Абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств

1. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [23], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников. Определение 1. (см. [11]) Последовательность ненулевых элементов полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПС в Р, если любой элемент х? Р представим в виде суммы ряда оо

X — ^ ^ к=1 абсолютно сходящегося к х по топологии Р.

В цикле работ Ю. Ф. Коробейника [11]-[14], [16] были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.

Впоследствии в [15] было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП).

Определение 2. Последовательность % = (-й^)^ нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПСП в Р, если любой элемент х 6 Р представим в виде суммы ряда оо х =^2х (к х{к) енк, к=1 абсолютно сходящегося к х по топологии Е.

В случае, когда Нь одномерны, понятия АПС и АПСП совпадают. Отметим, что аналог метода коэффициентных пространств применительно к АПСП был построен А. В. Абаниным в [2] для пространств Фреше и в [3] для (£)^5)-пространств.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена дальнейшему развитию теории АПСП. Основные цели работы следующие: распространить метод коэффициентных пространств для случая АПСП в пределах проективных спектров (ЬЛ)-пространствполучить критерий для АПСП в пределе (1).Р5)-спектра при дополнительных ограничениях на структуру системы подпространствустановить необходимые и достаточные условия того, что данная система экспонент является АПС в пространстве ультрадифференциру-емых функций, задаваемом уточненным порядком. На их основе построить конкретный пример АПС экспонент в пространствах данного видадать описание АПСП, инвариантных относительно умножения на функцию, в пространствах пробных П-ультрадифференцируемых функций.

2. В первой главе диссертации рассматриваются системы подпространств в пределах проективных спектров (1/Л)-пространств. Приводятся необходимые и достаточные условия того, что данная последовательность подпространств является АПСП в пределе (.О-Р^-спектра.

Дадим определение проективного спектра. Пусть каждое Ет — (ЬВ)-пространство, то есть является внутренним индуктивным пределом банаховых пространств {Ет^п, || • ||m, n)?LiПредположим, что заданы линейные непрерывные инъективные отображения i^+i из Em+i в Ет. Положим

Proj°? := = (жт)≅1 G Д Ет: хт = i™+1xm+1,Vrn G n|, Proj1^ := ^ Д E^J jВ (?), где

00 оо

Ы£=1 е П Ern3(bm)™=1 G П т=1 т=1 ат = C+l&m+1 — Ът^ТП G N|.

Обозначим через im отображения проектирования из Proj°? в Em, а через Е — пространство Proj°?, наделенное топологией проективного предела пространств Ет относительно отображений гт. Это пространство называют пределом проективного спектра? — (Em, i™+1)™=1. Спектр? = (Em, i™+1) называется приведенным, если для каждого m G N множество гтЕ плотно в Ет. Далее говорят, что? — (Em, i™+1) является (DFS) -спектром, если Ет^п компактно (вполне непрерывно) вложено в Ет, п+1 Для всех m, п G N. Напомним также, что внутренний индуктивный предел F локально выпуклых пространств Fn (п G N) называется регулярным, если каждое ограниченное множество в F содержится в некотором Fs и ограничено по его топологии.

Рассмотрим последовательность % — нетривиальных векторных подпространств в Е, для которой imHk вложено в пространство 2? шд, замкнуто в нем (k, m G N) и т lim sup ,. Х = 0 для всех m, n G N. (1) fc->oc)хеНк \ЪтХ т, п

Основным объектом в теории АПСП выступает пространство сю сю

А := П и Ат, п с топологией рго] тс! Ат, п, где для га, п е N

771—1 71=1 ТП П

ОО 00

А*, п :={х = (хМ)^ € П^А:: ||Х||т>" :=? < оо к=1 к=1 ^ оо оо ^

Сопряженное с, А пространство, А := и («] Ат^п наделяется тополо

ТП=1 п=1 гией тс! рго] Ат^ где для всех га, п Е N

Ат, п := { Ф = ЫГ= 1 е П Шт, п к=1 зхир: е Ч<4

Здесь под (Нк)'т^п понимается пространство, сопряженное с Н&с индуцированной из Ет>п нормой.

