sun, C.T., Kim, B.J. and Bogdanoff, T.L. «On the derivation of equivalent simple modals beam-like and plate-like structures in dynamic analysis,» AIAA, 1988, Paper 81−0624, pp. 523−532.