Актуальность проблемы. В механике жидких сред часто используются так называемые классические модели, к которым относятся уравнения: газовой динамики, Эйлера идеальной жидкости, Навье-Стокса вязкой жидкости, Обербека-Буссинеска конвективных течений. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [35], микроконвекции [40], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [22,54]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования уравнений подмоделей усложненных сред. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Они используются в качестве «тестовых задач» для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов.
Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [7]. Отметим также монографию [9], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя.
Марангони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.
Данная работа посвящена изучению уравнений подмоделей движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии. Эти подмодели возникают при изучении движений смесей в достаточно длинных цилиндрических слоях. По классификации группового анализа они являются инвариантными или частично-инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии. Соответствующие системы уравнений хотя и содержат меньшее число зависимых и независимых переменных, однако начально-краевые задачи для них являются очень трудными для исследования.
Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.
Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [43,44]. Термодиффузия используется для определения состава нефти и разделения ее компонентов [63], нанесения различных покрытий на изделия из металлов и играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [14]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [60,62].
Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями теплои массоперено-са. Используется приближение Обербека-Буссинеска, предназначенное для описания конвективных течений в естественных земных условиях. Предполагается, что плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации легкого компонента: р = ро (1-/?10-Дгс).
Здесь ¿->о — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации, а через в и с обозначены малые отклонения от средних значенийкоэффициент теплового расширения смеси, (3% — концентрационный коэффициент плотности (/% > 0, поскольку с — концентрация легкого компонента). Движение смеси описывается системой уравнений [22,54] иь + {и' Ч) и = -—Ур + 1УАи — е (/?1б> + /?2с),.
Ро.
0.1).
Сь + и • Ус = а? Дс + ас1А0, сИу и = 0, где и — вектор скорости, р — отклонение давления от гидростатического, и — коэффициент кинематической вязкости, х ~ коэффициент температуропроводности, в, — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, g — вектор ускорения свободного падения. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид, а — —йв/Оо<1, где йо ~ коэффициент термодиффузии, во — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения, а < 0, а для аномальной термодиффузии, а > 0.
В частном случае (с = 0, а = 0) система (0.1) переходит в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости (модель Обербека-Буссинеска). Для данной модели известно достаточно много точных решений, значительная часть которых приведена в монографиях [22,23]- они являются стационарными, то есть не зависят от времени. Эти работы посвящены исследованию устойчивости различных типов конвективных течений, а также механического равновесия. Групповые свойства уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались в [26], а для стационарных плоских течений — в более ранней работе [30] (см. также монографию [7]). В указанных работах построен ряд точных решений, часть из которых была найдена ранее другими методами.
Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [25,64], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [22]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур изучалась в [24], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [37]. Отметим также работу [59], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии.
В указанных выше работах были найдены точные решения уравнений (0.1), описывающие стационарное основное течение. Методы группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовались. Однако, как показано в [45], все эти решения имеют групповую природу. Групповые свойства системы (0.1) в случае g = 0 рассмотрены в [2]- там же отмечена важность изучения нестационарных движений смесей. Исследование начально-краевых задач о движении смесей в цилиндрических слоях с поверхностями раздела или свободными границами является актуальной задачей.
Уравнения термодиффузионного движения (0.1) в отсутствие массовых сил в цилиндрической системе координат г, </?, г имеют вид.
V V2 1 (Л 2 и.
Щ + ииг + - Чш + —=—Рг + *М Аи—хУф—о 1 г г р г1 гг).
V UV vt + uvr + - vv + wvz Ч—- = г г pr.
0.2) v 1.
Wtf uwr 4— W (pf wwz = —pz 4- z/Д-ш, r p и 1 ur H—-(- - Vp + wz = 0, r r.
Bt + u6r + -Btp + w0z = r V ct + ucr H— Си, + wcz = dAc + adAO, r где и, v, w — проекции вектора скорости на оси г, ip, z соответственнор — давление- 9, с — отклонения температуры и концентрации от их равновесных значений 0q, соД = д2/дг2 + г~1д/дг + г~2д / dtp2 д2 / dz2 — оператор Лапласа.
Нам еще понадобятся компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат:
Vrr = —р + 2fiUr, Vee — —р + 2д vv + i, = —р + 2/лк-2, Vrip = VVr = fi Uy, + vr — i, (0.3) = fi (vz + ^ ги^, = Vzr = Ц ('wr + uz), где ¡-л = pv — динамическая вязкость смеси.
Перейдем к постановке задачи о совместном движении двух смесей. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных вязких смесей с общей границей раздела. Обозначим через Qj.
