Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчетам конструкций с учетом податливости соединений

Актуальность темы

Проектирование зданий и сооружений в районах с высокой сейсмичностью опирается на результаты исследований в области теории сейсмостойкости, которая непосредственным образом связана с теорией колебаний. Экономический эффект в строительстве зависит от совершенствования методов расчёта конструкций, в частности методов расчета конструкций и сооружений на динамические нагрузки. Развитие и совершенствование методов расчёта является одной из важнейших задач строительной механики.

В настоящее время разработано большое число приближенных методов расчета: метод конечных элементов, метод конечных разностей, вариационно-разностный метод и другие. Главным требованием к методам расчета является уменьшение трудоемкости расчетов при сохранении достаточной точности полученного решения. Существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостью. Поэтому актуальным является вопрос разработки метода расчета, в наилучшей степени учитывающего конструктивные особенности элементов. Метод сосредоточенных деформаций (МСД), который развивается в данной работе, позволяет учитывать свойства этих систем. Кроме того, этот метод менее трудоемок по сравнению с известными вариантами МКЭ.

Обеспечение необходимой надежности строительных конструкций и снижения их стоимости остается одним из важнейших направлений в области строительной механики. Разработка эффективных методов решения динамических задач строительной механики, в том числе задач теории сейсмостойкости, имеет важное народнохозяйственное значение.

Разнообразие используемых расчётных схем и методов расчета конструкций вызвано тем, что каждый из методов имеет обычно определенную область применения, обусловленную положенными в его основу допущениями, гипотезами. Следует, однако, отметить, что при меньшем числе допущений шире область их применения, но это ведет к увеличению трудоемкости расчета конструкций. При расчете тех или иных несущих систем многоэтажных зданий выбирается та расчетная модель, которая в лучшей степени будет отражать действительную работу конструкций.

В настоящей диссертации развит метод сосредоточенных деформаций применительно к динамическим задачам, позволяющий с меньшей трудоемкостью и достаточной точностью получить полную картину напряженно-деформированного состояния несущих конструкций зданий.

Современный этап развития строительной механики связан с широким использованием численных методов и применением высокоскоростных электронно-вычислительных машин (ЭВМ), позволяющих проводить расчеты конструкций по весьма сложным расчетным схемам. С появлением ЭВМ получили широкое распространение различные приближенные методы расчета конструкций. К таким методам можно отнести: метод конечных разностей, метод Бубнова — Галеркина, метод коллокаций, метод Релея-Ритца, метод взвешенных невязок, метод ВЗ. Власова, метод конечных элементов, метод граничных элементов, метод дискретных связей и др. [15, 19, 20, 27, 36, 40 — 42, 45, 46, 101, 102, 157, 237, 239- 242, 252, 253, 289].

Метод внутренних граничных условий (МВГУ) предлагается в работах С. К. Годунова и B.C. Рябенького [49], где основная идея заключается в переходе от исходной разностей краевой задачи к системе уравнений на границе рассматриваемой области. Метод разностных потенциалов (МРП), который является дальнейшим развитием МВГУ, предлагаетсяв работе [243], где вычисление разностного потенциала сводится к решениювспомогательной разностной задачи. Вместо1 функции Грина используется непосредственно оператор^Грина^ который-соответствует решению вспомогательной-задачи!

Метод разностных потенциалов получил дальнейшее развитие в работах А. Б. Золотова, В. И. Сидорова, В. А. Харитонова [101], где рассматриваются вопросы численной реализации метода расширения заданной системы. В работах JI.Г. Петросяна и А. И. Цейтлина [210, 297] показано, что применение обобщенных интегральных преобразований сводит задачу к решению граничных уравнений: интегральных при непрерывном спектре и алгебраическихпри дискретном.

Близким к методу компенсирующих нагрузок — расширения области является метод обобщенных решений, который предлагается в работах В.И. Тра-вуша [283]. Исходя из интегро-дифференциальной системы уравнений с учетом разрыва искомой функции и ее производных при переходе через границы и с использованием интегрального преобразования Фурье, получена система интегральных уравнений второго рода относительно функций плотности.

В настоящее время в решении задач механики деформируемых твердых тел широко применяется метод граничных элементов (МГЭ). Суть метода состоит в преобразовании дифференциального уравнения в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границе области, в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения, и затем отыскании численного решения этого уравнения [44]. Одной из наиболее важных сфер его применения является решение задач регулярных бесконечных областей, задач для полубесконечного пространства с полостями и без них [143, 179].

