Актуальность работы. Оценивая вклад Н. А. Васильева в логику, современные исследователи неизменно отводят ему место предтечи нескольких направлений неклассических логик. Н. Решер, Л. Хвистек и А. И. Мальцев считали его предшественником многозначной логики, А. Арруда и В. А. Смирнов полагали, что развиваемая в его работах идея о возможности построения корректной теории рассуждений, относящейся к противоречивой онтологии, оказалась во многом созвучной с исходными содержательными установками паранепротиворечивой логики. В связи с этим представляет несомненный интерес подробное изучение оригинальных работ Васильева и оценка их с учетом как современного автору научного контекста, так и новейших перспектив и направлений развития логики и математики.
Начиная с конца 50-х гг. интерес к логическому наследию Н. А. Васильева неизменно возрастал. В 1962 г. появилась статья В. А. Смирнова, содержащая изложение основных идей Васильева. После опубликования Д. Д. Коми реферата этой статьи в 1965 г. в «Журнале символической логики», появился интерес к работам Васильева со стороны зарубежных исследователей, в частности, бразильский логик А. Арруда осуществила перевод основных работ Васильева на португальский язык, дала систематическое их изложение на английском языке, совместно с В. А Смирновым провела работу по подготовке издания трудов Васильева на английском языке. В 50−70гг. работы Васильева с разных позиций изучались А. И. Мальцевым, П. В. Копниным, В. А. Смирновым, затемВ.В. Аносовой, В. А. Бажановым.
Однако, несмотря на столь пристальное внимание, работы Васильева до сих пор служили практически только источником идей, последовательное же изучение и реконструкция собственных систем Васильева, за исключением некоторых работ В. А. Смирнова, пока осуществлено не было. Формальная реконструкция систем Васильева необходимо сталкивается с целым рядом трудностей, связанных, например, с тем, что построения Васильева не полны, и зачастую в его работах уделяется больше внимания обоснованию правомерности его рассуждений, чем рассмотрению собственно системы. Это объясняется как полемическим характером его работ, так и намерениями автора впоследствии опубликовать фундаментальный ~ труд, содержащий подробные выкладки доказательств. Однако, к сожалению, в настоящее время в нашем распоряжении имеется не слишком обильный материал, в котором многие важные вопросы опущены или обойдены молчанием.
Все перечисленные обстоятельства делают актуальным анализ текстов самого Васильева и реконструкцию его теории с использованием средств современной логики. Формальная реконструкция логики H.A. Васильева позволит 1) выявить семантические и дедуктивные особенности построенных им систем и 2) получить точные данные, которые позволили бы в дальнейшем определить место, занимаемое системами Васильева среди неклассических — многозначных и паранепротиворечивых — логик.
Новаторские взгляды Васильева можно разделить на несколько групп, генетически друг с другом связанных, однако представляющих собой независимые комплексы идей. Укажем некоторые из них: 1) критика традиционной (аристотелевской) силлогистики и разделение высказываний на фактические суждения и суждения о понятиях- 2) построение логики с суждениями о понятии- 3) выделение в логике базисного уровня — металогики — и уровня эмпирических законов- 4) анализ природы отрицания- 5) доказательство эмпиричности закона противоречия и возможности построения логики без неговоображаемой логики- 6) построение п-мерных логик — логик с п качественными различиями суждений.
В рамках данной работы мы рассмотрим подробно 2), 5) и 6) пункты, остальные вопросы будут затрагиваться лишь по мере необходимости.
Критика Васильевым традиционной силлогистики основывается на исследовании правомерности понимания частных суждений как «Некоторые, а может быть, и все Б есть (не есть) Р». Васильев считает, что такое их употребление является необоснованным, и в логике частные высказывания следует трактовать как «Только некоторые (не все) 8 есть (не есть) Р». При таком понимании частноутвердительное и частноотрицательное высказывание являются как бы двумя составляющими одного, т.н. акцидентального высказывания: «Некоторые Б есть Р, а все остальные — не есть Р». Васильев строит силлогистику с тремя основными типами высказываний, рассматривает законы этой системы и имеющиеся в ней модусы силлогизма.
Впервые реконструкция идей Васильева методами современной логики была осуществлена В. А. Смирновым, который переформулировал систему С2 в языке, содержащем три типа высказываний, и построил исчисление васильевского типа С2У. Однако остается неясным, насколько это исчисление является адекватным силлогистике самого Васильева, и не будут ли другие системы, построенные исходя из других семантических условий, более соответствовать его подходу.
