Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией

Диссертация: Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В четвертой главе представлено решение задачи о рассеянии частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП) — сингулярном потенциале, отличном от нуля в точках канторова множества. Кроме того, здесь представлены результаты, полученные в для потенциала в форме «канто-ровой лестницы». Обе задачи интересны тем, что позволяют, в рамках сравнительно простых моделей, детально исследовать свойство… Читать ещё >

Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Модифицированный метод матрицы переноса
    • 1. 1. Введение
    • 1. 2. Постановка задачи
    • 1. 3. Матрица переноса для прямоугольного потенциального барьера и 5 -потенциала
    • 1. 4. Матрица переноса для систем потенциальных барьеров
    • 1. 5. Физический смысл и основные свойства параметров матрицы переноса
    • 1. 6. Условия полной прозрачности потенциальных барьеров. Фазовые точки поворота и интерпретация условия прозрачности для фаз
    • 1. 7. Условия резонанса для двухбарьерных систем общего вида
    • 1. 8. Условия появления широких резонансов для систем специального вида
    • 1. 9. Связь волновой функции с элементами матрицы переноса
    • 1. 10. Уравнения для элементов матрицы переноса
    • 1. 11. Связь матрицы переноса с решениями уравнения Риккати
  • 2. Построение асимптотических разложений волновой функции с учетом дифференциальных следствий уравнения Риккати
    • 2. 1. Введение
    • 2. 2. Уравнение Риккати для элемента р (х) матрицы переноса
    • 2. 3. Асимптотические разложения волновой функции, регулярные в точках поворота конечного порядка
    • 2. 4. Связь параметра разложения с постоянной Планка в точке поворота
    • 2. 5. Примеры разложений с учетом одного и двух дифференциальных следствий в случае линейного потенциала
  • 3. Квантовая динамика частицы в периодических структурах
    • 3. 1. Введение
    • 3. 2. Рассеяние частицы на одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров
      • 3. 2. 1. «Сшитое» общее решение уравнения Шредингера для периодических структур
      • 3. 2. 2. Общие соотношения для параметров рассеяния ограниченных периодических структур
      • 3. 2. 3. Области прозрачности и непрозрачности
      • 3. 2. 4. Отражение от полубесконечпой периодической структуры
      • 3. 2. 5. Связь со спектральной задачей для бесконечной периодической структуры
    • 3. 3. Стационарные состояния электрона в периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле
      • 3. 3. 1. Постановка задачи
      • 3. 3. 2. Функциональное уравнение для волновых функций, удовлетворяющих условию симметрии задачи
      • 3. 3. 3. Решение функционального уравнения
      • 3. 3. 4. О существовании решений, удовлетворяющих условию симметрии задачи
      • 3. 3. 5. Бесконечные периодические структуры
    • 3. 4. Стационарные состояния частицы с переменной массой в периодической структуре во внешнем постоянном однородном электрическом поле
      • 3. 4. 1. Постановка задачи
      • 3. 4. 2. Ванье-штарковский спектр
      • 3. 4. 3. Волновые функции и антипересечение уровней
    • 3. 5. Общая характеристика моделей
  • 4. Рассеяние частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве
    • 4. 1. Введение
    • 4. 2. Рассеяние частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП), заданном на канторовом множестве
      • 4. 2. 1. Постановка задачи
      • 4. 2. 2. Рекуррентные соотношения для СФП соседних уровней
      • 4. 2. 3. Скейлинговые свойства матрицы переноса СФП
      • 4. 2. 4. Функциональное уравнение для матрицы переноса СФП
      • 4. 2. 5. Обратные рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП
      • 4. 2. 6. Решение функционального уравнения для матрицы переноса СФП
      • 4. 2. 7. Обсуждение результатов численных расчетов
      • 4. 2. 8. Связь предлагаемого подхода с методом ренормгруппы
    • 4. 3. Рассеяние частицы на СФП, заданном на обобщенном канторовом множестве
      • 4. 3. 1. Постановка задачи
      • 4. 3. 2. Рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП
      • 4. 3. 3. Функциональные уравнения для параметров рассеяния СФП
      • 4. 3. 4. Результаты численных расчетов для первых двух типов СФП
      • 4. 3. 5. Связь решений функциональных уравнений с характеристиками СФП
      • 4. 3. 6. Матрица переноса СФП третьего типа
    • 4. 4. Рассеяние частицы на фрактальном потенциале в форме канторовой лестницы (KJ1)
      • 4. 4. 1. Постановка задачи
      • 4. 4. 2. Рекуррентные соотношения для матрицы переноса KJ
      • 4. 4. 3. Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса KJ
      • 4. 4. 4. Матрица переноса КЛ с фрактальной размерностью, равной единице
  • 5. Волновые функции и времена рассеяния для подпроцессов одномерного законченного рассеяния
    • 5. 1. Введение
    • 5. 2. Постановка проблемы для одномерного законченного рассеяния
    • 5. 3. Волновые функции для подпроцессов прохождения и отражения
      • 5. 3. 1. Амплитуды падающих волн для подпроцессов
      • 5. 3. 2. Волновые функции для прохождения и отражения в случае симметричных потенциальных барьеров
    • 5. 4. Характеристические времена рассеяния для подпроцессов
      • 5. 4. 1. Постановка задачи
      • 5. 4. 2. Локальное и асимптотическое групповые времена рассеяния
      • 5. 4. 3. Стартовые точки и асимптотические групповые времена рассеяния для подпроцессов в случае прямоугольного потенциального барьера
      • 5. 4. 4. Время пребывания для подпроцессов
      • 5. 4. 5. Ларморово время рассеяния для подпроцессов
      • 5. 4. 6. Загадка эффекта Хартмана

Как и в любой теории, в квантовой механике существует ряд моделей, которые служат в ней в качестве иллюстрации возможностей ее математического аппарата, и которые, как принято считать, получили в ней исчерпывающее объяснение. В частности, в квантовой теории рассеяния такой моделью является задача о рассеянии частицы на одномерном прямоугольном потенциальном барьере.

В последние десятилетия, когда стали реальностью искусственные квантово-размерные структуры, выращенные из однородных слоев разных материалов, значение этой модели трудно переоценить, поскольку анализ поперечного электронного транспорта в таких структурах сводится, в конечном счете, к исследованию квантовой динамики частицы в одномерных системах (см., например, [1, 2]). Кроме того, благодаря оптико-механической аналогии, такого же рода задача возникает и в исследованиях распространения света в слоистых средах [3, 4, 5].

Накопленный за это время опыт показал, что для некоторых структур, представляющих интерес как с прикладной, так и с научной точек зрения, даже в одномерном случае исследование квантовой динамики частицы может представлять серьезную математическую проблему. Сюда относится, например, задача о стационарных состояниях электрона в бесконечных периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле (так называемая ванье-штарковская проблема [6, 7]) и задача о рассеянии электрона на идеальных фрактальных потенциалах (см., например, [8, 9]), заданных на канторовом множестве. Решение первой из них важно для развития теории кристаллических твердых тел, а второй — для изучения предельных свойств предфракталов и явления масштабной инвариантности, которая возникает не только в теории фракталов, но и в теории критических явлений и в квантовой теории поля.

Следует еще раз подчеркнуть, что трудности, которые возникают при решении этих двух задач носят чисто математический характер. Так, в первом случае возникает проблема решения уравнения Шредиигера с сингулярным потенциалом. Во втором случае главной проблемой является необходимость точного учета геометрии канторова множества, на котором заданы фрактальные потенциалы.