Метод граничных элементов — это по определению, приведенному в монографии А. Г. Угодчикова и.Н.М Хуторянского [286], есть метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. В книге П. Бенерджи, Р. Баттерфилда [20] приведено последовательное изложение всех аспектов МГЭ, связанных с применением к решению задач механики, физики и техники.

В книгах К. Бреббия, Ж. Теллеса и Л. Вроубела [26] в основном рассматривается прямая формулировка- [141] МГЭ. В работе [26], кроме-вопросов-применения МГЭ к решению различных задач механики, рассматривается вопрос об использовании МГЭ совместно с другими методами, в частности с методом конечных элементов.

Использованию метода граничных элементов в решении нелинейных задач посвящена работа [276], где главным образом используется прямая формулировка. В [138] для решения плоских задач теории упругости предлагаются методы фиктивных нагрузок и разрывных смещений. Развитие метода граничных интегральных уравнений и его применение для решения задач механики сплошных сред приведены в работах [55, 276].

В работе [26] комбинированным методом на основе метода конечных элементов и метода граничных элементов представлен расчет здания на упругом основании. Решение, полученное комбинированным методом, сравнивается с результатами расчетов, при которых конечными элементами представлялась вся область. Второе направление в применении комбинированных методов связано с теми задачами, где имеются зоны больших градиентов искомых функций. В этом случае можно сначала строить решение на грубой сетке, а затем использовать МГЭ, дающий возможность уточнять решения в зонах большого градиента [33].

Третье направление в применении комбинированных методов связано с нестационарными задачами, где совместно с граничными интегральными уравнениями используются численные методы [177 — 179, 313, 315, 316, 318, 320, 324, 331, 334, 336, 343, 348, 351].

Предложенный А. Ф. Смирновым [259] численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений краевых задач с помощью специальной числовой матрицы, позволяющей последовательно выражать младшие производные через старшие, получил дальнейшее развитие в работах [8, 40, 145, 261]. Р. Ф. Габбасовым [40], этот метод назван методом последовательных аппроксимаций. Одновременное обеспечение высокой точности и простоты метода, приводящего к сходящимся решениям, достигается последовательной аппроксимацией искомой функции и её производных кусочнополиномиальными функциями. МПА универсальнее и проще по сравнению с МКР, так как позволяет решать задачи, не прибегая к законтурным точкам, не сгущая расчетную сетку вблизи разрывов и особенностей. Учет разрывов, одинаковый порядок погрешностей вычислений напряжений и перемещений также являются преимуществами МПА. Метод последовательных аппроксимаций был применен в решении динамических задач в работе [43].

Б.Я. Лащениковым в [145] была получена формулировка численного интегрирования, учитывающая разрывы первого рода, где дается пример расчета балки на сосредоточенную силу с использованием предложенной методики.

С применением кусочно-полиномиальных функций в работе [42] получены формулы численного интегрирования и дифференцирования, учитывающие разрывы функций и её производной.

Р.Ф. Габбасовым в [41] предложена разностная модификация метода последовательных аппроксимаций. На основе разностной формы метода последовательных аппроксимаций в работе [41] получены решения различных задач строительной механики. Дальнейшее развитие метода последовательных аппроксимаций применительно к решению динамических задач по расчету балок, плит и пологих оболочек, а также разработка соответствующих алгоритмов и программ, даны в [179].

Методика расчета, использующая матрицу дифференцирования работы [8], была распространена на двумерные задачи В. А. Смирновым [262 — 264]. Им же показано применение метода к расчету пластин на упругом основании [265] и к расчету плит на динамические нагрузки [266].

Численные методы, используемые в задачах строительной механики, связаны с аппроксимацией искомой функции.

Положительная особенность сплайнов заключается' в том, что они хорошо приспособлены для решения интерполяционных задач. Развитие теории^ сплайн — функций изложены в работах [7, 275, 340]. Дальнейшее развитие теории сплайн — функций получила в работах [17, 32, 97, 105, 134, 155]. Применение теории сплайнов для численного решения интегральных уравнений излагается в работах [97, 106,179, 317, 340].