Следующий рассматриваемый нами комплекс идей основывается на выделении в логике двух уровней — базового уровня металогики, содержащего законы, составляющие минимум логического, законы суждения и вывода вообще, и уровень эмпирических законов, отражающих свойства реальности. Эмпирический характер имеет и закон противоречиявследствие этого можно представить себе некоторый мир, в котором любой предмет может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством. В логике такого мира суждения по качеству будут делиться не на два, как в аристотелевой логике, а на три типа — утвердительные, отрицательные и т.н. индифферентные. Васильев строит соответствующую систему и называет ее воображаемой логикой. Далее он обобщает понятие воображаемой логики и рассматривает логику с п качествами суждений (которые Васильев называет измерениями), или п-мерную логику.
Этот комплекс идей был очень обстоятельно изучен В. А. Смирновым, который и предложил первую формальную реконструкцию воображаемой и п-мерной логики.
Реконструкцию воображаемой логики В. А. Смирнов осуществляет на основании семантики с топологической интерпретацией высказываний. Исчисление формулируется в терминах общих и частных высказываний и содержит 22 схемы аксиом.
Однако эта реконструкция не вполне адекватна собственно васильевским текстам. Так, систему Смирнова можно назвать чистой позитивной силлогистикой, при этом некоторые высказывания понимаются им как содержащие внутреннюю модальность. В собственной же системе Васильева значительная роль отводится сингулярным высказываниям, и высказывания различных типов в основном варианте воображаемой логики рассматриваются как ассерторические. Кроме того, система Смирнова весьма громоздка, вопрос об адекватности ее предложенной семантике требует разрешения. Все это позволяет нам считать данную систему лишь некоторым подготовительным этапом для более тщательного изучения и реконструкции воображаемой логики Васильева, работы, которая, к сожалению, не была завершена.
Реконструкция В. А. Смирнова для n-мерной логики отличается большей, по сравнению с воображаемой логикой, стройностью, однако для этой системы не приводится никакой семантики. Поэтому, учитывая, что и в данном случае можно отметить некоторые несоответствия указаниям самого Васильева (например, относительно языка), и для n-мерной логики работу по реконструкции системы Васильева нельзя считать завершенной.
Цели и задачи исследования. Основная цель работыосуществление реконструкции основных логических систем H.A. Васильева — ассерторической силлогистики, воображаемой логики и п-мерной логики — синтаксическими и семантическими средствами современной логики.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
1. произвести подробный анализ статьи H.A. Васильева «О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого», являющейся основным изложением его ассерторической силлогистики, привлекая по мере необходимости более широкий круг работ, выявляя эксплицитно и имплицитно содержащуюся в ней информацию относительно системы H.A. Васильева и рассмотреть систему васильевского типа C2V В. А. Смирнова;
2. перестроить основные силлогистические системы (фундаментальную, больцановскую и традиционную силлогистику) в силлогистики васильевского типа, т. е. переформулировать их в языке с тремя основными типами суждений;
3. выявить, какая из систем васильевского типа (полученные три системы и система C2V) является адекватной формализацией ассерторической силлогистики H.A. Васильева;
4. произвести подробный анализ статей H.A. Васильева «Воображаемая (неаристотелева) логика» и «Логика и металогика» (и по мере необходимости, другие его работы), и дать изложение основного варианта его воображаемой логики и рассмотреть реконструкцию воображаемой логики, предложенную В. А. Смирновым;
5. дать интуитивно ясную семантику воображаемой логики, построить исчисление, формализующее класс законов воображаемой логики и доказать его непротиворечивость и полноту относительно предложенной семантики;
6. на основании анализа статей Васильева «Воображаемая (неаристотелева) логика» и «Логика и металогика» дать изложение его n-мерной логики и проанализировать реконструкцию п-мерной логики В. А. Смирнова;
7. распространить предложенную семантику на n-мерный случай и построить исчисление, формализующее класс законов п-мерной логики и доказать его непротиворечивость и полноту относительно предложенной семантики.
Результаты исследования. В ходе исследования удалось выполнить поставленные задачи. Основными результатами, составляющими новизну диссертации, являются следующие: 1. основные силлогистические системы переформулированы в языке с тремя основными типами суждений и построены соответственно исчисления васильевского типа ФВ, БВ и С4В;
2. доказана их погружаемость в исчисление предикатов посредством указанного для каждой из них перевода высказываний основных типов на язык логики предикатов;
3. показано, что построенная нами система С4 В является наиболее адекватной реконструкцией ассерторической силлогистики H.A. Васильева;
4. предложена интуитивно прозрачная семантика для воображаемой логики, основанная на идее сопоставлении каждому общему термину трех объемных характеристик;
5. построено исчисление BJI, адекватно формализующее класс законов воображаемой логики H.A. Васильева;
6. доказана непротиворечивость и полнота исчисления BJI относительно данной семантики;
7. построена система n-мерной логики с ясной семантикой, основанной на идее приписывания каждому общему термину п объемных характеристик;
8. сформулировано исчисление, BJIn, адекватно формализующее класс законов n-мерной логики и доказана его непротиворечивость и полнота относительно данной семантики.