7 = 1,2) области, занятые смесями, с поверхностью раздела Г, и^х, ?), ^-(х, ?) — соответственно вектор скорости и давление, вj (x, t) и сДх, ?) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил = 0) имеет вид [8]:
Рис. 1: Схема области течения с/и.7 1.
— I—Урн =7Ли7-, СНУШ = 0, аЬр4.
0.4).
Сп. А 7 л + а^АО, = ХзЩ, где рз — средняя плотность, г/^ — кинематическая вязкость, Хз ~ температуропроводность, ^ — коэффициент диффузии, щ — коэффициент термодиффузии (коэффициент Соре) — <1/<И = д/дЬ + и., • V.
Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения, а на границе раздела зависит от температуры и концентрации, а = а (в, с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью, а (6, с) = а°- ая (0 — 90) — ве2(с — со), (0.5) где аех > 0 — температурный коэффициент, 8Э2 — концентрационный коэффициент (обычно ае2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г:
111 = и2, х € Г (0.6) равенство скоростейи • п = х е Г, (0.7) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г — движущаяся материальная поверхность. Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в Г^, Уп — скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скоростей обеих жидкостей на Г, попарно совпадающих в силу (0.6);
Р2 — Р) п = 2<�т#п + Уг<7, х е Г, (0.8) динамическое условие, оно означает равенство всех сил, действующих на поверхность (сил давления, трения, поверхностного натяжения и термоконцентрационных сил). Здесь Р) = —р^Е + 2pjl/jD (uj) — тензоры напряжений, Б — тензор скоростей деформаций, Е —единичный тензор, Н — средняя кривизна поверхности Г, Уг = V — (п • У) п обозначает поверхностный градиент. Далее,.
91 = 02, сх = Лс2, х е Г, (0.9) условие непрерывности температур и концентраций на границе раздела, Л — постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.
Кроме того, на поверхности раздела.
2§ ~к1ш = 0- х&euroг- (оло) ю.
Соотношение (0.10) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные kj — коэффициенты теплопроводности.
Еще одно условие — равенство потоков вещества через границу раздела: (дс2 дв2, (дсх двЛ, Л оп оп J дп оп J.
Области и могут контактировать не только друг с другом, но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Ена них ставится условие прилипания uj = a. j (х, t), х G Еj, (0.12) где aj (x, i) — скорость движения стенки T, j. Кроме того, будем считать, что температура в точках Еj удовлетворяет одному из условий.
9(9 = QIT (x, ?), 6j = i), X G Е,-, (0.13) с заданными функциями QJCT и 93ст. То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура. Отсутствие потока вещества через твердые поверхности Е^: дсп двп «= x? Si. (0.14).
Области i^i и 0,2 могут также контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Ti границу раздела смеси I2i с газом, тогда поверхность Гх называется свободной границей. На Г^ должны быть выполнены динамическое условие.
Pgas ~ р) п + 2evD (u)n = 2сгНп + Vrc, X G гь (0.15) и кинематическое условие (/(х, t) = 0 есть уравнение Ti) + и • V/ = 0, хеГь (0.16) в (0.16) pgas — давление в газе — является известной функцией. Условие теплообмена смеси с газом запишется так: 7(0 — «= Q, Х€ГЬ (0.17) где 7 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, вёа8 — температура газа, — заданный внешний поток тепла. Еще одно условие на Г: хег» (018) есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на Г].
Для полной постановки задачи к соотношениям (0.4)-(0.18) следует добавить начальные условия.
11^(х, 0) = 11(у (х),.
•(х, 0) = 0<�у (х), (0.19) сДх, 0) = %(х), х е Далее для двухслойных смесей будем полагать ] = 1, 2, а для однослойных — = 1 и индекс «1» опускается.
Приведем здесь, в цилиндрической системе координат, условия на свободной границе (0.15)—(0.18). Пусть описывается уравнением /(г, (р, г, ?) = г — /г ((/?, г, ?) = 0. Так как в этой системе координат (д I д д Л 1,, Л 1 то кинематическое условие (0.16) при г = примет вид.
Ы +Н (р + 'шН2-и = 0. (0.21).
Условие теплообмена (0.17) перепишется так: к (вг~Ь ^ «Ь~1 + 7(0 ~ вда= а условие (0.18) —.
0.22) сг — Ь^Ср — + а (вг — ^ ЬрОф —) = 0. (0.23).
Далее, касательные к Гх векторы ех = (1 + к~2к^р)~½{к~1к (р^ 1,0), в2 = (1 + /г2)1/, 2(Дг, 0,1) образуют с вектором п локальный базис на Гх. Он ортогональный, если к^ = 0 или к2 = 0. Проектируя динамическое условие (0.15) на этот базис, получим три соотношения.