В общей теории АПС большое внимание уделено (в особенности отметим работу [13]) связи между АПС и разрешимостью некоторых интерполяционных задач. Следующий результат является критерием для АПСП в терминах разрешимости интерполяционных задач и представляет собой обобщение теоремы А* из [13]. Для его формулировки нам потребуется подпространство тех последовательностей из А, которые дают разложение нуля в Е оо

Д (70 := Х = (*<*>)?* х&trade- = 0 >. к=1

Теорема 1. Пусть Е ультраборнологическое пространство и каждое Ет — регулярный индуктивный предел. Последовательность % = (Н^ь-х тогда и только тогда является АПСП в Е, когда выполнены два условия: г) однородная задача ipнк = 0 (к = 1, 2,.) имеет только нулевое решение в Е'

И) для любой последовательности Ф = {ifk)kLi? для которой оо

Y^ — 0 njpw всеяX = G R^H), имеется такой к=1 функционал <�р G Е', что <�рнк — фк G N).

Для получения функционального критерия для АПСП было дано удобное для использования описание сопряженного с Е. Пространство Е' наделяется топологией ind Е^ где каждое Е^ — пространство Фрет ше с набором преднорм ф\т, п := sup (ll-m¹: Л е ® G е), П G N.

L I г ® I |ш, п J

Следующая теорема является необходимым условием для АПСП в пределах (DFS)-спектров и представляет собой обобщение теоремы 3 из [14], необходимой части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3].

Теорема 2. Пусть Е = (Em, i™+1) — приведенный (DFS)-cneKmp с Profe = о, а последовательность % = {.Hk)kL нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Em>i, подпространства гтНк замкнуты в Етд (к, т G N) и выполнено (1). Если % является АПСП в Е, то условие

Vmi 3m2 Vn2 Зщ ЗС < оо: |Mlkn2 < C||(ik)||mi, ni (2) справедливо для всех ip G Е', для которых IK^IhJI|mi п < оо при всех пе N.

Обращение теоремы 2 было получено при дополнительном условии, что последовательность 7i распадается на две составляющие: «проективную» (#2ft-i)jbLi и «индуктивную» (H2k)kLi, относительно которых предполагались выполненными условия: существует такое в, что для любого п и каждого т> э —1 найдется СШ) П < оо такое, что для всех к имеем гт" 8а-||т5)1 < Ст, п\гтх\т^п (х Е Н2к- 1) — (3) существует такое б, что для любого т и каждого п > з + 1 найдется ?)т, п < оо такое, что для всех к имеем я е н2к). (4)

При этих предположениях был доказан критерий для АПСП в пределах (.0⁵)-спектров, который является аналогом и обобщением теоремы 4 из [14], достаточной части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3]

Теорема 3. Пусть? = — приведенный (Л-спектр с

Рго^ 8 = 0, а последовательность % = (Нк)^^ нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Етд, подпространства гтНк замкнуты в Етд (к, т Е М) и выполнено (1). Предположим далее, что для (^2^-1)^1 выполнено условие (3), а для (#2/г)ь=1 — условие (4). Для того чтобы % была АПСП в Е, необходимо и достаточно, чтобы условие (2) выполнялось для всех ср Е Е', для которых 11(ИяЛЦ1 В < 00 при всех п Е N.

Отметим, что в работах Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шерстюкова (см. [17], [21] и [30]) критерии для АПС в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах последовательности банаховых пространств были установлены без предположений типа (1) и требования, чтобы гтНк С Етд. В случае проективных спектров от этих ограничений избавиться не удается. Одной из причин этого является то обстоятельство, что теория проективных спектров в настоящие время в достаточной для наших целей степени развита лишь для проективных спектров

— пространств (см. [40]).

В заключительной части первой главы, используя методы из [20] и [30], получены необходимые условия для АПСП в произвольном регулярном индуктивном пределе банаховых пространств.

