ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ
ΠΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π°: n = n, Ρ.ΠΊ. ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈ akbn-k ΠΈ an-kbk Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌ — ΠΊΠΈΡΠ°ΠΉΡΠΊΠΈΠΌ, Π°ΡΠ°Π±ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΈ Π΅Π²ΡΠΎΠΏΠ΅ΠΉΡΠΊΠΈΠΌ (Π. ΠΠΏΠΏΠΈΠ°Π½, 1527 Π³.; Π. Π¨ΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ, 1544 Π³.; Π. Π’Π°ΡΡΠ°Π»ΡΡ, 1556 Π³.). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
1. Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
1.1 Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Ckn
1.2 Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
1.3 Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
2. ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°
2.1 Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ
2.2 Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
2.3 ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ²
2.4 Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
3. ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ°.
ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π² XVI Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΈΠ»Π΅Π³ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ»ΠΎΡΠ² ΡΠΎΠ³Π΄Π°ΡΠ½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ Π°Π·Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ³ΡΡ. Π ΠΊΠ°ΡΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠΈΠ³ΡΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ³ΡΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎ ΠΈ Π±ΡΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Π½ΡΡ, Π΄Π²ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΡΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π¨ΠΈΡΠΎΠΊΠΎ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ΠΈ. ΠΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ Π°Π·Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ³Ρ — Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠΎΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΠΊΠΎΠ², Π±ΡΠΎΡΠ°Ρ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ³ΡΠ΅. ΠΡΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ Π°Π·Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ³Ρ ΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ Π² ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π²ΡΠ΅ΠΉΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
Π¦Π΅Π»ΡΡ ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΡ «ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ» ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΡΠΎΡ Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΡΡΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠ°Π²ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
— ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ «Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ» ;
— ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ «ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ²» .
1. Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
1.1 Π§ΠΈΡΠ»Π° Π‘kn
ΠΡΡΡΡ X — ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Y ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° X, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· n; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, k? n.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· n ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π‘nk. ΠΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° Π‘nk :
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΡΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ X ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ· 0 ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² — ΠΏΡΡΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (2). ΠΡΡΡΡ Y — ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° X, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ k! ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ k. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Y, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Cnk Β· k! ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ k. ΠΠΎ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡΡΡΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ k Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° X. ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Ank, ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Cnk Β· k! = An, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Cnk =Akn, Ρ. Π΅. ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (2).
1.2 Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π§ΠΈΡΠ»Π° Cnk ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². ΠΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΡΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° X. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1), Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ.
1. Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π‘nk = Π‘n-kn, (3)
ΠΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ· (1) ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ. Π‘ΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3) ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ k-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΈΠ· X ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ (n — k)-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΈΠ· X: ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ k-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ Y ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ X.
2. Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π‘0n + Π‘1n + Π‘2n + … + Π‘nn = 2n. (4)
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΌΠΌΠ°, ΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° X (C0n Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 0-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ², C1n — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 1-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΈ Ρ. Π΄.), ΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (4) Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠ»Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΡ: ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² n-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° X ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2n.
3. ΠΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ k, 1? k? n, ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
Ckn = Cn-1k + Cn-1k-1. (5)
ΠΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1). Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (5), ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ . Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, Π° Ρ X ΠΈ Π²ΡΠ΅ k-ΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ: ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅, Π°, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π°.
4. ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ.
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (5) ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Cnk, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π‘n-1k ΠΈ Π‘k-1n-1. ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π‘nk ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΈ n = 1, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ n = 2, n = 3 ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ:
Π² (n + 1) ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ ΡΡΠΎΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π‘0n, Π‘1n, …, Π‘nn. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Ρ. Π΅. Π‘0n ΠΈ Π‘nn, ΡΠ°Π²Π½Ρ 1, Π° ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (5). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π‘k-1n-1 ΠΈ Π‘kn-1 ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π‘kn, ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π‘kn Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 10 Π² ΡΠ΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° 4 ΠΈ 6 ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π· «Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ» .
5. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ°. ΠΡΡΡΡ n ΠΈ k — Π΄Π²Π° ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΌ n > 0, k ?0. ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ n, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΡ ΠΈΠ· Π±ΡΠΊΠ², Π° ΠΈ b, Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊ Π±ΡΠΊΠ²Π°, Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ k ΡΠ°Π· .(ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, b-n-k ΡΠ°Π·)?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ (x1, x2, …, xn) — ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΡΡΠΎΠΊ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ° i, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ xi = Π°. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π = {1, 2, …, n}, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ· k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Y — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ ΠΈΠ· k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΡΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² xi = Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ i Ρ Y ΠΈ xi = b Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ i Ρ Y, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΡ (x1, x2, …, xn) ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Ρ k-ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² Π² n-ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π, Ρ. Π΅. ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π‘nk .
1.3 Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
I. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ C83.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 56.
II. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ Π‘94.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 126.
III.
a) ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π‘n2?
b) ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ Π‘172 — Π‘152.
c) ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π‘nk?
d) ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ Π‘173 — Π‘154.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π³Π΄Π΅ (n)k — ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ k-ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ°Π» ΠΎΡ n, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ k ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ n:
ΠΡΠ²Π΅Ρ: b) 31; d) -685.
IV. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) Cx3 = 2β’Cx2;
b) Cxx-2 = 15;
c) Cx2 + Cx+12 = 49;
d) C8x = 70.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π°) Π‘x3 = 2β’Cx2;
x — 2 = 6;
x = 8.
b) Cxx-2 = 15;
Cxx-2 = Cxx-x+2 = Cx2;
xβ’(x — 1) = 30 = 6β’5;
x = 6.
c) Cx2 + Cx+12 = 49;
xβ’(x — 1) + (x + 1)β’x = 98;
x2x = 98;
x2 = 49; x € N;
x = 7.
d) C8x = 70;
x = 1; C81 = 8? 70;
x = 4; C84 = 8β’7β’6β’5 = 2β’7β’5 = 70.
ΠΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x = 4.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π°) 8; b) 6; c) 7 d) 4.
2. ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΠ· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
(Π° + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.
ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°:
(a + b)n = C0n a0bn + C1n abn-1 + C2n a2bn-2 + … + Cn-1n an-1b + Cnn anb0. (6)
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6) Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½. ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ:
(a + b)n = (a + b)(a + b) … (a + b), (7)
Π³Π΄Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ n. ΠΠ· ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΡ Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (7) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΌΠΌ, Π° + b ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ a +b, Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ Ρ. Π΄. HΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ n = 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
(a +b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb.
ΠΠ· ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠΌ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ (a + b)n ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ (Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ) ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ n, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ· Π±ΡΠΊΠ², Π° ΠΈ b. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ; ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π±ΡΠΊΠ² Π°. ΠΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ k ΡΠ°Π· Π±ΡΠΊΠ²Ρ Π°, ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π‘kn. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΌΠΌΠ° Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π±ΡΠΊΠ²Ρ, Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ k ΡΠ°Π·, ΡΠ°Π²Π½Π° Π‘nk akbn-k. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ k ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ 0, 1, 2, …, n-1, n, ΡΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (6).
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ (6) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅: (a + b)n = ?Ckn akbn-k. (8)
Π₯ΠΎΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°, Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ½Π° Π±ΡΠ»Π° ΠΎΡΠΊΡΡΡΠ° Π΅ΡΡ Π΄ΠΎ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅Ρ Π·Π½Π°Π» ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ). ΠΠ°ΡΠ»ΡΠ³Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π°ΡΡΠ» ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π° ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ Π½Π΅ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ.
Π§ΠΈΡΠ»Π° Π‘0n, C1n, …, Cnn, Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6), ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΠΉ ΡΡΠ΄ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Π° =1, b = 1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
2n = C0n — C1n + C2n — C3n + … +Cnn,
Ρ.Π΅. ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (4). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, Π° = 1, b = -1, ΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
0 = Π‘0n — C1n + C2n — C3n + … + (-1)nCnn ΠΈΠ»ΠΈ Π‘0n + C2n + C4n + … = C1n + C3n + + C5n + … .
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (8). Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) = (1 + x)n. ΠΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ n-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
(1 + x)n = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ an, an-1, …, a1, a0, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡ 1-Π³ΠΎ Π΄ΠΎ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ x = 0. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Π°
f (k)(x) = (1 + x)(k) = n (n — 1)Β· … Β· (n — k + 1)(1 + x)(n-k).