Рд> ав р + 2риБп • п = 2сгЯ, = j = 1,2. (0.15').
Тензор скоростей деформаций в цилиндрической системе координат представляется матрицей (см. формулы (0.3)).
В = иг.
1 Л.
2 I ~ + иг—^ 1 1 г.
1/1 1 4 2 ^ + ^ - - и.
1 1.
— и* + - гА г г.
— (и2 + гиГ) 1 гУу,).
1 /.
— [иг + Юг).
Юг.
Поскольку УГсг • ej = • е^ав + Ус • е^-<�тс, из (0.15') находим У<�р и к к к щ + 'Шг) Ш к ь.
РV к.
0 г + 19*Гв+~нч'~гнчр1ис ч> сг «Ь Сгп I (гг.
1 — к){и2 + тг) + 2 кг (иг — ии2) — ^ + к^ к%.
Рдаз ~Р + 2РУЬ' и 'ХХ/ ^ Уг ~ к + ~к) = р" + ^ ав + + '.
Пг ~ ~к Уг ~ Ть + н) ~ +.
М* Л, <, ^ /Ч, Л, и2ш к к Г кЛ к +кГ 2 аН.
0.24).
0.25).
0.26).
Средняя кривизна поверхности Гх с уравнением г = к (<�р, г, ?) определяется по формуле.
Н = - [(к^ - к)(1 + к) к — 2кчз{к^ + к^кгк)+.
0.27).
Цель диссертационной работы заключается в исследовании инвариантных и частично-инвариантных решений начально-краевых задач, описывающих однослойные и двухслойные термодиффузионные движения смесей в цилиндрических слоях, построение точных решений этих задач и вычисление их асимптотического поведения, а также численное решение поставленных задач.
Методы исследования. В данной работе для нахождения точных решений и вычисления асимптотик использовались метод преобразования Лапласа, метод Фурье для решения параболических уравнений, метод априорных оценок, а также методы общей теории дифференциальных уравнений. Для численного решения задачи применялись следующие методы: метод численного обращения преобразования Лапласа при помощи квадратурной формулы наивысшей степени точности, метод Галеркина, метод Рунге-Кутта.
Научная новизна. В диссертации впервые исследованы начально-краевые задачи, описывающие нестационарные однослойные и двухслойные течения бинарных смесей в цилиндрических областях. Для решений специального вида найдены точные решения и вычислено их асимптотическое поведение. Численное решеиие некоторых задач хорошо подтверждают качественные результаты.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование конвективных течений, качественный анализ дифференциальных уравнений. Проведенное исследование моделей термодиффузионного движения вносят вклад в качественную теорию дифференциальных уравнений данной подмодели, а также теорию описываемых этой моделью явлений — конвекции, диффузии и термодиффузии. Полученные результаты могут быть использованы при решении соответствующих задач как аналитическими, так и численными методами. Данная работа соответствует концепции программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на максимальное извлечение возможностей, заложенных в свойствах симметрии дифференциальных уравнений механики сплошной среды.
Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных расчетов.
Личное участие автора в получении представленных научных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично автору. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.
Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы.
В первой главе изучаются осесимметрические нестационарные течения бинарной смеси вблизи точек локального нагрева свободной цилиндрической границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации.
В § 1.1 рассматривается осесимметрическое движение бинарной смеси, так что в уравнениях термодиффузионного движения азимутальная скорость V равна нулю, а остальные функции не зависят от угла <р. Пусть гг (г, л, ?), и>(г, г, Ь) — проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат г и z, р (г, г, ?) — давление, 0(г, г, ?) — отклонение температуры от равновесной, а с (г, г, ?) — отклонение концентрации от равновесной. Тогда система уравнений примет вид (внешние силы отсутствуют).
0.28) и) ь + итг 4- тии2 -—Рг = VДгс, Р.
0.29) вь + ивг + швг = хД0> сг + исг + тсг = с1Ас + ас! А9, иГ 4- - и + = 0, г.
0.30) (0.31) (0.32) где Д = д2/дг2 + г~1д/дг + д2/дг2 — оператор Лапласа, р, г/, х, с/, а — положительные постоянные: плотность, кинематическая вязкость, температуропроводность, коэффициенты диффузии и Соре соответственно.
Предположим, что свободная граница описывается уравнением г = /¿-(г, ?). Тогда условия на ней примут вид:
Ы + шНг~и = 0- (0.33).
1 — к1)(и2 + гиг) + 2 Кг (иг — = —.
РV п п к до /1 ч да.
Мг + &-г) + (Ь2СГ + Сг) —.
0.34).