В МКЭ непрерывные функции, описывающие физические и механические величины, заменяются приближенными выражениями, которые, являясь гладкими в пределах каждого конечного элемента, будут непрерывными и кусочно-дифференцируемыми во всём теле. Эти приближенные функции конструируются с использованием неизвестных параметров, таких, как их значения в узловых точках, и интерполяционных функций, так что распределение физических величин в каждом конечном элементе может быть определено однозначно по их значениям в узловых точках. Следовательно, исходные дифференциальные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений, которые определяют неизвестные параметры [31].

Наиболее важными и первыми среди работ зарубежных исследователей по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются работы [311, 321, 324, 345].

Развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов, таких как вариациониые принципы со смягченными условиями непрерывности [328], принцип Германа для несжимаемых или почти несжимаемых материалов и для задач изгиба пластин [324, 326, 352 и т. д.]. Практическое использование этих принципов при формулировке МКЭ изложено в работах [328, 337, 340].

Хорошо известно, что метод взвешенных невязок (МВН), метод Релея-Ритца (МРР), метод конечных разностей (МКР) являются тремя основными методами дискретизации. Если для рассматриваемой задачи можно сформулировать вариационный принцип, то решение можно получить с помощью обычного метода конечных элементов, построенного на основе метода Релея-Ритца, в котором неизвестные параметры определяются из решения системы алгебраических уравнений. Если же вариационный принцип сформулировать нельзя, то для определения неизвестных параметров следует использовать метод взвешенных невязок.

МВН, который содержит в качестве частных случаев некоторые методы дискретизации, такие, как метод коллокации и метод Галеркина, является основой методов дискретизации и позволяет разъяснить свойства отдельных методик. МВН можно использовать для решения многих инженерных задач, и, следовательно, он обладает универсальностью при решении практических задач [31].

В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчёта строительных конструкций является МКЭ [9, 16, 31, 45, 46, 57, 98, 99, 111, 125, 126, 144, 159, 161, 162, 169, 170, 175, 176, 200, 202, 208, 212, 215, 216, 218, 239, 240, 241, 242, 246, 248, 249, 255, 256, 260, 290, 291, 296, 301, 303 — 308, 311, 352 и др.].

Современный этап науки о сейсмостойкости сооружений характеризуется интенсивным развитием экспериментальных и теоретических методов исследований, направленных на углубленное изучение физических свойств реальных зданий и сооружений в условиях интенсивных сейсмических движений. При этом одним из важнейших направлений является анализ упругопла-стических колебаний сооружений, который составляет одну из центральных проблем современной теории сейсмостойкости. Сказанное выше свидетельствует об актуальности темы.

В практике научных исследованный и инженерных расчетов в области прочности. все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела. Во-первых, это связано с повышением требований к надежности современных инженерных конструкций, а во-вторых, с возможностями компьютерной техники, которые позволяют проводить расчеты со значительными объемами вычислительных операций для многосвязных областей, ограниченных линиями сложного очертания, особенно при наличии угловых точек и усложненных граничных условий, и использование аналитических методов решения уравнений становится проблематичным. Поэтому вопросы построения алгоритмов численного решения уравнений, удобных для реализации на ЭВМ, становятся актуальными.

Из приведенного обзора литературы и анализа состояния вопроса можно заключить, что существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостьюпоэтому актуально создание расчетной модели, в наилучшей степени отражающей конструктивные особенности элементов при действии динамических нагрузок.

Цель диссертационной работы — развитие метода сосредоточенных деформаций для динамических задач строительной механики.

Научная новизна работы состоит в том, что:

— впервые метод сосредоточенных деформаций применен к решению динамических задач по расчёту балок и плит на упругом основании и плоской динамической задачи теории упругости;

— метод сосредоточенных деформаций впервые развит и применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических силпри этом формирование матрицы внутренней жесткости в трехмерных задачах выполняется с учетом податливости реальных связей;

— разработана методика и получены новые результаты расчета многомассовой системы с учетом физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмического воздействия;

— разработаны программы решения на ЭВМ статических и динамических задач;

— получено решение динамических задач с учетом продольно — сжимающей силы;

— сформирована дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытийс учетом" податливости реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

Научная ценность определяется комплексом проведенных исследований, включая развитие метода сосредоточенных деформаций, на основе которого разработаны алгоритмы и программы, позволяющие получить решения прикладных задач строительной механики, имеющих важное народнохозяйственное значение.