Тезисы, выносимые на защиту. Основными положениями, выносимыми в данной диссертации на защиту, являются следующие:
1. Системы васильевского типа ФВ, БВ и С4 В, сформулированные в языке с тремя основными типами высказываний, погружаются в исчисление предикатов посредством указанных для каждой из них переводов.
2. Из четырех систем васильевского типа — ФВ, БВ, C2V и С4Вименно система С4 В является адекватной реконструкцией ассерторической силлогистики H.A. Васильева.
3. В качестве семантики для воображаемой логики можно рассматривать модели с приписываниями каждому общему термину трех объемных характеристик.
4. Исчисление BJI аксиоматизирует класс законов воображаемой логики, оно непротиворечиво и полно относительно предложенной семантики.
5. Семантика для n-мерной логики основывается на моделях с п-кой объемных характеристик, сопоставляемых каждому общим термином.
6. Исчисление BJIn аксиоматизирует класс законов n-мерной логики, оно непротиворечиво и полно относительно предложенной семантики.
Теоретические и методологически основы исследования.
Теоретически и методологически наше исследование основывается на идеях, выработанных отечественной и зарубежной логической мыслью. В формальной части работы использованы уже апробированные методы доказательств погружаемости одного исчисления в другое, непротиворечивости и полноты исчисления относительно некоторой семантики, которые модифицируются применительно к нашим системам.
Теоретическое и практическое значение работы. Результаты настоящего исследования могут быть использованы при преподавании ряда спецкурсов по истории логики, силлогистике, неклассической логике. Диссертация может быть использована как точная основа при исследовании логических идей H.A. Васильева в более широком логико-философском контексте.
Апробация. Результаты исследований по теме диссертации докладывались и обсуждались на Смирновских чтениях (Москва, 1997 г.), на I Российском философском конгрессе (Санкт-Петербург, 1997 г.) на V Общероссийской научной конференции (Санкт-Петербург, 1998 г.).
По теме дирсертации опубликовано четыре печатных работы.
Порядок изложения. Рассмотрение указанных выше вопросов мы будем производить в следующем порядке:
Первая глава данной работы посвящена рассмотрению ассерторической силлогистики H.A. Васильева: проводится анализ текстов Васильева и приводится система В. А. Смирнова C2V, осуществляется перестройка силлогистических систем фундаментальной, больцановской и традиционной силлогистики и доказывается погружаемость полученных систем ФВ, БВ и С4 В в исчисление предикатов. В завершение рассматривается вопрос об адекватности реконструкции ассерторической силлогистики Васильева.
Вторая глава посвящена воображаемой логике H.A. Васильева: приводится учение Васильева о природе отрицания и его критика закона противоречия, излагается система воображаемой логики и предложенные Васильевым ее интерпретации и приводится реконструкция воображаемой логики на базе топологических моделей В. А. Смирнова и изложение работ В. И. Маркина и Д. В. Зайцева, содержащие исследования некоторых не основных вариантов воображаемой логики. Далее мы предлагаем свою реконструкцию основного варианта воображаемой логики H.A. Васильева, формулируем семантику, строим исчисление BJI и доказываем его непротиворечивость и полноту относительно данной семантики. Мы показываем далее, что в BJI доказуемы все упоминаемые Васильевым законы воображаемой логики.
Третья глава посвящена n-мерной логике H.A. Васильева. В ней дается наш анализ текстов Васильева, приводится реконструкция В. А. Смирнова инаша реконструкция n-мерной логики H.A. Васильева, формулируется ее семантика, строится исчисление BJIn и доказывается его непротиворечивость и полноту относительно данной семантики. Далее мы демонстрируем, что в ВЛ&bdquoдоказуемы аналоги всех законов воображаемой логики для n-мерного случая.
Заключение
.
Как мы уже указывали во введении, спектр логических изысканий H.A. Васильева очень широк. Целью нашего исследования была реконструкция более или менее полно описанных им систем, и эта цель в основном была достигнута. Мы видим, что системы васильевского типа могут быть построены в рассмотренных нами трех основных силлогистических теориях — такими системами являются ФВ, БВ и С4 В. Для каждой из них существует перевод высказывании основных типов на язык логики предикатов, посредством которого эти системы погружаются в ИП, что было продемонстрировали с помощью критерия, сформулированного В. А. Смирновым.
