Приведение задачи Дирихле и ее обобщений для эллиптических уравнений к граничным задачам для голоморфных функций

Предлагаемая диссертация посвящена разработке конструктивных методов решения задачи Дирихле (задачи Д) и её обобщения с производными и интегралами в краевом условии (задачи А) для линейных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа с вещественно — аналитическими коэффициентами в случае плоских областей, ограниченных алгебраическими кривыми.

При аналитических коэффициентах (вещественных или комплексных) построение решений эллиптических уравнений и изучение их свойств проводится чаще всего методами комплексного анализа, опубликованных по этой теме работ очень много, подробный перечень их, до 1985 года включительно, имеется в монографиях [1] - [3]. Пополнять этот перечень работами последних лет нет надобности, так как среди них мы не обнаружили ни одной, связанной непосредственно с темой диссертации. Все известные результаты, послужившие основой для данной диссертации, имеются в монографии И. Н. Векуа [1] и отчасти С. Бергмана [2].

В каждой из монографий [1], [2]уравнение с аналитическими по действительным переменным х, у коэффициентами а, Ь, си свободным членом? в некоторой области Т плоскости ХОУ, где они могут быть как вещественными, так и комплексными, исследуется методом продолжения на комплексные переменные х и у, что для уравнения (0.1) достигается переходом к новым комплексным переменным.

2 = х + 1у, С = Х-1У (0−3).

Е (и) = Ли + а (х, у) — + Ь (х, у) — + с (х, у) и = ^ (х, у).

0.1).

0.2).

С, = 7. только при вещественных х, у). Вместо (0.1) получается комплексное в общем случае уравнение.

Р (и) з + + + С (7,ди (г, 0 =.

ШоС, дх дС, с новой неизвестной функцией тт/ +? ги (2'0 = Т «Г'» 2 Г и новыми коэффициентами.

0.4).

0.5) а.

В (г, 0 = 1 а.

2 + С.

2 ' 2 у г +? й> V.

2 г Ш у V.

2 + С 2 ' 2[ г + С 21.

Л" У.

0.6).

4 12 21 аналитическими в некоторой области (П х П) пространства двух комплексных переменных ъ, С,. т-т лч д д.

При этом в (0.4) под — и — надо понимать операторы комплексного дг дС, дифференцирования дх~ 2 дх ду д дС 2.

5. 5 — + 1— дх ду.

0.7).

Цель перехода к уравнению (0.4) в монографиях [1] и [2] была одинаковой — получение удобных интегральных представлений для некоторых классов решений уравнений (0.4) и (0.1). Но представления были получены разные.

В монографии И. Н. Векуа [1] изучались регуляторные области Т решения однородного уравнения (0.1)0, то есть решения и (х, у), имеющие в Т непрерывные частные производные первого и второго порядков. Для любого регулярного решения, как вещественного, так и комплексного, было получено представление в виде линейного интегрального оператора, соответственно, от одной или двух голоморфных функций одного комплексного переменного. Эти представления оказались очень удобными при решении граничных задач Дирихле и ее обобщений: на основе известных интегральных представлений искомых голоморфных функций ([4], с.220−252, 347−356- [5], с.347−357) рассматриваемые граничные задачи И. Н. Векуа приводил либо к сингулярным интегральным уравнениям, либо к уравнениям Фредгольма. Этот метод интегральных уравнений позволил провести полное исследование разрешимости задач Д и, А в случае конечносвязных областей Т с ляпуновскими границами ЭТ.

Интегральные представления решений уравнения (0.1), полученные в монографии [2], оказались непригодными для решения граничных задач и поэтому в дальнейшем не будут представлять для нас интереса. Но при помощи них С. Бергман исследовал другие свойства решений уравнений (0.1) и (0.4): нарушение свойства регулярности решений в зависимости от свойств коэффициентов уравненийпредставление решений различными функциональными рядами и т. д. Кроме того, монография [2] интересна тем, что в ней метод продолжения уравнения на комплексные значения аргументов применяется при изучении трехмерного уравнения (глава II) и говорится о возможности применения этого метода, когда коэффициенты будут алгебраическими функциями или абелевыми интегралами.

Из результатов И. Н. Векуа по исследованию граничных задач Д и, А методом интегральных уравнений очень трудно получить необходимые иногда конкретные результаты о свойствах решений задач и особенно трудно построить решение той или иной задачи в замкнутой форме. Поэтому разработка конструктивных методов решений задач всегда актуальна.