Достоверность полученных результатов, сформулированных в диссертации, определяется корректным применением основных закономерностей и гипотез механики деформируемого твердого тела, численным исследованием сходимости решений, многочисленными сопоставлениями полученных результатов с известными, в том числе и с имеющимися точными решениями, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.

Практическое значение работы заключается в том, что:

— разработанные алгоритмы и программы используются в инженерных расчетах с применением ЭВМ;

— разработанный метод решениядинамических задач строительной механики применен при исследовании* напряженно-деформированного состояния пластинчатых систем с учетом податливости связей;

— предлагаемые алгоритмы и методы решения плоской задачи теории упругости позволяют исследовать односвязные и многосвязные системы при статических и-динамических воздействиях;

— предлагаемая" модель трехмерной системы может быть использована для решения задач сейсмостойкости с учетом пространственного характера сейсмического воздействия. рассчитаны диафрагмы, жесткости, сборные железобетонные диски пе-, рекрытий и: многоэтажных монолитных каркасных зданий, возводимые в> республике Таджикистан.

Реализация работы. Результаты разработок использованы в Институтесейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики.

Таджикистан при расчёте зданий на сейсмические воздействия по теме «Формирование динамических расчетных схем и разработка математических моделей сооружений для решения задач теории сейсмостойкости» и внедрены в практику проектирования и научно-исследовательских работ Акционерного общества открытого типа «Гипропром», Государственного унитарного предприятия «Научно-исследовательский институт строительства и архитектуры», Общество с ограниченной ответственностью «Ориён Арк» и Общество с ограниченной ответственностью «Файз-2003». Теоретические и прикладные задачи диссертации внедрены в учебный процесс Таджикского технического университета (ТТУ) по специальностям 2903 — ПГС, 2911- мосты и транспортные туннели, Хорогского государственного университета по специальности 2904 — Гидротехническое строительство. Акты о внедрении даются в приложении.

Апробация диссертации. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались: на X координационном совещании «Исследование, конструирование и расчет дисков перекрытий высоких зданий различных конструктивных систем» (Москва, 1984) — республиканских научно-теоретических конференциях (Душанбе, 1984, 1985, 1988, 1989 г. г.) — итоговой научно-теоретической конференций (Душанбе, 1989 г.) — расширенном заседании кафедры промышленного и гражданского строительства ТТУ (Душанбе, 2004 г.) — на областных научно — технических конференциях (Хорог, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008 г. г.) — на международной конференции «Развитие горных регионов Центральной Азии в XXI веке» (Хорог, 2001 г.), международной научно — практической конференции «16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и её историческая значимость в1 развитии науки и образования» (Душанбе, 2002 г.) — международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» (Душанбе, 2004 г.) — III Центрально — Азиатском международном геотехническом симпозиуме «Геотехнические проблемы строительства на просадочных грунтах в сейсмических районах» — том 2 (Душанбе, 2005 г.) — на республиканском симпозиуме «Экономика и наука ГБАО: прошлое, настоящее и будущее» (Хорог, 2005 г.) — международной научной конференции «Современные аспекты развития сейсмостойкого строительства и сейсмологии» (Душанбе, 2005 г.) — на международной научно — практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» (Душанбе, 2007 г.) — на республиканской научной конференции «100 лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии» «Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий» (Душанбе, 2007 г.) — на международной научно-практической конференции «Научно — технический прогресс и развитие инженерной мысли в XXI веке» Худжандский филиал Таджикского технического университета им. акад. М. С. Осими (Худжанд, 2007 г.) — в лаборатории «Моделирования сейсмических явлений и воздействий» института сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан (Душанбе, 2008 г.) — на расширенном заседании кафедры строительной механики и сейсмостойкости сооружений ТТУ (Душанбе, 2008 г.) — на объединенном научном семинаре кафедры строительной механики и сопротивление материалов Московского государственного строительного университета (Москва, 2008 г.) — на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета (Москва, 2009 г.).

На защиту выносятся:

1 .Математические модели статических и динамических состояний стержневых систем, разработанные на основе МСД с учетом податливости соединений и продольно-сжимающей силы.

2. Решение статических и динамических задач плит и балок на упругом основании при различных воздействиях и результаты расчета крупнопанельного здания на винклеровом основании по МСД (с применением сплайновой аппроксимации скоростей и ускорений).

3.Численные результаты расчета пластинок на действие статических и динамических нагрузок с учетом реальных связейрешение тестовых статических и динамических задач односвязных и многосвязных пластин на действие равномерно распределенного мгновенного импульса.