Пусть (-Е1, С) — ind (-E7ri, 11 • ||п) — регулярный внутренний индуктивп ный предел последовательности банаховых пространств (Еп)&trade-=1, где Еп с—>¦ Еп+1 для любого n G N. Пусть далее Ti = — последовательность нетривиальных векторных подпространств в Е, причем будем предполагать, что пересечение Н^ПЕп замкнуто в Еп для всех к, п 6 N. Справедлива следующая

Теорема 4. Если последовательность нетривиальных векторных подпространств Ti = (Hk)^Li является АПСП в регулярном индуктивном пределе Е = ind (Еп, II • IL), то для любого п G N найдется т 6 N и п постоянная, А = Л (п, га) < оо такие, что для всех tp? Е' SUp MiH < A sup sup (Kpi: *<*> еНкПЕт x? En ||ж||п km { lFW||m

С помощью этой теоремы, было показано, что в пространстве целых функций [1, +оо) нет ни одной АПС вида {е^}^, где |Afc| оо, Л^? С, к = 1, 2, .

3. Возможность разложения в ряды из экспонент бесконечно дифференцируемых функций на фиксированном интервале вещественной прямой исследовалась в работе В. В. Напалкова [27], а в статье И. X. Мусина [26] рассматривалась задача о представлении такими рядами элементов весового пространства бесконечно дифференцируемых функций на всей вещественной прямой. Отметим также исследования Ю. Ф. Коробейника [18], [19] и [37], [38], в которых изучались абсолютно представляющие системы экспонент с чисто мнимыми показателями.

Вторая глава посвящена изучению АПС экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Румье на конечном интервале, задаваемых уточненным порядком. На основе теоремы 3 был установлен общий критерий для систем экспонент в указанных выше пространствах типа Румье и построена конкретная АПС экспонент. Полученные во второй главе результаты обобщают и уточняют соответствующие аналоги, представленные в [7] для случая обычного порядка.

Пусть С°°(— 1,1) — пространство всех бесконечно дифференцируемых на интервале (—1,1) функций.

Четную неотрицательную на Ж, неубывающую на [0, сю) функцию ш будем называть каноническим весом (см. [4, с. 19]) или весом в смысле Брауна-Майзе-Тейлора (см. [35, определение 1.1]), если она удовлетворяет следующим условиям a) oj (2t) = 0(u (t)) при t —У сю, (7) Int — o (u (t)) при t —У oo, оо dt < 00, (5) ipu (t) := (jj (el) выпукла на М.

С каждым каноническим весом и, номерами тип свяжем полу нормированные пространства 9 е С°°(-1,1): \д\^п := sup sup I^M < 00 1, где No = N U {0}, <�Ри (у) := sup (ccy — (рш (х)) — сопряженная по Юнгу с х>0 функцией срш (х) = ш (ех).

00 00

Рассмотрим 1,1) := П U^тп ~ пространство ультраш=1 п=1 дифференцируемых функций типа Румье с естественной топологией projind?^, относительно которой ?/w (—1,1) является приведенным п ' т «проективным пределом (1).Р5)-пространств.

В работе рассматриваются канонические веса ир (г) t):= lipD. iGK (^(^(О) := 0), задаваемые уточненным порядком р (г) —> р 6 (0,1).

Пусть Л = {А^}^-! (Ак 7*- 0) возрастающая по модулю последовательность в С с единственной предельной точкой на бесконечности. Для /? Н (<�С) и т, п? N положим supК^ {z), \f\m, n = zeС fceN где й =, -, z ее.

Согласно [4, глава V, теорема 5.4.4] сопряженное с }(—1,1) пространство можно отождествить с изоморфным пространством целых функций

1) = {/ Е Я ©: Зт G N Vn G N ||/||^п < оо} .

С помощью теорем 2 и 3 был получен следующий общий критерий для АПС экспонент в пространстве }(—1,1).

Теорема 5. Для того чтобы система {е~гХкХ}™=1 была абсолютно представляющей системой в }(—1,1), необходимо, а если Л = {Afc})^ распадается на две подпоследовательности Л1 := {А^}^ и Л2 := удовлетворяющие условиям lim —1 ^fcl— — оо lim —I — q то и достаточно, чтобы выполнялось

Vmi 3т2: Vn2 Зщ ЗС > 0: 11/Ц^ < C\f\mi, ni (5) для всех f G A{W/)®}(—1,1) таких, что ||/||mi п < оо при каждом n? N.