Рдазр + 2риЬ~2[иг — кг (иг + иог) + Ншг] = 2агН- (0.35) кЬ~1(вг — кг0г) + 7(0 — вдов) = <2- (0.36) сг — Нгсг + а (вг — Мг) = 0, (0.37) где Ь — (1 + Ь2)½] сг (6, с) — коэффициент поверхностного натяжения смеси и для большинства реальных жидкостей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью а (в, с) = а0 — ае1(0 — 0°) — эе2(с — с0) (0.38) с некоторыми постоянными <7°, 0°, с0, аех, аэ2- и 05а5 — давление и температура окружающего газа, который считается пассивным. В (0.35) Н — средняя кривизна свободной границы: И2 — 1 л .
Н=2 + (°'39).
Полная система уравнений и граничных условий в силу нелинейности, неизвестной свободной границы довольна сложна даже для численного решения. Поэтому целесообразно принять некоторые упрощающие предположения.
В § 1.2 рассмотрена четырехпараметрическая подгруппа, порожденная операторами дг^дг + <9С. Нетрудно проверить, что она допускается системой уравнений термодиффузии (0.28)-(0.32). Ее инварианты суть.
1,г, и, р, значит, частично-инвариантные решения относительно этой подгруппы имеют вид и = и{г,€), т = ги (г,-г,?), р = р (г,?), 0 = 0(г, г, ?), с = с (г, г,$. (0.40).
В этом случае из уравнения сохранения массы (0.30) следует, что т есть линейная функция от х. Положим.
Общий вид инвариантного многообразия относительно рассматриваемой подгруппы в пространстве {г, г, ?} есть г = с произвольной функцией Пусть зависимость сг (9,с) имеет вид (0.38), тогда из граничного условия (0.34) получим, что ае^ — в°) — ээг (с — с0) есть квадратичная функция 2. Поэтому положим, что.
0(г, 2-, ?) = а (г, ф2 + 6(г,, с (г, г, г) = 1{г, г) г2 + д (г, ?), (0.42).
Интерпретация решения (0.40)-(0.42) такова. Пусть при осесимметрич-ном нагревании достаточно длинного цилиндра бинарной смеси внешняя температура на его границе имеет максимум (а < 0) или минимум (а > 0) в точке z = 0. Тогда в окрестности точки внешнюю температуру можно аппроксимировать по параболическому закону, а движение внутри смеси описывается функциями (0.40)-(0.42).
Подстановка вида решения (0.40)-(0.42) в (0.28)-(0.37) приводит к нелинейной краевой задаче об отыскании функций только двух переменных г и t в области с неизвестной цилиндрической границей радиуса Н (Ь).
В § 1.3 при специальных данных найдено точное решение полученной начально-краевой задачи, которое имеет вид.
0.41) т тг.
0.43) —, и = — -г—-, т = сопэ^.
1 + тЬ 2(1 + тЬ) сг°(1 + га£)1//2 рь>т.
0.44) го 1 + шЬ.
0.45).
Аналогично находятся и функции Ь (г, ?), ¿-(г, ?), д (г, ?) — для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение использовалось в качестве «тестового» при численном решении общей задачи.
В § 1.4 с помощью специальной замены переменных общая задача преобразуется к начально-краевой задаче для системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в фиксированной области на отрезке [0,1] по пространственной переменной. Кроме того, эта задача оказалась разрешенной относительно производной по времени.
В § 1.5 приближенное решение искалось в виде ряда по смещенным полиномам Якоби .йд.0'1^ Это связано с тем, что исходная система (0.28)-(0.32) имеет особенность при г = 0. При этом, интересующее положение свободной границы определяется только нулевым членом разложения. В процессе решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает необходимость вычисления определенных интегралов от произведений полиномов Якоби. В приложении приводится алгоритм расчета интегралов в общем виде для любого приближения по методу Галеркина.
В § 1.6 численно построены распределения поля скоростей, температуры и концентрации, а также описана эволюция свободной границы. Получены следующие результаты:
1. Если начальные значения температуры и концентрации равны нулю, то осевая скорость и радиус цилиндра монотонно убывают, а температура и концентрация тождественно равны нулю.
2. Пусть внешний поток тепла, начальные значения температуры и концентрации не равны нулю. Тогда температурное поле в точке воздействия имеет максимальное значение и, следовательно, поверхностное натяжение имеет минимум. Жидкость течет в сторону максимального поверхностного натяжения — оттекает от центра. Скорость движения замедляется, радиус жидкого цилиндра уменьшается, концентрация также уменьшается. А температура сначала возрастает, затем быстро стремится к нулю. Осевая скорость с течением времени меняет знак на границе, следовательно, жидкость меняет направление движения и начинает притекать к центру из-за увеличения поверхностного натяжения. Радиус жидкого цилиндра постепенно увеличивается, концентрация возрастает, температура по-прежнему стремится к нулю. Заметим, что минимальные значения радиуса и концентрации наблюдаются при переходе скорости через нуль.