В 1991 и 1992 годах были защищены две кандидатские диссертации, выполненные 3. Нутом [39] и А. Аль-Джауром [40] на кафедре дифференциальных уравнений Казанского университета под руководством профес5 сора Л. И. Чибриковой. В этих диссертациях речь шла о решении граничных задач Д и, А в случае областей Т, ограниченных алгебраическими кривыми, путем переноса этих задач на риманову поверхность симметрии границы ЭТ. В первой из диссертаций задачи Д и, А решались для вещественного ДУ (0.1), во второй — для системы таких эллиптических уравнений. Так как настоящая работа самым тесным образом связана с работой 3. Нута [39], то ниже мы дадим краткое описание результатов и методов только этой работы [39].

В работе [39] задачи Д и, А рассматривались для области Т, когда ее границей служит либо заданная алгебраическая кривая.

Ь:р (х, у) = 0, (0.8) либо части кривой Ь и её осей симметрии. Обе задачи Д и, А решаются фактически одним приемом, хотя при осуществлении единой схемы вычислений разница имеется даже при решении одной и той же задачи в зависимости от порядка связности области Т и рода ее границы. Так, в случае односвязной области Т на основании результата И. Н. Векуа любое регулярное в Т решение вещественного уравнения (0.1)о представляется в виде и (х, у) = Яеи (2Д (0.9) где ипредставляет собой линейный оператор Вольтерра второго рода от неизвестной голоморфной в Т функции <�р (х).

11(2,0 = ©-[<К2)], геТ, СеТ (0.10) с коэффициентами, аналитическими в (Т х Т) по х, С. Эту функцию (р{ъ) надо определить так, чтобы на ЭТ выполнялось заданное граничное условие (задачи Д или А).

Методы определения функций <�р (х) в работах [1] и [39] различны. И. Н. Векуа [1] отыскивал <�р (х) в виде интеграла типа Коши с неизвестной чисто мнимой плотностью и для ее определения из граничного условия за.

О, (0.11) дачи получал сингулярное интегральное уравнение. В работе [39] 3. Нута наряду с ДУ (0.1) на комплексные переменные (0.3) продолжается уравнение (0.8) алгебраической кривой Ь и оператор и (г,/,) из (0.9). Вместо кривой (0.8) получается уравнение римановой поверхности.

2 ' 1 на которой образом области Т является область Т2 с Шу, лежащая над Т, а образом Ь является линия (0.12) Функция и (т., С) будет аналитической в области Тгс5?2, а на ее границе.

11(г, 0 в силу (0.9) будет удовлетворять граничному условию задачи Д или задачи А, смотря по тому, какая из этих задач рассматривается. Решив граничную задачу на римановой поверхности, надо поставить найденную аналитическую функцию и (г,?) в равенство (0.10) и это равенство спустить на плоскость ъ, полагая в нем где со (т) — та ветвь алгебраической функции уравнения (0.11), для которой юф) = г € Ь, и которая связана с тем листом поверхности 9на котором лежит область Т2. Из (0.10) таким путем получается интегральное уравнение Вольтерра второго рода д>(х)] = г е Т (0.13) с аналитическими коэффициентами и неизвестной функцией <�р (т). Обращением уравнения (0.13) решение граничной задачи Д или, А в случае од-носвязной области Т, ограниченной уникурсальной кривой Ь (р = 0) завершается.

Когда кривая Ь, а значит и поверхность имеют род р ф 0, при определении и (г, 0 в Т2 е возникают условия разрешимости, все они или часть их после спуска с на плоскость становятся дополнительными условиями на заданные граничные функции исходной задачи.

Закономерность появления этих условий в работе [39] подробно разъясняется. Излагается также, откуда появляется группа бирациональ-ных преобразователей в себя, когда дТ включает в себя участки линий симметрии Т, и описывается влияние многосвязности Т на разрешимость задачи и на структуру решений.

Основное требование метода работы [39], чтобы при переходе на риманову поверхность область Т2 располагалась на одном листе, является фактически основным недостатком этого метода, резко сужающим класс алгебраических областей Т, к которым этот метод, называемый обычно методом симметрии, может быть применим. Даже в случае уни-курсальных кривых (0.8) их поверхности симметрии (0.11), будучи орто-симметричными, при разрезе по линии Ь2 распадаются часто на два много-листных куска.