Но, как оказалось, описание квантовой динамики частицы в одномерных структурах сопряжено не только с математическими трудностями. В частности, это было обнаружено в ходе исследования временных аспектов одномерного законченного рассеяния, при решении так называемой проблемы времени туннелирования [10]. Первоначально эта проблема была поставлена как чисто практическая, ибо нужно было научиться оценивать быстродействие приборов, в которых полупроводниковые ге-тероструктуры и сверхрешетки используются в качестве элементной базы. Однако, как оказалось, проблема определения времени туннелирования в рамках квантовой механики носит принципиальный характервсе существующие определения времени туннелирования приводят к аномально коротким и даже отрицательным по величине временам туннелирования.

Таким образом, несмотря на давнюю историю, при описании квантовой динамики частицы в одномерных системах возникает ряд проблем, решение которых остается актуальным и в настоящее время, причем как с практической, так и с научной точек зрения.

В данной диссертации представлены результаты оригинальных исследований автора, которые проводились с 1990 года по настоящее время и были направлены па решение перечисленных выше вопросов. Помимо введения и заключения диссертация содержит пять глав. В первой и второй главах представлены два новых метода решения уравнения Шредингера. В третьей и четвертой — точные решения ваиье-штарковской проблемы и задачи о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалахобе находились в центре внимания физиков-теоретиков длительное время. И, наконец, в пятой главе представлена новая модель одномерного законченного рассеяния, а также решение на ее основе проблемы времени туннелирования. Кратко остановимся па каждой из этих глав.

В первой главе представлен новый вариант метода матрицы переноса (см.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]), основной математической конструкцией которого является унимодулярная матрица переноса, представленная как функция трех «тривиальных» параметров — энергии частицы и координат левой и правой границ барьера — и трех «нетривиальных» параметров — вещественных параметров рассеяния, коэффициента прохождения и двух фаз. Для расчета параметров рассеяния получены рекуррентные соотношения, которые позволяют исследовать любые многобарьерные структуры, которые сформированы из гладких потенциальных барьеров, заданных в ограниченных пространственных интервалах, и ¿—потенциалов. Кроме того, на основе рекуррентного соотношения для коэффициента прохождения получены условия прозрачности одномерных структур, которые дают простой способ определения значений параметров полупроводниковых гетероструктур, при которых они прозрачны для электронов с заданной энергией. Это важно для целенаправленного создания гетероструктур с необходимыми свойствами. Следут также подчеркнуть, что именно этот вариант метода матрицы переноса лег в основу математических моделей, представленных в главах 3−5.

Во второй главе представлен новый способ [21, 22, 23] построения асимптотических разложений для решений одномерного уравнения Шредингера (ОУШ) с любым гладким потенциалом, заданном в ограниченном пространственном интервале. Основная идея подхода — использовать для этой цели дифференциальные следствия уравнения Риккати. Если использовано достаточное количество дифференциальных следствий, то получаемые таким способом разложения не имеют особенности в классических точках поворота конечного порядка. Асимптотические разложения, получаемые в данном подходе, справедливы во всей области барьера и в этом случае нет необходимости выводить формулы связи (формулы, связывающие решения в подба-рьерных и надбарьерных областях). Другая важная черта подхода состоит в том, что в нем можно ограничиться лишь главным членом разложения, а точность аппроксимации можно улучшать привлекая новые дифференциальные следствия уравнения Риккати.

Следует заметить, что наш подход [21, 22] был развит независимо от метода [24], где была предложена такая же идея. Кроме того, что оба подхода опубликованы почти одновременно, они существенно отличаются друг от друга. Так, в методе.

24] разложения проводятся, как и в методе Вентцеля-Крамерса-Бриллюэпа (ВКБ).

25], по степеням /I, где К — постоянная Планка. В нашем подходе решения уравнения Риккати находятся в виде разложения по степеням некоторой комплексной функции е (х, Н), которая зависит от вида потенциала и которая мала по норме вместе с Ях — пространственная переменная. Нахождение этой функции сводится к решению алгебраического уравнения (п + 2)-го порядка, где п — число используемых дифференциальных следствий уравнения Риккати.

В третьей главе представлено решение задач о движении электрона в локально периодических и бесконечных периодических структурах, без внешнего поля [26] и при наличии внешнего постоянного однородного электрического поля [27, 28, 29). Длительное время, начиная с работ Ванье [6] и Зака [7], шли жаркие дискуссии о характере энергетического спектра электрона в задаче для бесконечных периодических структур во внешнем электрическом поле (проблема Ванье-Штарка). Трудность ее решения связана с тем, что включение внешнего поля делает потенциал сшпулярпым и портит трансляционную симметрию, которая имеется для бесконечных структур без внешнего поля. Ванье и его последователи, используя однозонное приближение, доказывали, что в этой задаче спектр электрона должен быть дискретным, и позднее это было с хорошей точностью подтверждено в экспериментах, проведенных на сверхрешетках. Напротив, Зак и его последователи доказывали, что электронный спектр в данной задаче должен быть непрерывным, и это подтверждали строгие математические результаты, полученные для достаточно гладких потенциалов. Для потенциалов общего вида, без дополнительных условий па гладкость потенциала, характер спектра в данной задаче не был установлен ни в одном из известных подходов. Кроме того, не были получены решения уравнения, удовлетворяющие условию симметрии задачи, которая, хотя и отлична от трансляционной, но все-таки имеется в задаче с внешним полем.

В разделах 3.3 и 3.4 представлены, соответственно, модели [27] и [28], которые разработаны нами для описания одноэлектронных состояний в периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Первая из них базируется на ОУШ — в случае решеток она дает точное решение ванье-штарковскоп проблемы для любого потенциала, ограниченного в пределах одного периода решеткив частности, в ней определен энергетический спектр электрона и решения ОУШ, удовлетворяющие условию симметрии задачи. Кроме того, эта модель качественно дает энергетический спектр и в ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток. Однако для определения точного вида электронных состояний в сверхрешетках эта модель слишком грубая, поскольку кристаллический потенциал в каждом слое сверхрешетки аппроксимируется в ней константой. Во многих работах для этой цели используется уравнение для огибающей волновой функции. В связи с этим, метод, разработанный для анализа электронного спектра в ванье-штарковской проблеме на основе обычного ОУШ, был реализован также и на основе ОУШ для частицы с переменной массой, которое совпадает по форме с уравнением для огибающей волновой функции, полученном в рамках метода эффективной массы. При этом предполагалось, чю ограничения, которые накладывает метод эффективной массы на уравнение для огибающей волновой функции, не распространяются на ОУШ. В частности, в этой модели масса электрона, в отличие от метода эффективной массы, не зависит от энергии частицы. Разработка такой модели оправдана тем, что в работах по ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток, которые проводились в рамках метода эффективной массы, зависимость эффективной массы частицы от энергии не учитывалась, ибо, в противном случае, решение задачи становится чрезвычайно сложным.

В четвертой главе представлено решение задачи о рассеянии частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП) [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39] - сингулярном потенциале, отличном от нуля в точках канторова множества. Кроме того, здесь представлены результаты, полученные в [40] для потенциала в форме «канто-ровой лестницы». Обе задачи интересны тем, что позволяют, в рамках сравнительно простых моделей, детально исследовать свойство масштабной инвариантности, которая появляется не только в теории фракталов, но и в квантовой теории поля и в теории критических явлений. При этом важно подчеркнуть, что, в отличие от всех известных подходов, которые были разработаны, например, для исследования параметров рассеяния СФП, предлагаемые модели являются точными. Кроме того, они базируются на обычном ОУШ, а не на модельных уравнениях Шредингера, которые возникают в исследованиях квантовой динамики частицы в случайных фрактальных средах. В предлагаемых моделях фрактальная размерность появляется в ходе решения задачи, а не как входной параметр.