Далее, изучение текстов Васильева показывает, что 1) в его системе принималась семантическая предпосылка о непустоте всех терминов, входящих в формулировку любого закона и 2) присутствовал силлогистический закон тождества. То есть он строил свою систему исходя из условий истинности, принимавшихся в господствовавшей в его время традиционной логике.
Поэтому исчислением, которое может считаться адекватной реконструкцией системы Васильева, является С4 В, (результат перестройки С4 — исчисления, адекватно формализующего чистый позитивный фрагмент традиционной силлогистики). В С4 В в явном виде сформулированы принимаемые Васильевым семантические предпосылки, что представляет несомненную ценность для всех последующих исследований логических и философских воззрений этого автора.
Реконструкции воображаемой логики основана на семантике, в которой с каждым общим термином сопоставляются три объемных характеристики: его объем, его антиобъем и область, противоречивая относительно данного термина. В языке высказывания делятся по качеству на три типа: утвердительные, отрицательные и индифферентные. Соответствующее исчисление ВЛ является адекватной формализацией класса законов воображаемой логики, что доказывается стандартными методами. Теоремами исчисления В Л являются все упоминаемые Васильевым законы воображаемой логики, и в нем недоказуемы все отвергаемые им утверждения. В представленной нами реконструкции воображаемой логики в полной мере учтена специфика языка Васильева (в частности, введение в систему сингулярных высказываний) и приведены все опущенные у самого Васильева доказательства законов воображаемой логики.
Система п-мерной логики появляется как обобщение воображаемой, и ее реконструкция основывается на идее приписывания каждому общему термину п объемных характеристик, соответственно в языке имеется п качественных различий суждений. Исчисление ВЛП непротиворечиво и полно относительно данной семантики, что доказывается стандартными методами. Теоремами ВЛП являются аналоги всех законов воображаемой логики для п-мерного случая.
Представленная реконструкция п-мерной логики, как и п-мерная логика Васильева, строится как обобщение логики воображаемой, с ясной семантикой и адекватным языком, что отличает данную реконструкцию от предложенной ранее реконструкции В. А. Смирнова.
Полученные нами результаты в дальнейшем могут послужить основой для более полного формального описания логического наследия Васильева. Например, опираясь на наши построения и на изложенные нами работы Д. В Зайцева и В. И Маркина, можно было бы попытаться дать полную картину логики понятий и всех ее вариантов, упоминаемых H.A. Васильевым. Интересным представляется вопрос о подробном рассмотрении всех не основных вариантов воображаемой логики и их формальной реконструкции. Наличие практически во всех системах Васильева параллельно модальных и ассерторических интерпретаций высказываний делает актуальным построение модальных силлогистик васильевского типа — задача, к решению которой уже сделаны первые шаги [26, с.240−245- 20, с.208−212]. Очень важной для оценки всего контекста работ Васильева является задача соотнесения результатов данной реконструкции с современными системами неклассической, в частности, многозначной и непротиворечивой логики.
Учитывая разнообразие и многоплановость логических и методологических построений Васильева, естественным кажется тот факт, что многие интереснейший вопросы, которые он поднимает, остались в значительной степени за пределами нашего рассмотрения. Так, практически совершенно не затронутым остался комплекс вопросов, связанных с выделением в логике металогического уровня и уровня эмпирических законов. Задача формализации металогики, очевидно, очень сложна и не обязательно разрешима [26, с.238−239]6. Перспективной представляется работа по анализу природы отрицания, и рассмотрение различных типов отрицания, указанных Васильевым.
Представленная работа, безусловно, должна рассматриваться в общем контексте современных исследований логических воззрений H.A. Васильева. Как было отмечено во введении, более или менее полно разработаны лишь некоторые аспекты теории Васильева, а цельное и полное исследование всей системы его взглядов представляется делом будущих разработок. Предложенная диссертация ориентирована именно.
6 В. А. Смирнов попытался построить систему металогики как секвенциальное исчисление без структурных правил, однако вопрос об адекватности такого решения остается открытым. на такое более полное и системное исследование. Автор стремился заполнить существующие пробелы в реконструкции наиболее принципиальных идей Васильева. Результаты проведенного исследования во многом объединяют уже имеющиеся работы по рассмотрению логических взглядов Васильева в единую систему и вполне могут послужить отправным моментом для последующего изучения логики Н. А. Васильева.