В настоящей диссертации предложена разработка методов решения граничных задач Д и, А для односвязных областей с алгебраическими границами в той же формулировке, что в работе [39] и при решении задачи Д регулярное решение и (х, у) уравнения (0.1) отыскивается на основе результатов И. Н. Векуа среди функций (0.9), содержащих произвольную голоморфную в Т функцию (р{т). А вот схема построения (р{ъ) предлагается другая, в основе ее лежит одно указание Л. И. Чибриковой, что если повернуть (Т х Т) преобразованной симметрии при котором (г, О е (Т х Т) переходит в е (Т х Т), а точки (г, О, из которых? = ъ, остаются неподвижными, то в силу вещественности и (х, у) соотношением (0.5) для и (г, 0 порождается свойство симметрии которое можно использовать при решении задачи Шварца для и (г?) по аналогии задачи Шварца в случае круга для голоморфной функции <�р{т).

0.14) и (?, г) = и (г, 0,.

0.15) одного переменного. Проведенные вычисления показали, что если ввести вспомогательное решение и* (г, 0 уравнение (0.4) с помощью равенств и (г, 0,(2,0е (ТхТ),.

0.16) и (С2),(г, С) е (ТхТ) то она будет удовлетворять условию симметрии (0.15) и для него из (0.16) и (0.9) получается соотношение и:(М) + и- (1,1) = 2Щ, 1 е ЭТ, (0.17) которое с помощью соотношений (0.15) и (0.10) преобразуется к виду.

Ке<�р (0] = ЩЛ е ЭТ, (0.18) если на область наложить дополнительное условие звездности области Т. Без этого ограничения на Т в левой части равенства (0.17) невозможно объединить два интеграла, чтобы получить на ЭТ уравнение Вольтерра (0.18) относительно Яе^). Итогом является правило:

Чтобы решить задачу Дирихле и^Х^ОД^еЭТ в случае звездной области Т для эллиптического ДУ (0.1), надо обратить интегральное уравнение Вольтерра (0.18).

Ке<�р (г) = (c)Ч1Ж>, г? эт, (0.19) решить задачу Шварца (0.19) при дополнительном условии <�р (г0) = <�р (х0), где г0 — любая фиксированная точка внутри Т, и полученную голоморфную в Т функцию (р{т) подставить в формулу (0.9), (0.10).

Фактически это есть заключение, что в случае звездной области Т задача Дирихле для эллиптического ДУ (0.1) с Ж — аналитическими коэффициентами в классе регулярных решения и задача Шварца для голоморфных в Т функций между собой эквивалентны.

Для задачи, А конечным результатом также явилось заключение об эквивалентности этой задачи для эллиптического ДУ (0.1) в классе регулярных решений и задачи, А в классе голоморфных в области Т функций р (х), если при этом выполняется дополнительное условие: условие коммутативности оператора © и граничного оператора Э. По сравнению с задачей Д этот результат по задаче, А менее интересен, о возможности получить на этом пути решение задачи в замкнутой форме здесь говорить не приходится.

Весь диссертационный материал изложен в семи параграфах. Два из них содержат вспомогательный материал, четыре (§ 3 — 6) посвящены задаче Д и лишь один (§ 7) — задаче А. Основной материал оригинальных пяти параграфов (§ 3 — 7) в виде двух статей направлен на депонирование.

1. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. — М. -Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. — 296 с.

2. Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными. М.: Мир, 1964. — 305 с.

3. Nua Leo Keng, Lin Wei, Wu Ci Quian. Second order systems of partial differential equations in the plane. — London: Pitman, 1985. -292p.

4. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-512 с.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 640 с.

6. Чибрикова Л. И. О методе симметрии в теории упругости. //Изв. вузов. Математика. 1967. — № 10. — С. 102 — 112.

7. Bergman S. Zur theorie der Funktionen, die eine lineare partielle Differentialgleichung befriedigen. //Доклады АН СССР. 1937. — Т. 15. — С.227 — 230.

8. Bergman S. Zur theorie der Funktionen, die eine lineare partielle Differentialgleichung befriedigen. //Матем. Сб. 1937. — Т.44.С. 1169−1198.

9. Савельвев A.A. Плоские кривые. М.: ФМ, 1960. 293 с. Ю. Уокер Р. Алгебраические кривые. — М.: ИЛ, 1952. — 236 с.

10. Неванлинна Р. Униформизадия. -М.: ИЛ, 1955. 434 с.

11. Чибрикова Л. И. К решению краевых задач методом симметрии. //Тр. Семинара по краев, задачам/ Казанск. ун-т. 1966. — Вып. 3. — С.202 -224.

12. Чибрикова Л. И. О решении некоторых краевых задач методом симметрии //Тезисы кр. науч. сообщений Межунар, Конгресса математиков, секц. 12. -М., 1966. -С.56.