В пятой главе представлено решение [41, 42, 43] проблемы времени тунне-лирования. Как известно, в существующих подходах, основанных на стандартной модели одномерного законченного рассеяния (ОЗР), время туннелирования может быть аномально коротким (парадокс Хартмана) и даже отрицательным по величине, что является физически неприемлемым результатом. С нашей точки зрения (см. [44, 45, 46, 47, 48]), трудность определения времени туннелирования в рамках стандартной модели ОЗР связана с тем, что волновой пакет, описывающий состояние электрона в данной задаче в начальный момент времени, распадается после рассеяния на прошедший и отраженный волновые пакеты, локализованные в разных пространственных областях. Как следствие, измерение физических наблюдаемых, характеризующих частицу после рассеяния, предполагает наличие двух детекторов, а вся совокупность (идентичных) измерений естественным образом разбивается на две части — на экспериментальные данные для прошедших частиц и данные для отраженных частиц.

Согласно теории вероятностей, экспериментальные данные, которые получены в разных (неидентичных) сериях измерений, не могут описываться одним и тем же (колмогоровским) вероятностным пространством (см., например, [49, 50]). Отсюда следует, что данные измерений, полученные с помощью двух разных детекторов (хотя и в рамках одного и того же экспериментального исследования ОЗР) не могут описываться общим вероятностным пространством. Поэтому в данной задаче (средние) характеристические времена рассеяния должны вводиться для прошедших и отраженных частиц отдельно, а сам одночастичный процесс одномерного законченного рассеяния должен рассматриваться как объединение двух одночастичных подпроцессов — прохождения и отражения.

Проблема заключается в том, что хронометрирование движения электрона в барьерной области для каждого подпроцесса возможно лишь в том случае, если эволюция каждого из них в этой области известна. Однако стандартная модель ОЗР не предполагает индивидуальное описание подпроцессов на всех этапах рассеяния. Таким образом, решение проблемы времени туннелирования в рамках этой модели невозможно в принципе. Действительно, определение характеристических времен рассеяния, как средних значений для всего процесса, противоречит теории вероятностей, и игнорирование этого факта как раз и приводит в стандартной модели ОЗР к парадоксу Хартмана. С другой стороны, определение времени туннелирования, как характеристики подпроцесса прохождения, в стандартной модели, как уже было сказано, не может быть реализовано из-за отсутствия необходимой информации об эволюции данного подпроцесса в области барьера.

В то же время, как показано в [41, 42, 43] на примере симметричных потенциальных барьеров, уравнение Шредингера позволяет получить необходимую информацию о подпроцессах. Как оказывается, для заданного потенциала и заданного начального условия волновая функция, описывающая ОЗР, может быть единственным образом представлена в виде суммы двух функций, описывающих подпроцессы прохождения и отражения на всех этапах рассеяния. Таким образом, в пятой главе, помимо решения проблемы времени туннелирования, представлена также и новая модель ОЗР.

В диссертационной работе были поставлены следующие задачи.

1. Совершенствование метода матрицы переноса, которое предполагает вывод численно устойчивых рекуррентных соотношений для параметров рассеяния и вывод на их основе условий прозрачности для одномерных систем общего вида.

2. Обобщение метода ВКБ с целью построения всюду регулярных асимптотических разложений для решений одномерного уравнения Шредингера с любым гладким потенциалом, заданным в ограниченном пространственном интервале, при наличии классических точек поворота.

3. Развитие нового подхода к решению ванье-штарковской проблемы на базе уравнений Шредингера для частиц с постоянной и переменной массой, пригодного для потенциалов, ограниченных в пределах одной ячейки периодической структуры и в общем случае не являющихся гладкими.

4. Определение параметров рассеяния самоподобного фрактального потенциала и потенциала в форме канторовой лестницы с учетом геометрии каиторова множества, на котором заданы оба потенциала.

5. Развитие кваитовомеханической модели одномерного законченного рассеяния, как объединения подпроцессов прохождения и отражения, предусматривающей описание подпроцессов на всех этапах рассеяния и определение времени рассеяния для каждого подпроцесса.

Основные результаты и выводы.

1. Разработай новый вариант метода матрицы переноса, рекуррентные соотношения которого не только численно устойчивы, но и приводят к двум условиям прозрачности для ограниченных двухбарьерных систем общего вида. Введено понятие «фазовых точек поворота» и на этой основе дана наглядная физическая интерпретация условию прозрачности для фаз. Получены условия появления «широких резонансов» в системах, состоящих из трех и четырех одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров.

2. Показано, что введение в формализм ВКБ-разложений достаточного количества дифференциальных следствий уравнения Риккати позволяет получать всюду регулярные асимптотические разложения для любого гладкого потенциала с классическими точками поворота, заданного в ограниченном пространственном интервале. При этом достаточно ограничиться лишь главным членом разложения, увеличивая точность приближения за счет включения в формализм новых дифференциальных следствии.

3. Применительно к ванье-штарковской проблеме для кристаллических решеток и сверхрешеток, разработан формализм для нахождения решений уравнения Шре-дингера, удовлетворяющих условию симметрии в соседних ячейках периодической структуры. Показано, что их существование тесно связано с характером энергетического спектра в данной задаче. Для бесконечных периодических структур с любым (не обязательно гладким) потенциалом, ограниченным по величине в пределах одной ячейки, электронный спектр непрерывный и существуют два комплексных независимых решения, удовлетворяющие условию симметрии. Оба решения растут неограниченно в классически недоступной области, и, следовательно, (вещественная) волновая функция, описывающая состояния электрона в бесконечной структуре не удовлетворяет этому условию.

4. Аналогичный подход к решению ванье-штарковской проблемы разработан на основе уравнения Шредингера для частицы с переменной массой. Это уравнение совпадает по форме с уравнением для огибающей волновой функции, которое широко использовалось в работах по ванье-штарковской проблеме для сверхрешеток, но не связано с ограничениями меюда эффективной массы. В частности, в данном подходе масса частицы не зависит от ее энергии. Показано, что если масса частицы является периодической кусочно-постоянной функцией пространственной переменной, то спектр энергии частицы дискретный, а решения уравнения, удовлетворяющие условию симметрии, не существуют. Данный подход может быть использован для решения любых физических задач, где возникает такого же вида уравнение и где его применение обоснованонапример, для решения задачи о распространении упругих волн в массивном стержне с периодически меняющимся поперечным сечением, расположенным вертикально в поле силы тяжести. Что касается непосредственно сверхрешеток, то здесь важно заметить следующее. В этом случае (эффективная) масса частицы зависит от энергии. В то же время при любой напряженности внешнего электрического поля решение вопроса об энергетическом спектре и исследовании симметрии данной задачи требует знания эффективной массы частицы на всей шкале энергии, включая запрещенные зоны, где понятие эффективной массы теряет смысл. Поэтому решение обоих вопросов для сверхрешеток, в рамках метода эффективной массы, невозможно в принципе. Это приближение может быть использовано лишь для анализа состояний электрона в ограниченных сверх-регаетках в тех случаях, когда энергия электрона в процессе движения под действием внешнего электрического поля практически не меняется.