Глава 2 посвящена исследованию осесимметрического нестационарного движения плоского слоя со свободными границами.
В § 2.1 решение задачи (0.28)-(0.32) ищется в виде (в отличие от (0.40)-(0.42)): u = rui (z, t), w — w (z, t), р = p (z, t), 9 = afz, t) r2 + b (z, t),.
0.47) с = h (z, t) r2 + g (z, t).
Эти решения являются частично-инвариантными относительно четы-рехпараметрической подгруппы, порожденной операторами д/дг, td/dr + д/ди, д/дв, д/дс. Подстановка (0.47) в систему уравнений термодиффузии (0.28)-(0.32) и отделение переменной г приводит к нелинейной начально-краевой задаче об отыскании функций только двух переменных z и t в области с неизвестной границей, которой является толщина слоя l (t).
Если и, р, a, b, h, g являются четными, aw — нечетной функцией переменной г, тогда поверхность z = —l{t) можно принять за вторую свободную границу и следует добавить условия симметрии: uz = 0, w = 0, az = 0, bz = 0, hz = 0, gz = 0. (0.48).
В § 2.2 находится точное решение сформулированной выше задачи при специальных данных. Оно имеет вид, отличный от (0.43)-(0.46): k 2 к 1п.
1 + kt ' 1 + kt ' w (1 + kt)2 '.
P P,™ + (1 + kt)2 VW z) 1 + kt, /г = const > 0, Z (0) = Iq = const > 0.
1 00 t) = ^ J2 an cos (Л*^1 + exP (-, (0.50) n=0.
7ГП ЛГ (1 + kt)5 — 1.
An = —, nGiV, r = ^—f-. o ok.
Аналогично находятся и функции b (z, t), h (z, t), g (z, t) — для них соответствующие уравнения будут неоднородными. Это решение будет использоваться в качестве «тестового» при численном решении общей задачи.
В § 2.3 выполняется преобразование к задаче в фиксированной области. Решение задачи определялось методом Галеркина. В качестве базисных функций были взяты полиномы Лежапдра, причем, как следует из условий симметрии, достаточно ограничиться четными полиномами Р2т (у) — т — 0,1, Система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений преобразуется к системе ОДУ первого порядка относительно Зп + 1 неизвестных функций. Было показано, что решение (0.49), (0.50) является точным решением системы галеркинских приближений для любого п.
Расчеты задачи Коши для системы уравнений проводились методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Были получены следующие результаты:
1. Если начальные значения температуры и концентрации равны нулю, то температура и концентрация равны нулю, а радиальная скорость и толщина слоя монотонно убывают. Здесь точно воспроизводится тестовое решение.
2. Пусть внешний поток тепла, начальные значения температуры и концентрации не равны нулю. Тогда толщина слоя, как и компонент скорости, уменьшается. При переходе через нуль радиальная скорость меняет знак — жидкость меняет направление движения, начинает притекать вдоль поверхности к центру. Это объясняется тем, что поверхностное натяжение уменьшается, и жидкость оттекает от центра, затем поверхностное натяжение увеличивается, и жидкость снова начинает притекать. Толщина слоя увеличивается, концентрация растет. Минимальные значения толщины слоя и концентрации наблюдаются при смене знака скорости.
В главе 3 рассматривается инвариантное относительно оператора —dz + pogx ((3iA + (32В)др + Адт + Вдс решение уравнений движения бинарной смеси в модели Обербека-Буссинеска, которое имеет представление u = (и (х, у, t), v (x, у, t), w (x, у, ?)), р= -{A (3i + ?32B)gpQxz + q (x, у, ?), Т — — Azf 9(x, y, t), с = —Bz + c (x, y, t),.
0.51).
Введем функцию тока ф (г,(р), связанную с и и d соотношениями и = г-1^, у — —фгТогда система система уравнений, описывающая движение смеси в горизонтальной цилиндрической трубе, запишется в виде — d^'f) = + + Сг) 8[п (р + I (д + с) cosip] (о.52) г д (г,(р) г.
Щ + — (ф<�р1иг — i/v%>) = Aw — г eos v?- (0.53) АРг.
Pr 6t + — (ф<�рвг ~ Фг9<�р) — w — АО- (0.54).
Sccf + — Se (фсрСг — фтСф) — Ei w = Ac — sA9, (0.55) где д (Аф, ф) = ^ (Аф = фгг + - фг + ^ фч д (г, ф) ~ V—Г/7-ТНР ч—г/^гп —-гГГТ. г г/- • г2 «т» где введены безразмерные параметры, такие как число Рейнольдса, А = РгО2, число Грассгофа в, число Прандтля Рг, число Шмидта Бс, параметры термодиффузии ?,?1, определяемые формулами.