13. Чибрикова Л. И. Решение некоторых граничных задач методом симметрии //Тр. 2-й Казахстанск. межвуз. конференции по матем. и мех., 1965.-Алма-Ата, 1968. -С.147 152.

14. Чибрикова Л. И. О задачах склеивания для прямоугольника //Итог, научн. конференция Казанск. ун-та за 1963 г. Секция мат. кибернет. и теории вероятн./Казань, 1964. С.31−33.

15. Чибрикова Л. И., Салехов Л. Г. К решению одной общей краевой задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров //Тр. Семинара по краев. задачам./Казанск. ун-т, 1968. вып.5 — С. 224−249.

16. Чибрикова Л. И., Салехов Л. Г. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения //Изв. вузов. Математика. 1968. — № 9. — С.94 — 105.

17. Салехв Л. Г. К решению одной задачи линейного сопряжения методом симметрии. //Теория функций комплекс. Переменного и краев, задачи. -Вып.2 /Чебоксары, 1974. С. 126 — 130.

18. Аксентьева Е. П. К исследованию нелинейной граничной задачи типа Гильберта. I //Изв. вузов. Математика. 1970. — № 6. — С. 14 — 23.

19. Аксентьева Е. П. К исследованию нелинейной граничной задачи типа Гильберта. П //Изв. вузов. Математика. 1970. — № 6. — С. 16 — 21.

20. Аксентьева Е. П. К вопросу о существовании однолистных половин симметричных римановых поверхностей //Тр. Семинара по краев, задачам / Казанск. ун-т, 1976. вып. 13. — С.49 -55.

21. Чибрикова Л. И., Феттер Э. А. Об одном сингулярном интегральном уравнении, связанном с группой итераций алгебраической функции //Изв. вузов. Математика. 1969. — № 9. — С. 109 -120.

22. Чибрикова Л. И., Феттер Э. А. К решению сингулярных интегральных уравнений, связанных с группой итераций //Тр. Семинара по краев, задачам /Казанск. ун-т, 1972. -Вып.9. С. 234 — 239.

23. Аксентьев Л. А. Построение оператора Шварца методом симметрии //Тр. Семинара по обратным краев, задачам/ Казанск. ун-т, 1964. -Вып.2. С. З — 11.

24. Аксентьев Л. А. Построение оператора Шварца методом симметрии //Тр. Семинара по краев, задачам/ Казанск. ун-т, 1966. Вып.З. -С. 11 -24.

25. Аксентьев Л. А. Построение оператора Шварца методом симметрии //Тр. Семинара по краев, задачам/ Казанск. ун-т, 1966 (1967). -Вып.4.-С. 3−10.

26. Чибрикова Л. И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях //Математический анализ. Т. 18 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1980. С. 3 — 67.

27. Чибрикова Л. И. Эффективное решение краевой задачи Гильберта для некоторых многоугольников, ограниченных дугами окружностей //Учен. зап. Казанск. ун-та, 1957. Т. 117. — № 2. — С.22 — 26.

28. Круглов В. Е. Аналоги ядра Коши и краевая задача Римана на трехлистной поверхности второго рода //Укр. мат. ж., 1972. Т.24. — № 3. — С.352 — 364.

29. Бикчантаев И. А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения //Доклады АН СССР, 1973. Т.209. — № 5. — С.1013 -1016.

30. Бикчантаев И. А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения. I, II. //Изв. вузов. Математика. 1973. № 11. — С.21 -30. -№ 12. — С. 10−21.

31. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957.-443 с.

32. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера Пуанкаре — Дарбу. — Куйбышев, 1984. — 80 с.

33. Нут З. М. Решение граничных задач для эллиптических уравнений второго порядка методом аналитического продолжения. Автореферат канд. диссертации.-Казань, 1991.

34. Аль Джаура A.M. Решение граничных задач для систем эллиптических уравнений второго порядка методом комплексного анализа. -Автореферат канд. диссертации-Казань, 1992.

35. Чибрикова Л. И Основные граничные задачи для аналитических функций Изд. Казанского ун-та, 1977 — 302с.

36. Чибрикова Л. И., Казза A.M. Об одном конструктивном методе решения линейных граничных задач для вещественных эллиптических уравнений в случае плоских областей. Казань, 1999 /Казан, ун-т -39с.-Деп. в ВИНИТИ.

37. Казза. A.M. Дополнение к решению задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в случае крута. Казань, 1999 /Казан, ун-т 10с. — Деп. в ВИНИТИ.