5. Показано, что при решении задачи о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве, точный учет геометрии канторова множества приводит к функциональному уравнению для матрицы переноса. Борцовское приближение в принципе не годится для решения задачи рассеяния на таких потенциалах. В случае самоподобного фрактального потенциала получено три решения для матриц переноса. Соответствующее уравнение для канторовой лестницы исследовано лишь в пределе, когда фрактальная размерность канторова множества стремится к единице. Показано, что в этом случае канторова лестница рассеивает как обычная потенциальная ступенька, а самоподобный фрактальный потенциал (согласно двум решениям из трех) -как ¿—потенциал.

6. Разработана новая модель одномерного законченного рассеяния, согласно которой этот квантовый процесс является объединением двух когерентно протекающих подпроцессов — прохождения и отражения. Показано, что линейный формализм квантовой механики позволяет однозначно восстановить всю эволюцию подпроцессов по конечным состояниям подансамблей прошедших и отраженных частиц. Показано, что в случае туннелирования частицы через широкий прямоугольный потенциальный барьер время туннелирования, определенное в рамках данной модели, растет экспоненциально с ростом ширины барьера, а не выходит на насыщение, как это следует из существующей модели одномерного законченного рассеяния.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Новый вариант метода матрицы переноса, рекуррентные соотношения которого позволяют вычислять параметры рассеяния для любых одномерных многобарьерных систем, состоящих из конечного числа ¿—потенциалов и гладких потенциалов, заданных на ограниченных интервалах. Условия прозрачности двухба-рьерных систем общего вида и их интерпретация на основе введенной в работе концепции «фазовых точек поворота». Результаты исследования условий прозрачности и полученные на их основе условия появления «широких резо-нансов» для систем, состоящих из трех и четырех одинаковых прямоугольных потенциальных барьеров.

2. Метод построения всюду регулярных асимптотических разложений для решений уравнения Шредингера с любым гладким потенциалом с классическими точками поворота, заданным в ограниченном интервале.

3. Метод и результаты исследования параметров рассеяния квантовой частицы на одномерной структуре, состоящей из N одинаковых ячеек, с любым в пределах одной ячейки ограниченным гладким потенциалом или ¿—потенциалом.

4. Метод нахождения решений уравнения Шредингера, удовлетворяющих условию симметрии, в задаче о квантовой динамике электрона в кристаллических решетках и сверхрешетках во внешнем постоянном однородном электрическом поле (ванье-штарковская проблема). Установлен характер электронного спектра для любых потенциалов, ограниченных по величине в пределах одной ячейки периодической структуры, без дополнительных условий на их гладкость.

5. Результаты аналогичного исследования ванье-штарковской проблемы на основе уравнения Шредингера для частицы с переменной массой при условии, что масса частицы является (периодической) кусочно-постоянной функцией пространственной переменной.

6. Новый подход к изучению параметров рассеяния частицы на идеальных фрактальных потенциалах — самоподобном фрактальном потенциале и потенциале в форме канторовой лестницы, — в котором точно учитывается геометрия кан-торова множества. Ф}'нкциональные уравнения для матрицы переноса и параметров рассеяния обоих потенциалов. Три типа решений для матрицы переноса и параметров рассеяния самоподобного фрактального потенциала. Предельные свойства обоих потенциалов, когда фрактальная размерность канторова множества равна единице.

7. Новая квантовомеханическая модель одномерного законченного рассеяния, как объединения подпроцессов прохождения и отражения, разработанная для симметричных потенциальных барьеров на основе уравнения Шредингера и предусматривающая описание эволюции подпроцессов на всех этапах рассеяния.

8. Определения характеристических времен одномерного законченного рассеяния для подпроцессов прохождения и отражения на основе новой модели. Объяснение парадокса Хартмана.

Работа выполнялась в Сибирском физико-техническом институте, Томском государственном университете и Томском государственном педагогическом университете.

В заключение считаю своим долгом выразить огромную благодарность профессору Караваеву Г. Ф. за постоянное внимание к моей научной работе и плодотворные дискуссии. Выражаю свою признательность профессору Шаповалову А. В. за то, что он обратил мое внимание на квантовую задачу о рассеянии частицы на идеальных фрактальных потенциалах. Благодарю своих коллег по работе в Сибирском физико-техническом институте, В. М. Зеличеико, В. Г. Тютерева, В. Н. Чернышева, С. Н. Гриняева и С. И. Борисенко за полезные дискуссии. И, наконец, выражаю слова моей особой благодарности профессору Бухбиндеру И. Л. за поддержку моей научной деятельности и помощь при подготовке к защите диссертации.

Заключение

.