0,3).
Ставятся начальные и граничные условия: w = w0(r,(p), ф = 1ро (т, ф), 0 = во (г, ф), с = с0(г, р) при i = 0;
0.57) ф = 0, фг = 0, w = О, 9 Г = 0, сг — £0Г = 0 при г = 1- (0.58).
— ф, р, фГ: w, 9, с ограничены при г = 0. (0.59).
Таким образом, решаем задачу (0.52)-(0.59) с неизвестными ф, w, 9, с, причем t > 0, 0 < г < 1, 0 < <р < 2тг.
В § 3.2 находится стационарное решение для ползущего движения, А = 0 в случае теплоизолированной стенки.
1, я «(г5 — Зг3 + 4г). g {г' -г) cost/?, в3 =—^g——^ cos ip, (0.60) gl+g)(r5−3r3 + 4r) °S =—-cos ip. (0.61).
Фв (г,.
Если e = —ei, то получим решение В. В. Пухначева без учета концентрации. Если е = —1 — ?i, то ф3(г, (р) = 0, и, следовательно, и — v — 0, qs = 0, a ws = ws (r, tp), 9S = 9s (r, ip), cs = cs (r, ip) определяются по формулам (0.60), (0.61).
Для полученного решения массовый расход смеси через поперечное сечение трубы является нулевым.
В § 3.4 находится нестационарное решение для ползущего движения при Л = 0:
Скорость определяется формулой w h (^гм^) где? i^ — корни функции J (/?), а распределение «температуры» .
00 I (1 Г / МП2*.
Prexp — ^ к у.
Рг), ч.
7 (0.65).
• Ji (fJ*Pr) COS ф.
Решение при Рг = 1 находится из (0.65) предельным переходом при Рг —" 1.
Распределение «концентрации» и функция тока также определяются в виде рядов Фурье.
Доказано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при больших временах, например, ||k-s — w\2 < С ехр[—2(ц^)Ч] в норме пространства ¿-^((О, 1) х (0,27г) — г), где С = const > 0.
В § 3.5 находится решение стационарной задачи при достаточно малых значениях числа Рейнольдса в первом приближении. Это решение ищется в виде.
Ф (г, <р) = Фо (г, ф) + Хф1 (г, ф), w (г, ф) = w0 {г, ф) + Лгу 1 (г, ф),.
0.66).
9(г, ф) = во (г, ф) + 9{г, ф), с (г, ф) = с0 (г, ф) + Лс1(г, ф), где ф0,1п°)С0 есть решение соответствующих задач при Л = 0 (например ¦0°, u! o, co определяются формулами (0.60)-(0.62), а функции — последовательно как решение линейных задач. Они найдены в виде полиномов по переменной г и тригонометрических функций по ф, имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.
Рассматриваемое в задаче (0.52)-(0.59) при Л = 0 течение имеет плоскости симметрии х = 0, у = 0. Область течения х2 + у2 < 1, z Е 1Z разбивается плоскостями х = 0, у = 0 на четыре части, каждая из которых заполнена вложенными друг в друга цилиндрическими поверхностями тока ф (х, у) = const, z Е 71. Траектории жидких частиц имеют спиральный характер. В верхней половине трубы смесь движется в отрицательном направлении оси z, а в нижней — в положительном.
Приводится численный расчет профилей скорости, распределения «температуры» и «концентрации» для различных значений суммы параметров е—£. При отсутствии термодиффузии {? + Е = 0) жидкость поднимается вверх около нагретой стенки и опускается вниз около холодной. В этом случае отсутствуют неоднородности «концентрации» (с = 0). Если е+б1 > 0, то происходит нормальная термодиффузия и легкий компонент диффундирует в сторону нагретой границы. При Е—Е = —1 функция тока обращается в ноль, наступает механическое равновесие. Дальнейшее уменьшение суммы параметров е + Е приводит к аномальной термодиффузии: легкие компоненты стремятся в сторону холодной границы, а тяжелые оказываются в областях с повышенной температурой.
Указанная четырехъячеистая структура, которой обладает решение стационарной задачи при Л = 0, сохраняется и в решении нелинейной стационарной задачи для той же системы при достаточно малых Л ф 0. Показано, что движение смеси в цилиндре не меняется. Происходит расширение области, в которой движутся жидкие частицы, на величину порядка Л, т. е. спираль, по которой перемещаются частицы, расширяется на эту величину. Что касается функций 9 и с, то их максимальные значения уменьшаются на величину порядка Л.