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π°
f (k)(x) = n (n — 1)Β· … Β· (n — k) anxn-k + … + k! ak,
ΠΡΠΈ x = 0 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
n (n — 1)Β· … Β· (n — k + 1) = k! ak
ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΠΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ k = 1, 2, …, n.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
(1 + x)n = C0 nxn + C1n xn-1 + … + Ckn xn-k + … + Cnn x0
ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅
(1 + x)n = ?Ckn xn-k,
ΠΡΡΡΠ΄Π°
2.1 Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (a + b)n ΠΏΡΠΈ an-kbk ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ k. ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 1778 Π³. ΠΠ²ΡΠ» Π. ΠΠΉΠ»Π΅Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΡΠ°ΠΊ:
Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ n ΠΏΡΡΡΠΌ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ n ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ (a + b), ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠΡΠ°Π²Π΄Π°, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌ Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π΅ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅Π²ΡΠ΅ΠΌ Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΠ°ΠΏΠ°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΠ²ΡΠΎΠΏΠ΅ Π² XV Π². ΠΈ, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡ, Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊ Π°ΡΠ°Π±Π°ΠΌ, Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡΡΡΠΌ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° 10 001 ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 1. ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° 1001 Π²ΠΎΡΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ.
ΠΡ-Π’ΡΡΡΠΈ (XIII Π².) ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π» ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄ΠΎ n = 2 ΠΈ, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅Π΅, ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠ» ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π² ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΠ»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ n: Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, k-ΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ k-Π³ΠΎ ΠΈ (k-1)-Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (n-1). Π ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π² Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ (ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅, Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, k = 0) ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ (k = n) ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ — Ρ. Π΅. ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈ an ΠΈ ΠΏΡΠΈ bn — ΠΎΠ±Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ 1(ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ n ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ (a + b) ΡΠ»Π΅Π½ an ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΆΠ΄Ρ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ n ΡΠ°Π· ΡΠΈΡΠ΅Π» a; ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π° bn).
ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ n Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ n ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ k, ΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΠΉ, Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ — ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌ, ΠΈ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠΈΡ Π»Π΅Π²Π΅Π΅:
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 2. ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ.
ΠΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π°: n = n, Ρ.ΠΊ. ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈ akbn-k ΠΈ an-kbk Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌ — ΠΊΠΈΡΠ°ΠΉΡΠΊΠΈΠΌ, Π°ΡΠ°Π±ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΈ Π΅Π²ΡΠΎΠΏΠ΅ΠΉΡΠΊΠΈΠΌ (Π. ΠΠΏΠΏΠΈΠ°Π½, 1527 Π³.; Π. Π¨ΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ, 1544 Π³.; Π. Π’Π°ΡΡΠ°Π»ΡΡ, 1556 Π³.). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ «Π’ΡΠ°ΠΊΡ ΠΎ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅», ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΌΠ΅ΡΡΠΈ Π°Π²ΡΠΎΡΠ° (Π² 1665 Π³.), ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠΎΠΊΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ. ΠΡΠ°Π²Π΄Π° ΡΠ°ΠΌ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ (ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ) ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅, Ρ «ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ» ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π΅:
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 3. Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ.
Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n, ΡΡΠΎΡΡ Π½Π΅ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Π° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ. ΠΡΠ΅ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈ Π²ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ — «Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°». ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ (ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΌ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΠΊΡΠ°ΡΡ ), ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΡΠΎΡΡΠΈΡ ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π°.
ΠΠΎΡ Π΅ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 3, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Π΅ΠΌ:
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π΄Π΅Π»ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π°ΡΠ΅Π»ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ — Π΄Π΅Π»ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Ρ ΠΎΡΡΠ°ΡΠΊΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ·ΠΎΡΡ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² — ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈ Π½Π° ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»Ρ. ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ? Π§ΠΈΡΠ»Π°, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) Π½Π° ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½Ρ. Π’ΠΎ, ΡΡΠΎ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΄ Π²ΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: 1, 2, 3, 4 ΠΈ Ρ. Π΄.
Π Π²ΠΎΡ ΡΡΠΎ Π·Π° ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΡΠΎΡΡ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅)? ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π½ΠΎΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Ρ Π³Π»ΡΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΉ Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ — ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅) — ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ .
Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ 2, ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π΅Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΈ Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, ΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π°ΡΡ: ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ 2 ΠΈ 3 ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅, Π° Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2 ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 3. Π‘ΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2 ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 3. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π±ΠΎΡΠ΅ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ: 1; 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 1+3 = 5, 1+3+1 = 5; 1+4+3 = 8 ΠΈ Ρ. Π΄., ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ . ΠΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½ΠΎΡΡΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°ΡΡΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ Π² ΡΠ°ΠΌΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ .
ΠΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΡΠΎΡΡΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΡΠΎΠΊ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2 (ΠΈ Π»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 3).
ΠΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ — ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ°:
Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΠ΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n>0 c Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π·ΡΡΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΡΡ, Π° Ρ ΡΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ — ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Π§ΡΠ΅Π·Π²ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ n, ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ k ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Ρ n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ², ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΡΡΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ². Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2. ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅Ρ 5-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡ Π½Π° 5; Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° 7-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡ Π½Π° 7. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ 2-ΠΉ ΠΈ 3-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ. Π Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ , Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π΅Ρ. Π§ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° 2, 3, 5 ΠΈ 7 ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅Ρ ΠΈΡ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΠΊΠ°? ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° n-ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ (Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2), ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡ Π½Π° n ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° n ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅.
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ (Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2) ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ n-Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°. ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2k, Π³Π΄Π΅ k — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π² Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° n.
Π Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ, Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, ΡΠΎ, ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ (Π.Π. ΠΠ°Π½Π½, Π. Π¨Π΅Π½ΠΊΡ, 1972 Π³.). Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ (Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ 2), ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π· ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° 4. Π‘Π²ΡΠ·Ρ ΡΡΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ.
Π§ΠΈΡΠ»Π°, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅, Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡ Π½Π° Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. Π§ΠΈΡΠ»Π° Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅, Π½ΡΠΌΠ΅ΡΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ, Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ. ΠΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π² ΡΠΎΡΠ½ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ.
2.2 Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
1. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (a + b)n ΡΠ°Π²Π½Π° 2n.
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ a = b = 1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π° ΡΠ»Π΅Π²Π°: (1 + 1)n = 2n.
2.ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°Π²Π½Ρ. ΠΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ: Ck = Cn-k.
3.Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ; ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° 2n-1.
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ: (1 — 1)n = 0n = 0. Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ «+», Π° Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ — «-». Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ 0, ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π°: 2n: 2 = 2n-1, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
2.3 ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ²
Β· ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ Ρ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ. ΠΡΠΎΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π΅Π½, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ n. ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ O (n) ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ (O (n2) ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ²) ΠΈ O (n2) Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π·Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ).
Β· ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅. ΠΠ½ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ k. ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ O (1) ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ (O (l) Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ l ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ k) ΠΈ O (k) Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
2.4 Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
I.
a) ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ (Π° + b)2 = C20a2b0 + C12a1b1 + C22a0b2.
b) ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ (Π° + b)3 = C03a3b0 + C13a2b1 + C23a1b2 + C33a0b3.
c) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (Π° + b)4 = (a + b)3Β· (a + b), Π²ΡΠ²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΡΠ΅ΡΠ²ΡΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
d) ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ (a + b)4 = C04a4b0 + C14a3b1 + C24a2b2 + C34a1b3 + C44a0b4.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
a) (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02a2b0 + C 12a1b1 + C22a0b2.
b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03a3b0 + C13a2b1 + C23a1b2 + C33a0b3.
c) (a + b)4 = (a + d)3Β· (a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 b3)Β· (a + b) = a4+4a3b + + 6a2b2+ 4ab3+ b4.
d) (a +b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C04a4b0 + C14a3b1 + C24a2b2 + C34a1b3 + C44a0b4.
Π Π΅ΡΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΌΠΈ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
II.
a) Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ k ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 5, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ — ΡΠΈΡΠ»Π° Ck5.
b) ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Ck5?
c) ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ.
d) ΠΡΠΌΠ΅ΡΡΡΡΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (k, Ck5).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π°) ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ:
k | |||||||
Ck5 | |||||||
b) ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘k5 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ k =2 ΠΈ k = 3, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΈ [5/2] ΠΈ ΠΏΡΠΈ [5/2]+1 (Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Ρ. Π΅. Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅, Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π΅ 5/2). Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ n = 5 — Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
c) Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° 32 = 25 (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ²? Π‘kn = 2n).
d) Π’ΠΎΡΠΊΠΈ (k, Ck5) Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
ΠΡΠ²Π΅Ρ: c)2; 3; d) 32.
III. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
Π°) 14 Cnn-2= 15A2n-3;
b) 6Cnn-3= 11A2n-1;
c) 13C2nn+1= 72n+1n-1;
d) 21C2nn+1= 11C2n+1n-1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π°) 14Π‘nn-2= 15Ann-3; n Ρ N.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π‘nn-2= Cnn-n+2= Cn 2, ΡΠΎ
14Cn2= 15A2n-3;
7Β· nΒ·(n -1) = 15Β· (n -3)Β· (n -4);
4n2 — 49n + 90 = 0;
b) 6Cnn-3 = 11A2n-1; n Ρ N
6C3n = 11A2n-1
nΒ· (n — 1)Β· (n -2) = 11Β· (n — 1)Β· (n -2);
n = 11.
c) 13C2nn+1 = 7Cn-12n+1; n Ρ N.
13C2nn-1 = 7C2n+1n-1
Π‘ΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
13Β· (n + 2) = 7Β· (2n + 1),
ΠΎΡΡΡΠ΄Π° n = 19.
d) 21C2nn+1 = 11Cn-12n+1;
ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
21Β· (n + 2) = 11Β· (2n + 1),
ΠΡΡΡΠ΄Π° n = 31.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π°) 10; b) 11; c) 19 d) 31.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. Π Π°ΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ°Π»Ρ, ΠΌΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π‘2n+1n-1 ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ.
IV. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅.
C272 — C262;
a) C115 + C116;
b) C52 + C72 + C92;
c) Π§ΠΈΡΠ»Π° Cnk ΠΏΡΠΈ n = 1, 2,3,4 ΠΈ 0 < k < n.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π§ΠΈΡΠ»Π° Π‘nk ΠΏΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ n ΠΈ k ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ:
ΠΡΠ²Π΅Ρ: a) 26; b) 9;2;4; c) 67; d) 14 ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΠ°ΡΠΊΠ°Π»Ρ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. Π ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ° d) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ 0? k? n, Ρ.ΠΊ. ΠΏΡΠΈ
0 < n < k ΠΈ n = 1 Π½Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ k (k€N).
3. ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ
Β·
Β· (ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ)
Β·
Β·
Β·
Β·
Β· (ΡΠ²ΡΡΡΠΊΠ° ΠΠ°Π½Π΄Π΅ΡΠΌΠΎΠ½Π΄Π°)
Β· ΠΡΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠ΄Π° (1 + x)n Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ s Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ· s ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ :
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ
?Cn+km = Cn+mm,
Cn0 + Cn+11 + Cn+22 + … + Cn+m-1m-1 = Cn+mm
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ (ΠΏΡΡΡΡ m? n):
Cn+mm+1 = Cn+m-1m + Cn+m-1m+1 = Cn+m-1m + Cn+m-2m + Cn+m-2m+1 = Cn+m-1m + Cn+m-2m-1 + Cn+m-3m + Cn+m-3m+1 = … = Cn+m-1m + Cn+m-2m-1 + … + Cnm
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ? Cn+km = Cn+mm,
Cnm + Cn+1m + Cn+2m + … + Cn+m-1m = Cn+mm
Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ,
C11 + C21 + C31 + … + Cn1 = Cn+12
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ,
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° Π² ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ.
1. ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ° / Π°Π²ΡΠΎΡ — ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π. Π―. ΠΠΈΠ»Π΅Π½ΠΊΠΈΠ½. — Π., 1969 Π³.
2. ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ° / Π°Π²ΡΠΎΡ — ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π. Π―. ΠΠΈΠ»Π΅Π½Π²ΠΈΠ½. — ΠΈΠ·Π΄. «ΠΠ°ΡΠΊΠ°». — Π., 1969 Π³.
3. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. 7−9 ΠΊΠ»./ Π°Π²ΡΠΎΡ — ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π. Π. Π‘ΡΡΠ΄Π΅Π½Π΅ΡΠΊΠ°Ρ. — ΠΈΠ·Π΄. 2-Π΅., ΠΈΡΠΏΡ., — ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄: Π£ΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ, 2009 Π³.