В диссертационной работе получили развитие старые и разработаны новые методы исследования квантовой динамики частицы в одномерных детерминированных структурах с обычной и фрактальной геометрией. Здесь также представлена альтернативная модель одномерного законченного рассеяния, полностью основанная на линейном формализме квантовой механики. В отличие от стандартной модели этого процесса, новая модель представляет одномерное законченное рассеяние не как единый квантовый процесс, а как объединение двух когерентно протекающих, взаимосвязанных подпроцессов прохождения и отражения, и дает описание этих подпроцессов на всех этапах рассеяния. В случае узких в-пространстве волновых пакетов эти (случайные) подпроцессы не совместимы в том смысле, что частица может участвовать только в одном из этих подпроцессов. На основе этой модели предложено решение проблемы времени туннелирования и дано объяснение парадокса Хартмана.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Туннельные явления в твердых телах / Под ред. Э. Бурштейна, С. Лундквиста.- М.: Мир, 1973. 421 с.
  2. Esaki L. A bird’s-eye view on the evolution of semiconductor superlattices and quantum wells//IEEE J. Quantum Electron. 1986. — V.22. — P.1611−1624.
  3. M., Вольф Э. Основы оптики. М.:Наука, 1973. — 719 с.
  4. А. Б. Туннелирование электромагнитных волн парадоксы и пер-спективы//УФН. — 2007. — Т. 177. — Вып.1. — С. 43−58.
  5. Jost Bradley М. One-dimensional photonic bandgap structures and the analogy between optical and quantum mechanical tunnelling//Eur. J. Phys. 1997. — Vol. 18. — P.108−112.
  6. Wannier G. H. Wave Functions and Effective Hamiltonian for Bloch Electrons in ail Electric Field//Phys. Rev. 1960. — V.117. — P.432−439.
  7. Zak J. Stark Ladder in Solids?//Phys. Rev. Lett. 1968. — V.20. — P.1477−1481.
  8. M. Д., Шаповалов А. В. Прохождение квантовой частицы через одномерный фрактальный потенциал//Изв. вузов. Физика. 1993. — Т.36. — С.120−127.
  9. Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация//ТМФ.- 1992. Т.90. — С.354−368.
  10. Е. Н. and St0vneng J. A. Tunneling times: a critical review//Rev. of Mod. Phys. 1989. — Vol. 61. — P.917−936.
  11. Н. Л. Матрица переноса и рассеяние частиц на одномерных потенциальных барьерах произвольной формы. М., 1991. — Деп. в ВИНИТИ N 492-В91.
  12. Н. Л. Матрица переноса одномерного уравнения Шрединге-ра//Материалы семинара «Нелинейные высокочастотные явления в полупроводниках и полупроводниковых структурах и проблемы их применения в электронике СВЧ». Навои, 1991. — с. 22.
  13. Н.Л. Матрица переноса одномерного уравнения Шредингера//ФТП.- 1992. Т. 26. — Вып.12. — С.2040−2047.
  14. Н. Л. Метод матрицы переноса и туннелирование электрона в одномерных квантовых структурах (методическая разработка)//УОП, ТГУ, Томск, 1997. 36 с.
  15. Г. Ф., Чуприков Н. Л. Туннелирование в многобарьерных квантовых стрз’ктурах в условиях полной прозрачности//Изв. вузов, Физика. 1993. — Т. 27. — Вып.З. — С.51−56.
  16. Н. Л. Временные характеристики одночастичного рассеяния в одномерных системах//ФТП. 1993. — Т. 27. — Вып.5. — С.799−807.
  17. Н. Л. Уравнения для элементов матрицы переноса одномерного уравнения Шредингера//Изв. вузов, Физика. 1993. — Т. 27. — Вып.6. — С.48−51.
  18. Г. Ф., Чуприков Н. Л. Особые случаи резонансного туннелирования в многобарьерных квантовых структурах//Изв. вузов, Физика. 1993. — Вып.8.- С.49−53.
  19. Karavaev G. F., Chuprikov N. L. Special cases of resonant tunneling in N-fold barriar quantum structures//Abstracts, Second International Conf. on Nanometer scale Science and Technology. Moscow, 1993. — P.62−63.
  20. H. Л. Времена рассеяния частицы на одномерных потенциальных барьерах//ФТП. Т. 31. — 1997. — С.427−431.
  21. Chuprikov N. L. The even asymptotic solution of the lD-Schrodinger equation with non-degenarate turning points//Proc. of International Simposium «Physics and Engenering of Milliiniter and Submillimiter Waves». Kharkov, 1994. — P.243−246.
  22. Chuprikov N. L. The even asymptotic solution of the lD-Schrodinger equation with N-fold genarate turning points//Proc. of International Simposium «Physics and Engenering of Millimiter and Submillimiter Waves». Kharkov, 1994. — P.240−242.
  23. H. Л. Равномерная асимптотика решения одномерного уравнения Шредингера с точками поворота. -М., 1994. Деп. в ВИНИТИ, N В94.
  24. N. Е. New family of asymptotic solutions of Helmholtz equation//J. Math. Phys. 1994. — V.35. — P.1387−1398.
  25. H., Фреман П. У. ВКБ-ириближение. М.:Мир, 1967. — 168 с.
  26. Н. Л. Туннелирование в одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров//ФТП. 1996. — Т.ЗО. — Вып.З. — С.443−450.
  27. Chuprikov N. L. Stationary states of an electron in periodic structures in a constant uniform electrical field//J. Phys.: Condens. Matter. 1998. — V.10. — P.6707−6716.
  28. Chuprikov N. L. The role of the spatial dependence of the electron effective mass in forming the Wannier-Stark spectrum//J. Phys.: Condens. Matter. 1999. — V.ll. -P.1069−1079.
  29. Ii. Л. Движение электрона в периодических структурах в постоянном однородном электрическом иоле//1У Международная конференция по физике полупроводников: Тез. докл., Новосибирск, 1999. С. 353.
  30. Griffiths David J. and Steinke Carl A. Waves in locally periodic media//American Journal of Physics. 2001. — V.69. — P.137−154.
  31. Chuprikov N. L. The transfer matrices of the self-similar fractal potential on the Cantor set//J. Phys. A: Math. Gen. 2000, — V.33. — P.4293−4308.
  32. Chuprikov N. L. Corrigendum: «The transfer matrices of the self-similar fractal potential on the Cantor set"//J. Phys. A: Math. Theor. 2008. — V.41. — P.379 801.
  33. Chuprikov N. L. and Zhabin D. N. The electron tunneling through a self-similar fractal potential on the generalized Cantor set//J. Phys. A: Math. Gen. 2000. -V.33. — P.4309−4316.
  34. Н. Л., Жабин Д. Н. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру//Изв. вузов, Физика. 2000. — Т.43. — Вып.12. — С.51−56.
  35. Н. Л., Жабин Д. Н. Фазовые времена туннелирования электрона через самоподобный фрактальный потенциал//Изв. вузов, Физика. 2000. -Т.43. — Вып.12. — С.57−61.
  36. Chuprikov N. L. and Spiridonova О. V. A new type of solution of the Schrodinger equation on a self-similar fractal potential//J. Phys. A: Math. Gen. 2006. — V.39.- P. L559-L562.
  37. Chuprikov N. L. and Spiridonova О. V. Corrigendum: «A new type of solution of the Schrodinger equation on a self-similar fractal potential «//J. Phys. A: Math. Theor.- 2008. V.41. — P.409 801.
  38. Д. Н., Чуприков II. Л. Матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы//Изв. вузов, Физика. 2003. — Т.46. — Вып.9. -С.64−70.
  39. Chuprikov N. L. Wave functions and tunneling times for one-dimensional transmission and reflection//arXiv:quant-ph/311 090, 2003.
  40. H. Л. Новый взгляд на квантовый процесс туннелирования: волновые функции для прохождения и отражения//Изв. вузов, Физика. 2006. — Т.49. -Вып.2. — С.3−9.