Глава 4 посвящена исследованию однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости с общей поверхностью раздела в цилиндрической трубе под действием градиента давления в смеси.
Система уравнений термодиффузионного движения в цилиндрической системе координат допускает двухпараметрическую подгруппу непрерывных преобразований, соответствующую операторам д/ду, д/дг + Ад/дв + Вд/дс — р/фд/др,.
А, В — постоянные, /(?) € С°° — произвольная функция. Инвариантное решение следует искать в виде и = 0, у = 0, 1и = ии (г^) р=.
0.67).
9 = Аг + Т (г, ?), с = В г + К (г, ?).
Решение (0.67) применяется для описания однонаправленного движения бинарной смеси и вязкой теплопроводной жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса b под действием градиента давления /i (i) в смеси. Пусть смесь занимает область 0 < г < a, < оо, а вязкая жидкость — цилиндрический слой, а < г <00, так что Wj (r, t) — осевая скорость (j = 1, 2), pj = —pjfj (t)z + T>j (t) — давление, 0j = AjZ + Tj (r, t) — распределение температуры, c = Bz + K{r, t) — распределение концентрации в смеси..
Подстановка (0.67) в систему уравнений термодиффузии с учетом условий на поверхности раздела г = а, твердой стенке г = b и условий ограниченности на оси симметрии приводит к начально-краевой задаче wjt — fj (t) + Vj (vjjrr + ^ - (0.68).
ТЛ = Xj (rjrr + Tjr^J — Awj-.
0.69).
Кг = с?1-г + ^ + + ^ Т^ - (0.70) и)1(а, Ь) = ъи2(а^), 71 (а, ?) = Т2(а,?),.
1 дТг (а^) и дТ2(а, г) дК (а, г), 37! (а, ?) (°-71).
Л1-£- = Л2-о-> ——-о- = аг от ог ог.
2(*) = рЛ (*), Дг (*) = АС*) +Р^рх/Ы (0.72) X.
2^2г (а, ?) — М1гУ1Г (а, ?) = 0. (0.73) г02(М) = О, Г2(М) = 0. (0.74).
К (0,£)1 < оо, |Т1(0,4)| < оо, |К (0,£)| < сю. (0.75).
IV у (г, 0) = 0, 7)(г, 0) = 0, К (г, 0) = 0. (0.76).
Доказано, что задача (0.68)-(0.76) имеет стационарное решение только при В = 0 и оно представляется в виде (постоянные находятся из граничных условий) и>1 К.
Ь2 — а2)// + а2 (1 — -Ца" о Л г2™2 = «¡-¿-Г V ' м = го 1 16X11.
21 а2 + /2(62 — а2) — Г .
0.77) то = Ат*р/?, и2 ахЛг2/?.
16×11.
21 а2 + 11(Ъ2 -а2)-1- С3.
Можно видеть, что при заданных /]. (?), задачи для (гУ1, г^г),.
ТЬТ2), (X) решаются последовательно..
В § 4.3 сначала рассматривается задача об определении поля скоростей в слоях. Справедлива.
Лемма 1. Имеет место неравенство, а Ь / а Ь ГИ) с1г + J тт (1г < Мо I У ги, 1 г + Р2 I гии^^) (0.78).
0 о V о, а / с постоянной Мо, не зависящей от Wj и являющейся решением вариационной задачи.
Мо = вир.
VI, г>2еУ гу <1г + / гг?! <1г.
0а, а Ь.
1 / (¿-Г + / ^Г.
0.79).
Множество У является подпространством И^Чг- 0, а) х И/21(га, 6), причем выполнены граничные условия (0.71), (0.73—0.76) для г>2. На ее основе доказана.
Теорема 1. Решение начально-краевой задачи для определения возмущения поля скоростей при выполнении условия оо м 0.
1(т)|еЛт<*т = С7з,.
0.80) стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки f.
5 < 2/x^z/x/a2,.
0.81) w2(r, t)| < Vcle-W,.
0.82) равномерные в интервалах [a, b], [0,а]..
Здесь ?11 — первый корень уравнения <7о (д) — 0, а не динамическая вязкостьiVi, С4 = const > 0..
Другими словами, если градиент давления в смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смеси и жидкости за счет вязкого трения согласно неравенствам (0.81), (0.82)..
В § 4.6 рассматривается эволюция температурных возмущений. Были получены априорные оценки и на основе их доказана.
Теорема 2. Решение начально-краевой задачи для определения возмущений температур при условии (t).80j стремится к нулевому решению, причем справедливы оценки.
N2, С5, С7 = const > 0..
В § 4.7 рассматривается эволюция возмущений концентрации. Справедлива.
Лемма 2. Предположим, что функция g® непрерывна на отрезке.