С помощью данной теоремы показано, что система {егА:с}лел> где Л = {^Ытгк}&trade-^ U {±7^}^ является АПС в пространстве ?{wp®}(—1> 1) при любом уточненном порядке р (г).

4. Одним из направлений в исследованиях Ю. Ф. Коробейника было изучение АПС в индуктивных пределах банаховых пространств. В работах [11] - [14] были получены различные критерии того, что данная последовательность элементов является АПС в некотором (ИГЗ)-пространстве. Впоследствии А. В. Абаниным эти результаты были распространены в [3] на случай АПСП. Однако для произвольных индуктивных пределов банаховых пространств подобных критериев пока не получено. Даже в случае строгих индуктивных пределов, которые довольно близки по своим свойствам к (£)^5)-пространствам, используя технику из [11] - [14], получить схожие результаты для АПС (или АПСП) не удается.

В третьей главе приводятся новые результаты в данном направлении. Получены условия того, что данная система подпространств является АПСП в пространстве пробных £7-ультрадифференцируемых функций, и с их помощью построены конкретные примеры АПСП в пространствах такого вида. В настоящей главе существенно используются терминология и некоторые результаты из [4].

Следуя [4, с. 10], N-весом будем называть произвольную измеримую по Лебегу, локально ограниченную в М-^ функцию со: —> [0,+оо), для которой оо

I е-^С < ОО, I < оо,

Я" 1 где := зир{о-©: ||<|| < НС11 := |0ь| для С = (Съ • • •, О) из Е*.

С каждым А^-весом ии компактом К с непустой внутренностью в свяжем банахово пространство Т>Ш (К) бесконечно дифференцируемых в функций с носителем в К о, нормой д\ы := sup (eRN

Здесь := f д{х)е~г<�х^> dx — преобразование Фурье функции д

RN x, С >= JClCl + • • • xn (n для x = (жь. .. , xn) и С = (Cl) • • •, Gv) из rn.

Обозначим через Wl (через W&) совокупность таких последовательностей iV-весов Q = что для любого натурального п найдется такая постоянная Сп, что для всех? ? №.N ип{() < i© + Сп соответственно, a-n+i (?) < CcVi© + Сп). По Q из Wjj (из Wfj) образуем векторное пространство оо vm (K) = f| VUn (K) п=1 оо

I соответственно, P{n}(iT) = VUn{K) п=1 которое будем рассматривать с топологией проективного (соответственно, индуктивного) предела последовательности пространств (1)Шп (К))™=1 относительно отображений вложения.

Для открытого в M. N множества G определим пространство

Vn (G) := (J Va (K), kcg где объединение берется по всем компактам К из G, и наделим его топологией внутреннего индуктивного предела пространств Т>п (К). Здесь и далее будем писать Г2 без скобок в тех случаях, когда какое-либо обозначение или утверждение касается как п е wl, так и Г2 Е Wjy. Функции из Т>п{0) называются пробными Г2- улътрадифференцируемыми функциями на Пространства Рп© принадлежат классу строгих индуктивных пределов.

Пусть ^ — произвольная последовательность -/Vвесов из И^ или из И^. Будем говорить, что в пространстве Т>о,{0) последовательность функций (</?&) является абсолютным разбиением единицы на компакоо оо те К, если <�£>к{%) — 1 для всех х? К, и ряд абсолютно схок=1 к=1 дится в ^п© к некоторой срезающей функции компакта К. Назовем последовательность нетривиальных векторных подпространств (Нк)^=1 пространства локальным разбиением единицы в если для любого компакта К С. С существует такая последовательность функций (<�Рк ^ Нк, к = 1, 2,.), которая является абсолютным разбиением единицы на К.

Получена теорема, которая описывает характеристическое свойство всех АПСП в удовлетворяющих дополнительному свойству замкнутости относительно операции умножения.