  41. Н. Л. Новый взгляд па квантовый процесс туннелирования: характерные времена для прохождения и отражения//Изв. вузов, Физика. 2006. -Т.49. — Вып.З. — С.72−81.
  42. Chuprikov N. L. Quantum mechanics as a inacrorealistic theory//arXiv:0705.3578, 2007.
  43. H. Л. Теорема Воробьева, макроскопический реализм и теория тун-нелирования//Международная конференция по математической физике и ее приложениям, Самара, 2008. — С.208−209.
  44. А. Ю. Эксперимент ЭПР-Бома и неравенство Белла: квантовая физика и теория вероятностей//ТМФ 2008. — Т. 157. — Вып.1. — С. 99−115.
  45. Д. А. Квантовые измерения и колмогоровская теория вероятно-сти//ТМФ. 2003. — Т.136. — Вып.З. — С. 436−443.
  46. Merzbacher Е. Quantum mechanics. John Wiley к. Sons, INC. New York, 1970.
  47. Ко D. Y., Inkson J. C. Matrix method for tunneling in heterostructures: Resonant tunneling in multilayer systems//Phys. Rev. B. 1988. — V.38. — P.9945−9951.
  48. Ricco В., Azbel M. Ya. Physics of resonant tunneling. The one-dimensional double-barrier case//Phys. Rev. B. 1984. — V.29. — P.1970−1981.
  49. Ricco B. and Azbel M. Ya. Tunneling through a multiwell one-dimensional structure//Phys. Rev. B. 1984. — V.29. — P.4356−4363.
  50. Peng J., Chen H., Zhou S. A theoretical study of resonant tunnelling in the double-barrier structure//J. Phys.: Condens. Matter. 1989. — V.l. — P.5451−5461.
  51. В. К. Новый метод решения одномерного уравнения Шрединге-ра//ТМФ. 1991. — Т.88. — С.477−480.
  52. Rakityansky S. A. Modified transfer matrix for nanostructures with arbitrary potential profile//Phys. Rev. B. 2004. — V.70. — P.20 5323(l-16).
  53. Sanchez-Soto L. L., Carinena J. F., Barriuso A. G. and Monzon J. J. Vektor-like representation of one-dimensional scattering//Eur. J. Phys. 2005. — V.26. — P.469−480.
  54. В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.:Наука, 1986. — 256 с.
  55. А. С. Размерные квантовые эффекты в субмикронных полупроводниковых структурах и перспективы их применения в СВЧ//Электронная техника. СВЧ. Сер. Электроника СВЧ. 1987. — Т.9. — С.21−34.
  56. . Н., Чабанов В. М., Минеев М. А. Послушная квантовая меха-ника. Новый статус теории в подходе обратной задачи. 2002. Москва. Ин-ститут компьютерных исследований. — 300 с.
  57. J. М. and Kohn W. Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields//Phys. Rev. 1955. — V.97. — P.869−883.
  58. Bastard G. Superlattice band structure in the envelope-function approximation//Phys. Rev. B. 1981. — V.24. — P.5693−5697.
  59. Bastard G. Theoretical investigations of superlattice band structure in the envelope-function approximation//Phys. Rev. B. 1982. — V.25. — P.7584−7597.
  60. Cruz у Cruz S. and Rosas-Ortiz O. Position-dependent mass oscillators and coherent states//J. Phys. A: Math. Theor. 2009. — V.42. — P.18 5205(l-21).
  61. A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука, 1976. — 544 с.
  62. А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.:Наука, 1971. — 544 с.
  63. Бом Д. Квантовая теория. М.:Наука, 1965. — 727 с.
  64. Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.:Наука, 1974. — 752 с.
  65. Leo James and Toombs G. A. Resonant tunneling through a symmetric triple-barrier structure//Phys. Rev. B. 1991. — V.43. — P.9944−9946.
  66. M. В. II. Асимптотические методы в анализе./В сб. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1986. — Т.13. — С.93−210.
  67. А. Введение в методы возмущений. М.:Мир, 1984. — 534 с.
  68. М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1983. — 352 с.
  69. С., Лай В. Специальные функции: единая теория, основанная на анализе особенностей. Санкт-Петербург, Невский Диалект, 2002. — 312 с.
  70. В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.:Изд-во МГУ, 1982. — 554 с.
  71. Hyouguchi T., Adachi S., and Ueda M. Divergence-Free WKB Method//Phys. Rev. Lett. 2002. — V.88. — P.17 0404(l-4).
  72. Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников). -М.:Наука, 1973. 832 с.
  73. В. И. Ванье-штарковская локализация в естественной сверхрешетке политипов карбида кремния//ФТП. 2002. — Т.36. — С.769−793.
  74. Nenciu G. Dynamics of band electrons in electric and magnetic fields: rigorous justification of the effective Hamiltonians//Rev. Mod. Phys. 1991. — V.63. — P.91−127.
  75. Cvetic M. and Pieman L. Scattering states for a finite chain in one dimension//J. Phys. A: Math. Gen. 1981. — V.14. — P.379−382.
  76. В. M. Коэффициент прохождения электрона через случайный одномерный потенциал//ФТТ. 1989. — Т.31. — С.162−171.
  77. Liu Xue-Wen and Stamp A. P. Resonant tunneling and resonance splitting: The inherent properties of superlattices//Phys. Rev. B. 1994. — V.50. — P.1588−1594.
  78. В. А. Пропускание и отражение света полупроводниковыми сверхрешетками в области экситонных резонансов//ФТТ. 1992. — Т.34. — С.3107−3118.
  79. Wu H., Sprung D. W. L. and Martoreli J. Periodic quantum wires and their quasi-one-dimensional nature//J. Phys. D: Appl. Phys. 1993. — V.26. — P.798−803.
  80. Bloch F. Quantum mechanics of electrons in crystals//Z. Phys. 1928. — V.52. -P.555−559.
  81. Zener C. A theory of the electrical breakdown of solid dielectrics//Proc. of Royal Society of London. 1934. — V.145. — P.523.
  82. Avron J. E., Zak J., Grossman A., Guntlier L. Instability of the continuous spectrum: The N-band Stark ladder//J. Math. Phys. 1977. — V.18. — P.918−921.
  83. Krieger J. B. and Iafrate G. J. Time evolution of Bloch electrons in a homogeneous electric field//Pliys. Rev. B. 198G. — V.33. — P.5494−5500.
  84. Rotvig Jon, Jauho Antti-Pekka and Smith H. Theory of coherent time-dependent transport in one-dimensional multiband semiconductor superlattices//Phys. Rev. B. 1996.- V.54. -P.17 691−17 700.
  85. Ao P. Absence of localization in energy space of a Bloch electron driven by a constant electric force//Phys. Rev. B. 1990. — V.41. — P.3998−4001.
  86. Avron J. E., Exner P. and Last Y. Periodic Schrodinger operators with large gaps and Wannier-Stark ladders//Phys. Rev. Lett. 1994. — V.72. — P.896−899.
  87. Mendez E. E., Agullo-Rueda F., and Hong J. M. Stark Localization in GaAs-GaAlAs Superlattices under an Electric Field//Phys. Rev. Lett. 1988. — V.60. — P.2426−2429.
  88. Voisin P., Bleuse J., Bouche C., Gaillard S., Alibert C. and Regreny A. Observation of the Wannier-Stark Quantization in a Semiconductor Superlattice//Phys. Rev. Lett. 1988. — V.61. — P.1639−1642.
  89. Lee M., Solin S. A., and Hines D. A. Electro-localization mechanism in GaAs/Ga07Al0,3As superlattices//Phys. Rev. B. 1993. — V.48. — P.11 921−11 930.
  90. Hart С. F. Exact к — q solution for a Bloch electron in a constant electric field//Phys. Rev. B. 1988. — V.38. — P.2158−2161.
  91. Whittaker D M., Skolnik M. S., Smith G. W., and Whitehouse C. R. Wannier-Stark localization of X and Г states in GaAs — AlAs short-period superlattices//Phys. Rev. B. 1990. — V.42. — P.3591−3598.
  92. Bouchard A. M. and Marshall L. Bloch oscillations and other dynamical phenomena of electrons in semiconductor superlattices//Phys. Rev. B. 1995. — V.52. — P.5105−5123.