О, а], а > 0, дг? L2(r- 0, а) и, а / rp® dr — 0..
Тогда для д (г) справедливо неравенство Фридрихса 2.
J rg2[r)dr J rgl®dr..
На ее основе доказана.
Теорема 3. При В = 0 и выполнении условия (t).80j возмущение концентрации стремится к нулю при t оо. Если lim fi (t) = fi = const ^ t—" oo.
0, то это возмущение стремится к стационарному распределению (0.77)..
Для получения более подробной информации о поведении скоростей, температур и концентраций применяется преобразование Лапласа. После некоторых выкладок найдено точное решение для изображений в виде: w 1 w2 = C2IQ (clIo[JLr)+iM.
Vi) P.
-Г) + C^Kq V2.
P Л+ IM «2 J P.
0.85) (0.86).
ACi p2 pxi (i/xi — IM) ol./^r.
T2(r, p) = P2/0.
AC2 r + D3K0 r.
PX2(1/X2 — IM) n.
P r iPX2(1/X2 — IM).
Aftfr) p2.
V2.
0.87) r J yF{y, p) y) K0 T dy (0.88) с постоянной Ь} определяемой а.
Li = - h.
У) +.
0.89).
Iq.
Доказано, что если lim fi (t) = /1 = const 0, то возмущения скоростей, температур и концентрации стремятся к стационарному распределению (0.77). Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как у течения Пуайзеля, а температура и концентрация являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате..
Полученные формулы (0.85)-(0.89) в изображениях по Лапласу были использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси. Численные расчеты подтверждают выход решения рассматриваемой задачи на стационарный режим (0.77)..
В Приложении приводится алгоритм расчета интегралов от произведений смещенных полиномов Якоби в общем виде для любого приближения по методу Галеркина..
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:.
Конкурс-Конференция молодых ученых Института Вычислительного моделирования СО РАН (г.Красноярск, 2004 г.),.
XXXV Региональная молодежная школа-конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г.Екатеринбург, 2004 г.),.
XXXVII Региональная молодежная школа-конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики «(г. Екатеринбург, 2006 г.),.
VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Красноярск,.
2006 г.).
XXXVIII Региональная молодежная школа-конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (г.Екатеринбург, 2007 г.),.
Семинары Института Вычислительного моделирования СО РАН «Математическое моделирование в механике «под руководством профессора В. К. Андреева-.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [10−12], [48]- [52]..
Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. К. Андрееву за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией..
Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Красноярского краевого фонда науки, проект 12^003М (2005) — Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 05 — 01 — 836 и НШ5873.2006.1 (2006), проект 02−01−934 (2004), проект 08−01−762 (2008) — интеграционного проекта СО РАН 2.15 (2006), междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 65 (2008)..
Заключение.
1. Аналитическими и численными методами изучены осесимметрические нестационарные течения бинарной смеси вблизи точек локального нагрева свободной цилиндрической границы в случае, когда поверхностное натяжение есть линейная функция температуры и концентрации..
2. Найдены значения интегралов от произведения смещенных полиномов Якоби..
3. Изучено осесимметрическое нестационарное движение плоского слоя со свободными границами. Найдено точное решение при специальных данных. Общая задача сведена к системе нелинейных интегродиффе-ренциальных уравнений, которая решена методом Галеркина..
4. Получены решения стационарной и нестационарной задачи о ползущем движении бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической трубе. Показано, что нестационарное решение выходит на стационарный режим при больших временах. Найдены решения стационарной задачи при достаточно малых значениях числа Рейнольдса в первом приближении..
5. Изучено инвариантное решение задачи о совместном движении вязкой теплопроводной жидкости и бинарной смеси в цилиндрической трубе, которое происходит под действием нестационарного перепада давления. Вязкая жидкость (смазка) и смесь не смешиваются и имеют общую поверхность раздела. Задача сводится к сопряженной начально-краевой задаче для параболических уравнений. Получены априорные оценки возмущений скоростей, температур и концентрации. Найдено стационарное состояние системы и доказано, что если градиент давления смеси достаточно быстро со временем (по экспоненте) стремится к нулю, то возмущения всех величин также стремятся к нулю. Если градиент давления имеет ненулевой предел при Ь —> оо, то решение выходит на стационарный режим. Именно, поля скоростей в пределе будут такими же, как и у течения Пуазейля, а температура и концентрации являются полиномами четвертого порядка по радиальной координате. Кроме того, доказаны два новых интегральных неравенства типа неравенств Фридрихса. Полученные конечные формулы в изображениях по Лапласу использованы при численном нахождении полей скоростей, температур и концентрации для различных заданных перепадах давления в смеси..