4. Результаты статического и динамического расчета пластинчатых систем с учетом податливостей соединений.

5. Динамические модели зданий при сейсмических воздействиях, а также с учетом гасителя колебаний.

6.Результаты динамического расчета зданий с учетом физической нелинейности и податливости соединений.

Публикации: по теме диссертационной работы опубликована монография «Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики» (соавтор Низомов Д.Н.). Основное содержание диссертации опубликовано в 44 статьях в России и республике Таджикистан.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, девяти глав, общих выводов, списка литературы из 352 наименований, приложения и содержит 392 страниц основного текста, включая 143 рисунка, 103 таблицы.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.

1.В диссертационной работе развивается численный метод динамического расчета конструкций — метод сосредоточенных деформаций, предложенный А. Р. Ржаницыным и развитый далее для статических задач М. И. Додоновым, применительно к расчету конструкций с учетом податливости соединений. Показана наглядность и сравнительная простота метода и удобство его использования в практических расчетах.

2.Предложенный в диссертации алгоритм статического и динамического расчетов стержневых и пластинчатых систем прост и компактен, его применение в исследовательской практике позволит численно решать многие задачи и отказаться от трудоемких, дорогостоящих и продолжительных экспериментов. Внедрение изложенной методики в практику проектных организаций, оснащенных ЭВМ, позволит получать более экономичные и надежные конструктивные решения. Алгоритм метода является достаточно универсальным и хорошо приспособленным для программирования. Разработаны также алгоритм и программы: решения плоской задачи теории упругости для многосвязных областей, динамического расчета пластин, расчета многоэтажного здания с учетом кручения и физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмических сил.

3.Развитый метод сосредоточенных деформаций позволяет учитывать конструктивные особенности элементов без дополнительных узлов, что существенно упрощает расчеты и уменьшает трудоемкость подготовки к расчетам.

4.Впервые метод сосредоточенных деформаций применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических сил;

5. Метод сосредоточенных деформаций впервые применен к решению динамических задач по расчёту плит и балок на упругом основании.

6.Предлагается дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий, податливости основания, реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.

7.Разработанная методика расчета многомассовой системы позволяет исследовать динамическое поведение здания с учетом упругопластических деформаций при различных значениях коэффициента упрочнения с использованием единой обобщенной системы уравнений. Предлагаемый алгоритм реализован при решении задач сейсмостойкости на воздействие в виде мгновенного импульса, а также при учете акселерограмм землетрясений.

8.Разработанная модель и алгоритм расчета пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций на основе принятых допущений о взаимодействии элементов в реальных связях позволяют проводить исследования напряженно-деформированного состояниямногоэтажных зданий с учетом пространственной работы при различных воздействиях. Составлены, программы численного, решения задач статики и динамики пластинчатых систем.

9.Разработанная математическая модель метода сосредоточенных деформаций позволяет проводить исследования различных динамических задач. Модель метода хорошо согласуется с реальной работой сборных элементов зданий. Полученные дифференциальные уравнения интегрируютсяпо времени с использованием сплайн-аппроксимаций шаговым методом: Проведены численные эксперименты по анализу сходимости и точности решения при сгущении сетки.

Ю.Разработана математическая модель, статических и динамических состояний стержневых системоснованные на МСД с учетом, податливости соединений и продольно-сжимающей силы.

11.Показан метод определения перемещений, внутренних усилий, нормальных и касательных напряжений во внутренних и внешних угловых.

391 точках в плоской задаче и изгибаемых пластинах. Алгоритм решений апробирован на тестовых задачах. Сравнение полученных результатов с известными решениями показывает достаточно хорошее совпадение.

12.0сновные положения метода подтверждены проведением численных экспериментов, связанных с решением тестовых примеров и сравнением полученных результатов с аналитическими решениями и результатами расчетов по МКЭ и другим численным методам, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.

13.Результаты расчета по развитому методу использованы при расчете монолитной диафрагмы жесткости 6 и 12 -этажного каркасного здания и 12-этажного монолитного каркасного здания и сборного железобетонного диска перекрытия при действии сейсмических нагрузок в г. Душанбе. Результаты расчета модели помещения атомной электростанции, полученные МСД, показывают, что характер напряженного состояния хорошо согласуется с данными эксперимента.