Теорема 6. Для того чтобы последовательность нетривиальных векторных подпространств (Нк)&-=1 была АПСП в необходимо, а в случае замкнутости каждого Нк относительно операции умножения на произвольную функцию из и достаточно, чтобы была локальным разбиением единицы в

С помощью теоремы 5 был построен следующий конкретный пример АПСП в Рассмотрим открытое локально конечное покрытие (Сгй)^ множества <2, в котором — компакт в С (к = 1, 2,. .). Напомним, что открытое покрытие (С?г-)ге/ (где I — некоторое семейство индексов) множества С? называется локально конечным покрытием если для любого компакта К, лежащего в (2, можно указать лишь конечное число множеств этого покрытия, которые имеют с К непустое пересечение. Согласно [4, следствие 2, с. 51] в пространстве Vо (С?) существует абсолютное разбиение единицы неотрицательными функциями (рк из подчиненное данному локально конечному покрытию

Символом С°°(С?) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых на С функций. По выбранной последовательности (сРк)к^-1 построим векторные подпространства в Т)$© следующего вида

Ы = {т е Vn (G): д е С°°(С)}, к = 1, 2,. .

Тогда по теореме 5 последовательность является АПСП в п©.

В заключительной части главы показано, что в случае правильных весовых последовательностей существуют такие последовательности (<�Рк)&trade-=1 пробных функций, на основе которых можно строить АПСП сразу в целом семействе пространств ультрадифферснцируемых функций. Приведем соответствующий результат.

Следуя [4, пункт 2.3.1], весовую последовательность О, = (о-п)^=1 из Ждг (из будем называть правильной, если при каждом п? N

1) найдется Сп> 0 :

1п (1 + ПСИ) < К+1(С) — ««(01 + Сп (Се К»).

2) существует такой ЛГвес г/, что при всех С, 77 Е V) < ^п-ы© + Н7!) соответственно, с^п+1(С + «л) ^ ^© + г/(7?))

Как показано в [4], для любой правильной весовой последовательности = (сОп)&trade-^ из Vjif или из И^ можно указать такой канонический вес

16 и, что при всех п G N и rj G

Ып{С + < Wn+l (0 + К1Ы1), еСЛИ ^ из

ИЛИ wn+i (C + 77) < w"(0 + К1М1)> если ^ из и^,

Такой вес v называется ассоциированным с Q.

Возьмем произвольную правильную весовую последовательность П = (шп)&trade-=1 из Wjf или из Wfj и ассоциированный с ней вес и. Рассмотрим функции фк? T>^(G), к? N, которые являются абсолютным разбиением единицы в (G) на каждом компакте К в G. Под обозначением понимается пространство пробных ультрадифференциру-емых функций соответствующее весовой последовательности Qi = (пи)^!- Тогда последовательность подпространств

Hk, n:={gi/>k:g eVn (G)}> ке N. является АПСП в ?>n (G).

Таким образом, выбранная последовательность (V'fc)fcLi универсальна в том смысле, что по ней с помощью подпространств вида Hk, n строится АПСП в T>q (G)i где Г2 — произвольная правильная весовая последовательность, с которой ассоциирован вес и.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета, а также на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2007 и 2009 гг.), на VI Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.) и на

Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» в Уфе (2009 г.).

По теме диссертации опубликованы б работ ([41]- [46]). В совместных с А. В. Абаниным статьях [41]- [43] А. В. Абанину принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А. В. Абанину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору Ю. Ф. Коробейнику за полезное обсуждение результатов и замечания, способствовавшие улудшению изложения. индуктивном пределе банаховых пространств. С их помощью показано, что в пространстве целых функций [1, оо) нет ни одной АПС вида {еЛ**}£°=1, где |АЛ| / оо, к е С, к = 1, 2,.

1. Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. Вузов. Математика, — 1991; № 2. С. 3−12.

2. Абанин А. В. О разложении пространств в ряды из подпространств // Актуальные вопросы математического анализа, — Ростов-на-Дону: Изд-во «ГинГо». — 2000, — С. 23−27.

3. Абанин А. В. Индуктивные абсолютно представляющие системы подпространств // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование.— Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2006, С. 27−34.

4. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.- М.: Наука, 2007.

5. Абанин А. В., Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент в пространстве бесконечно дифференцируемых функций и некоторые их применения // Тезисы Международной конференции памяти Н. В. Ефимова.— Ростов-на-Дону, 1996.— С. 115−116.

6. Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн, — 2006, — Т. 47. № 3. С. 485−500.

7. Абанин А. В., Шершнева О. В. Об одной системе экспонент в пространствах Жеврея // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2001.— N3, — С. 3−6.

8. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.- М.: Ин. лит., 1959.

9. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Наука, 1979, — 320с.

10. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства РБ и БРЭ // Успехи мат. наук, — 1979, — Т. 34, — N 4, — С. 97−131.

11. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб.— 1975.—-Т. 97. 139:2, — С. 193−229

12. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН. Сер. матем 1978. 42, — С. 325−355.

13. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1980. Т. 44 № 5, — С. 1066−1114.

14. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // УМН.— 1981.— 36:1. С. 73−125.

15. Коробейник Ю. Ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки, — 1985. Т. 38, — № 5. С. 741−755.

16. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1986.—Т. 50 — N 3. С. 539−565.

17. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализация сопряженного пространства // Изв. Вузов. Математика.— 1990.— N2. С. 68−76.

18. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Докл. РАН.- 2000. Т. 372. № 1. С. 17−20.

19. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения// Комплексный анализ и математическая физика, — Красноярск, 1988. С. 62−73.

20. Коробейник Ю. Ф., Шерстюков В. Б. Абсолютно представляющие системы в пространствах Фреше. Связь с достаточными множествами // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 1998.— N4, — С. 22−23.

21. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.— М.: Гостехиз-дат, 1956, — 632с.

22. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент, — М.: Наука, 1976.— 536с.

23. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1983, — 175с.

24. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах // Мат. заметки.— 1986.— Т. 39.— N6.— С. 877 886.

25. Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Мат. заметки.— 2003.— Т. 37.— N3, — С. 402−415.

26. Напалков В. В. Достаточные множества в одном классе целых функций // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа: Башкирский филиал АН СССР. Отдел физики и матем., 1980, — С. 110−115.

27. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М.: Мир, 1967.

28. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика, — 1957.— Т. 1.— вып. 1, — С. 60−77.

29. Шерстюков В. Б. Некоторые классы полных систем. Достаточные и эффективные множества: Дис.. канд. физ.-мат. наук.— Ростов-на-Дону, 1999.

30. Шефер X. Топологические векторные пространства М.: Мир, 1971.

31. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.- М.: Мир, 1969.

32. Boas R. P. Entire functions.— NY: Acad, press, 1954.

33. Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney’s extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Studia Math.- 1991. Vol. 99. P. 155−184.

34. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.- 1990 — Vol. 17 P. 206−237.

35. Braun R. W., Meise R.} Vogt D. Applications of the projective limit functor to convolution and partial differential equations // Advances in the Theory of Frechet Spaces.- T. Terzioglu (Ed.).- NATO ASI Series С 1989. Vol. 287. P. 29−46.

36. Korobeinik Yu. F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely different! able functions // Studia Math.— 2000 Vol. 139 — N2. P. 175−188.

37. Korobeinik Yu. F. Representing systems of exponentials in the spaces of infinitely differentiable functions and extendability in the sense of Whitney // Turkish J. of Math.- 2001. Vol. 25. № 4. P. 503−517.

38. Meise R., Taylor B. A. Whitney’s extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat.— 1988.— Vol. 26. P. 265−287.

39. Vogt D. Topics on projective spectra of (LB)-spaces // Advances in the theory of Frechet Spaces. NATO Adv. Sci. Inst Ser. C — Vol. 2 871 989, — P. 11−27.

40. Абанин А. В., Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пределах проективных спектров (LB)-пространств // Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.— С. 7−15.

41. Абанин А. В., Михайлов К. А. Об абсолютно представляющих системах подпространств в проективных спектрах // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, — Ростов-на-Дону, 2008. С 89−90.

42. Абанин А. В., Михайлов К. А. Достаточные условия для абсолютно представляющих систем подпространств в (.О^б^-спектрах // Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу, — Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009, — С. 9−21.

43. Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пространствах пробных ультрадифференцируемых функций // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2009.— N6, — С. 8−11.