  93. Gluick M., Kolovsky A. R., Korsch H. J., and Zimmer F. Wannier-Stark resonances in semiconductor superlattices//Phys. Rev. B. 2002. — V.65. — P.11 5302(l-9).
  94. Rosam B. and Leo K., Gluick M., Keck F., Korsch H. J., Zimmer F., Koihler K. Lifetime of Wannier-Stark states in semiconductor superlattices under strong Zener tunneling to above-barrier bands//Phys. Rev. B. 2003. — V.68. — P.12 5301(l-7).
  95. Ciancio E., Iotti R. C., and Rossi F. Gauge-invariant formulation of high-field transport in semiconductors//Phys. Rev. B. 2004. — V.69. — P.16 5319(l-10).
  96. Marek Kuczma, Functional equations in a single variable. Warszawa, 1968.
  97. Hone Daniel W. and Zhao X.-G. Time-periodic behavior of multiband superlattices in static electric fields//Phys. Rev. B. 1996. — V.53. — P.4834−4837.
  98. Rotvig J., Jauho Antti-Pekka, and Smith H. Bloch Oscillations, Zener Tunneling, and Wannier-Stark Ladders in the Time Doinain//Phys. Rev. Lett. 1995. — V.74.- P.1831−1834.
  99. Mandelbrot В. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San Francisko, 1982.
  100. Wilson K. G. and Kogui J. The renormalization group and e-expansion//Physics Reports. 1974. — V.12. — P.75−199.
  101. Spiridonov V. Phys. Exactly solvable potentials and quantum algebras//Rev. Lett.- 1992. V.69. — P.398−401.
  102. Barclay D. T., Dutt R., Gangopadhyaya A., Khare A., Pagnamenta A. and Sukhatme U. New exactly solvable Hamiltonians: Shape invariance and self-similarity//Phys. Rev. A. 1993. — V.48. — P.2786−2797.
  103. В. С. Критические явления в спиновых системах с беспоряд-ком//УФН. 1995. — Т.165. — Вып.5. — С.481−528.
  104. В. С. Физика спин-стекольного состояния//УФН. 1993. — Т.163. -Вып.6. — С.1−37.
  105. Lapidus М. L. Fractal drum, inverse spectral problems for elliptic operators and a partial resolution of the Weyl-Berry conjecture//Transcations of the American Mathematical Society. 1991. — V.325. — Iss.2. — P.465−529.
  106. Lapidus M. L. and Pomerance C. The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums//Proc. London Math. Soc.- 1993. V.66. — P.41−69.
  107. Lapidus M. L. and Maier H. The Rieman hypothesis and inverse spectral problems for fractal strings//J. London Math. Soc. 1995. — V.15. — P.15−34.
  108. Lapidus M. L. Fractals and vibrations: can you hear the shape of a fractal drum?//Fractals. 1995. — V.3. — P.725−736.
  109. Schwalm W. A. and Schwalm M. K. Explicit orbits for renormalization maps for Green functions on fractal lattices//Phys. Rev. B. 1993. — V.47. — P.7847−7858.
  110. Konotop V. V. and Bulgakov S. A. Two-scale method in the theory of scattering by fractal structures: One-dimensional regular problems//Phys. Rev. A. 1992. — V.45.- P.5994−6007.
  111. Konotop V. V., Zhang F. and Luis V. Wave interaction with a fractal layer//Phys. Rev. E. 1993. — V.48. — P.4044−4048.
  112. Bulgakov S. A. and Konotop V. V. Peculiarities of wave scattering by fat fractals//Phys. Rev. A. 1992. — V.46. — P.8024−8027.
  113. Guerin Chales-Antoine and Holschneider M. Scattering on fractal measures//J. Phys. A: Math. Gen. 1996. — V.29. — P.7651−7667.
  114. Liu J., Zhu S., Li Z., Zhao В., Chen G. Tunneling in the one-dimensional Cantor fractal multi-quantum wells//Physica B: Condensed Matter. 1996. — V.228. — Iss.3−4.. P.404−408.
  115. Monsoriu J. A., Villatotr F. R., Marin M. .T., Urchuegia J. F. and de Cordoba R F. A transfer matrix method for the analysis of fractal quantum potentials//Eur. J. Phys. 2005. — V.26. -P.603-G10.
  116. Berry M. V. Diffractals//J. Phys. A: Math. Gen. 1979. — V.12. — P.781−797.
  117. Jarrendahl K., Dulea M., Birch J., Sundgren J.-E. X-ray diffraction from amorphous Ge/Si Cantor superlattices//Phys. Rev. B. 1994. — V.51. — P.7621−7631.
  118. Hamburger-Lidar D. A. Elastic scattering by deterministic and random fractals: Self-affinity of the diffraction spectrum//Phys. Rev. E. 1996. — V.54. — P.354−370.
  119. А. Тригонометрические ряды. T. l М.:Мир, 1965. — 616 с.
  120. Milan Maksimovic and Zoran Jaksic. Emittance and absorptance tailoring by negative refractive index metamaterialbased Cantor multilayers//J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2006. — V.8. — Р.355Ц362.
  121. Jarrendahl K., Dulea M., Birch J. and Sundgren J.-E. X-ray diffraction from amorphous Ge/Si Cantor superlattices//Phys. Rev. B. 1994. — V.51. — P.7621−7631.
  122. Hamburger-Lidar D. A. Elastic scattering by deterministic and random fractals: Self-affinity of the diffraction spectrum//Phys. Rev. E. 1996. — V.54. — P.354−370.
  123. Laskin N. Fractional quantum mechanics//Phys. Rev. E. 2000. — V.62. — P.3135−3145.
  124. Laskin N. Fractional Schrodinger equation//Phys. Rev. E. 2002. — V.66. -P.5 6108(l-7).
  125. С. В. Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики//Сб. Современные проблемы математики. Москва: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. — 2008. -Вып. 12. — С.1−168.
  126. Honda K. and Otobe Y. Rigorous solution for electromagnetic waves propagating through pre-Cantor sets//J. Phys. A: Math. Gen. 2006. — V.39. — P. L315−322.
  127. Jaggard A. D. and Jaggard D. L. Cantor diffractals and lacunarity//IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. 1998. — V.2. — P.862−865.
  128. Aubert H. and Jaggard D. L. Fractal superlattices and their wavelet analyzes//Opt. Commun. 1998. — V.149. — P.2071,1212.
  129. Gatzouras D. Lacunarity of self-similar and stochastically self-similar sets//Trans. Amer. Math. Soc. 2000. — V.352. — P.1953−1983.
  130. Alain C. and Cloitre M. Characterising the lacunarity of random and deterministic fractal sets//Phys. Rev. A. 1991. — V.44. — P.3552−3558.
  131. Gefen Y., Meir Y., Mandelbrot B. B., and Aharony Y. Phase transitions on fractals. III. Infinitely ramified lattices//J. Phys. A: Math. Gen. 1984. — V.17. — P.1277−1289.
  132. Lin B. and Yang Z. R. A suggested lacunarity expression for Sierpinski carpets//J. Phys. A: Math. Gen. 1986. — V.19. — P. L49-L52.
  133. Landauer R. and Martin Th. Barrier interaction time in tunneling//Rev. Mod. Phys.- 1994. V.66. — P.217−228.
  134. Olkhovsky V. S. and Recami E. Recent developments in the time analysis of tunneling processes//Physics Reports. 1992. — V.214. — P.339−356.
  135. Steinberg A. M. How Much Time Does a Tunneling Particle Spend in the Barrier Region?//Phys. Rev. Lett. 1995. — V.74. — P.2405−2409.
  136. Muga J. G., Leavens C. R. Arrival time in quantum mechanics//Physics Reports. -2000. V.338. — P.353−438.
  137. Carvalho C. A. A., Nussenzveig H. M. Time delay//Physics Reports. 2002. — V.364.- P.83−174.
  138. Wigner E. P. Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift//Phys. Rev. 1955. — V.98. — P. 145−147.
  139. Hartman T. E. Tunneling of a Wave Packet//J. Appl. Phys. 1962. — V.33. — P.3427−3433.
  140. Hauge E. H., Falck J. P. and Fjeldly T. A. Transmission and reflection times for scattering of wave packets off tunneling barriers//Phys. Rev. B. 1987. — V.36. -P.4203−4214.
  141. N. Teranishi, A. M. Kriman and D. K. Ferry, Superlatt. and Microstrs., 3, p. 509 (1987)
  142. Krekora P., Su Q. and Grobe R. Effects of relativity on the time-resolved tunneling of electron wave packets//Phys. Rev. A. 2001. — V.63. — P.3 2107(l-8).
  143. Smith F. T. Lifetime Matrix in Collision Theory//Phys. Rev. 1960. — V.118. -P.349−356.1152. Jaworski W. and Wardlaw D. M. Time delay in tunneling: Transmission and reflection time delays//Phys. Rev. A. 1988. — V.37. — P.2843−2854.
  144. Jaworski W. and Wardlaw D. M. Time delay in tunneling: Sojourn-time approach versus mean-position approach//Phys. Rev. A. 1988. — V.38. — P.5404−5407.
  145. Buttiker M. Larmor precession and the traversal time for tunneling//Phys. Rev. B.- 1983. V.27. — P.6178−6188.
  146. Leavens C. R. and Aers G. C. Dwell time and phase times for transmission and reflection//Phys. Rev. B. 1989. — V.39. — P.1202−1206.
  147. Nussenzveig H. M. Average dwell time and tunneling//Phys. Rev. A. 2000. — V.62.- P.4 2107(l-5).
  148. Goto M., Iwamoto H., Aquino V. M., Aguilera-Navarro V. C. and Kobe D. H. ' Relationship between dwell, transmission and reflection tunnelling times//J. Phys.
  149. A: Math. Gen. 2004. — V.37. — P.3599−3606.
  150. Muga J. G., Brouard S. and Sala R. Transmission and reflection tunneling times//Phys. Lett. A. 1992. — V.167. — P.24−28.
  151. Buttiker M. Traversal, reflection and dwell time for quantum tunneling//Electroni properties of multilayers and low-dimensional semiconductors structures/Ed. by J. M. Chamberlain et all, Plenum Press, New-York, 1990. P.297−315.
  152. А. И. Время жизни промежуточных состояний//Ядерная физика. 1966. — Т.4. — Вып.2. — С.252−260.
  153. А. И. Квантовомеханический расчет времени соударепии//Ядерная физика. 1967. — Т.5. — Вып.1. — С.229−235.
  154. Leavens С. R. and Aers G. С. Larmor-clock transmission times for resonant double barriers//Phys. Rev. B. 1989. — V.40. — P.5387−5400.
  155. Li Z.-J., Liang J. Q. and Kobe D. H. Larmor precession and barrier tunneling time of a neutral spinning particle//Phys. Rev. A. 2001. — V.64. — P.4 2112(1−8).
  156. Li Z. J. Q., Nie Y. H., Liang J. J. and Liang J. Q. Larmor precession and dwell time of a relativistic particle scattered by a rectangular quantum well//J. Phys. A: Math. Gen. 2003. — V.36. — P.6563−6570.
  157. Aharonov Y. and Bohm D. Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy//Phys. Rev. 1961. — V.122. — P.1649−1658.
  158. Brouard S., Sala R. and Muga J. G. Systematic approach to define and classify quantum transmission and reflection times//Phys. Rev. A. 1994. — V.49. — P.4312−4325.
  159. Hahne G. E. Time as an observable in nonrelativistic quantum mechanics//J. Phys. A: Math. Gen. 2003. — V.36. — P.7149−7172.
  160. Noh J. W., Fougeres A. and Mandel L. Measurement of the quantum phase by photon counting//Phys. Rev. Lett. 1991. — V.67. — P.1426−1429.
  161. Hegerfeldt G. C., Seidel D. and Muga J. G. Quantum arrival times and operator normalization//Phys. Rev. A. 2003. — V.68. — P.2 2111(l-7).
  162. McKinnon W. R. and Leavens C. R. Distributions of delay times and transmission times in Bohm’s causal interpretation of quantum mechanics//Phys. Rev. A. 1995.- V.51. P.2748−2757.
  163. Leavens C. R. Time of arrival in quantum and Bohmian mechanics//Phys. Rev. A.- 1998. V.58. — P.840−847.
  164. Grubl G. and Rheinberger K. Time of arrival from Bohmian flow//J. Phys. A: Math. Gen. 2002. — V.35. — P.2907−2924.
  165. Kreidl S., Grubl G. and Embacher H. G. Bohmian arrival time without trajectories//.]. Phys. A: Math. Gen. 2003. — V.36. — P.8851−8865.
  166. Kreidl S. Bohmian transmission and reflection dwell times without trajectory sampling//J. Phys. A: Math. Gen. 2005. — V.38. — P.5293−5303.
  167. Sokolovski D. and Baskin L. M. Traversal time in quantum scattering//Phys. Rev. A. 1987. — 36. — P.4604−4611.
  168. Yamada N. Speakable and Unspeakable in the Tunneling Time Problem//Phys. Rev. Lett. 2000. — V.83. — P.3350−3353.
  169. Carcia-Calderon G., Villavicencio J. and Yamada N. Equivalence between the realtime Feynman histories and the quantum-shutter approaches for the Ypassage timeY in tunneling//Phys. Rev. A. 2003. — V.67. — P.5 2106(l-6).
  170. Yamada N. Unified Derivation of Tunneling Times from Decoherence Functional//Phys. Rev. Lett. 2004. — V.93. — P.17 0401(l-4).
  171. Krekora P., Su Q. and Grobe R. Critique of the Wigner tunneling speed and a proposed alternative//Phys. Rev. A. 2001. — V.64. — P.2 2105(l-8).
  172. Garcia-Calderon G. and Villavicencio J. Time dependence of the probability density in the transient regime for tunneling//Phys. Rev. A. 2001. — V.64. — P.1 2107(l-6).
  173. Garcia-Calderon G., Villavicencio J., Delgado F. and Muga J. G. Time scale of forerunners in quantum tunneling//Phys. Rev. A. 2002. — V.66. — P.4 2119(l-6).
  174. F. Delgado, J. G. Muga, A. Ruschhaupt, G. Garcia-Calderon, and J. Villavicencio, J. Phys. A, 68, p. 32 101 (2003)
  175. Buttiker M. and Landaucr R. Traversal Time for Tunneling//Phys. Rev. Lett. -1982. V.49. — P. 1739−1742.
  176. Nimtz G. On superluminal tunneling//Progress in Quantum Electronics. 2003. -V.27. — P.417−450.
  177. Muga J. G., Egusquiza I. L., Damborenea J. A., Delgado F. Bounds and enhancements for negative scattering time delays//Phys. Rev. A. 2002. — V.66.- P.4 2115(l-8).
  178. Winful H. G. Delay Time and the Hartman Effect in Quantum Tunneling//Phys. Rev. Lett. 2003. — V.91. — P.26 0401(l-4).
  179. Winful H. G. Tunneling time, the Hartman effect, and superluminality: A proposed resolution of an old paradox//Physics Reports. 2006. — V.436. — P. 1−69.
  180. Olkhovsky V. S., Petrillo V. and Zaichenko A. K. Decrease of the tunneling time and violation of the Hartman effect for large barriers//Phys. Rev. A. 2004. — V.70.- P.3 4103(l-4).
  181. D., Msezane A. Z., Shaginyan V. R. «Superluminal» tunneling as a weak measurement effect//Phys. Rev. A. 2005. — V.71. — P.6 4103(l-4).
  182. Ranfagni A., Fabeni P., Pazzi G. P., Ricci A. M., Trinci R., Mignani R., Ruggeri R. and Cardone F. The question of the superluminal speed of information//Phys. Lett. A. 2006. — V.352. — P.473−477.
  183. Poirier L., Thompson Robert I. and Hache A. Impossibility of negative group velocities in a periodic layer structure with or without loss//Optics Communications. 2005. — V.250. — Iss.4−6. — P.258−265.
  184. Дж. Теория рассеяния: квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.:Мир, 1975. — 565 с.
  185. В. Г., Белов В. В., Задорожный В. Н., Трифонов А. Ю. Методы математической физики. Томск, 2002. — 672 с.
  186. Wigner Е. On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium//Phys. Rev. 1932. — V. 40. — P.749−759.
  187. Mancini S-, Man’ko V. I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems//Physics Letters A 1996. V.213. — Iss.1−2 — P. l-6.j
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!