Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях

Постановка задачи.

Пусть n-мерное риманово компактное ориентированное связное многообразие без края. В пространстве гладких /с-форм, определенных на Ип, рассмотрим уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной [2].

Л — A) pt = аАр, (0.0.1) моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде;

— линейное уравнение Осколкова [50], [57].

Д — А) Ду?г = иА2<�р, (0.0.2) моделирующее в линейном приближении функцию тока вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка;

— систему уравнений Осколкова [38].

Л y2) Vt = i/V2f — (v ¦ V) v — Vp, V • v = 0 (0.0.3) моделирующее динамику скорости и давления вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка;

— линейную систему уравнений Осколкова.

Л — V2)^ = vV2vVp. V-v = 0 (0.0.4) моделирующее динамику скорости и давления вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка в линейном приближении и полученную отбрасыванием конвективного члена (и • V) u в системе (0.0.3).

В подходящим образом подобранных функциональных пространствах U,? уравнения (0.0.1), (0.0.2), (0.0.4) редуцируются к линейному.

Ьй = Ми, (0.0.5) а уравнение (0.0.3) к полулинейному.

Ьй = Ми + N (u) (0.0.6) уравнениям соболевского типа. Еще в пионерских работах были отмечены два характерных именно для уравнений (0.0.5), (0.0.6) феномена — принципиальная неразрешимость задачи Коши м (0) = и0 (0.0.7) для них при произвольных начальных данных щ пусть даже из плотного в Я множества, и сильная неустойчивость их решений. Если Пп — область в R" с границей dQn класса С00, то феномены несуществования и неустойчивости решений для уравнений вида (0.0.5) были объяснены в [108], а для уравнений вида (0.0.6) феномен несуществования решений объяснен в [46], [49]. Объяснение феномена несуществования для уравнений (0.0.5),.

0.0.6) заключается в описании множества допустимых начальных значений, которое понимается как фазовое пространство данных уравнений. Объяснение феномена неустойчивости для уравнения (0.0.5) заключается в выделении и изучении инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий. Для уравнения (0.0.6) исследование неустойчивости приводит к изучению инвариантных многообразий. Нашей целью является объяснение обоих феноменов для уравнений (0.0.1)-(0.0.4) в случае, когда £1п — риманово компактное ориентированное многообразие без края.

Актуальность темы

диссертации.

Первым уравнения неразрешенные относительно выделенной производной начал изучать А. Пуанкаре в начале прошлого века. Систематическое их изучение началось с работ C. J1. Соболева [59], выполненных в середине прошлого века (см. прекрасный обзор в [11]). С тех пор возникла традиция [27], [39], [40], [48], [50], [55], [81], [105], [106], [108] называть как абстрактные уравнения вида (0.0.5), (0.0.6), так и их конкретные интерпретации, например (0.0.1)-(0.0.4), уравнениями соболевского типа. И. Г. Петровский [44] и Ж. Л. Лионе [33] указывали на необходимость создания общей теории уравнений вида (0.0.5), (0.0.6). К настоящему времени уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики и привлекают внимание все большего числа исследователей. Об интересе к данным уравнениям свидетельствует большое число вышедших за последнее время монографий, целиком или частично посвященных этим уравнениям. Так монография В. Н. Врагова [8] посвящена исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и для линейных уравнений соболевского типа.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А. И. Кожанов [23], в частности рассматривает уравнения вида.

IA)ut = Bu + f{x, t), где А, В — дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Работы Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [11], [81] посвящены теории линейных дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной, имеющих в операторной форме вид эволюционных уравнений.

— 1.

AQDltu + YsAl-bDtu = f- (°-0−8) к=О где Ло, Ai., Aiлинейные дифференциальныеоператоры по переменным х = (х,. ,?"), причем символы операторов Ло, в основном, не удовлетворяют условию невырожденности. В [11] проведена классификация уравнений соболевского типауравнения простого соболевского типа, псевдопараболические уравнения и псевдогиперболические уравнения. Там же, из систем дифференциальных уравнений не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы соболевского типа и псевдопараболические системы. В ней рассматривались задачи Коши и общие смешанные задачи в четверти пространства для этих классов уравнений и систем вида (0.0.8), а также исследовались асимптотические свойства при t —* оо решений некоторых краевых задач уравнений соболевского типа в цилиндрических областях. В работах установлены условия разрешимости рассматриваемых задач, получены Lp-оценки решений, доказаны теоремы единственности в весовых соболевских пространствах.

Монография А. Фавини и А. Яги [86] посвящена исследованию задачи.

4-Lv = Mv + f{t), 0.

Lv (0) = v0 10 с замкнутыми линейными операторами L, М действующими в банаховом пространстве X, непрерывной на [0,Т] функцией /(?) со значениями в Л" и заданным элементом vq? X. Оператор L 1 в общем случае не является непрерывным, поэтому авторы, используя метод полугрупп и операционный метод, редуцируют исходную задачу к многозначному дифференциальному включению eAu + f{t), 0o и гладкость функции f (t).

В монографии И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова [100], в частности, рассмотрено дифференциальное включение с многозначным линейным оператором, А ju{t)? Au{t), к которому можно редуцировать уравнение (0.0.б). В работе были найдены условия в терминах оценок на резольвенты оператора, А и расщепления банахова пространства в прямую сумму domi4n ® Ап0, необходимые и достаточные для (гг, а-)-коррек-тности и n-корректности задачи Коши для включения. При этом речь идет о существовании решения задачи на полупрямой или, во втором случае, локальной задачи Коши, экспоненциально устойчивого относительно изменения начального значения в смысле более сильной нормы. Доказательства упомянутых результатов основаны на использовании понятий вырожденных п раз интегрированных полугрупп и их генераторов.

В монографии И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [13] описан математический аппарат, который может быть использован при постановке и исследовании краевых задач, а также приведены ряд результатов о разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений вида.

But + Lu = /, где L, В-самосопряженные (или диссипативные) операторы в заданном гильбертовом пространстве Е. В общем случае не предполагается обратимость оператора В, в частности он может иметь нетривиальное ядро. Для уравнений соболевского типа часто корректна обычная задача Коши или близкая к ней, но если оператор В не знакоопределен может возникнуть иная ситуация. В работе исследуются спектральные задачи для линейных пучков вида Lu = ХВи, где L, В-самосопряженные операторы. Рассматриваются вопросы базисности собственных и присоединенных элементов этой задачи в пространстве с нормой ||и||о = |||В|1/, 2и||, где || • ||- норма в исходном гильбертовом.

12 пространстве Е. Затем аналогичные вопросы рассматриваются для эллиптических задач с незнакоопределенной весовой функцией и все это применяется к решению граничных задач для указанных классов операторно-дифференциальных уравнений.

В монографии Ю. Е. Бояринцева и В. Ф. Чистякова [5] рассматриваются алгебро-дифференциальные системы (АДС) вида.

Ml = B (t)x{t) + f (t), где A (t) и B (t) прямоугольные матрицы зависящие от t G [О, Т], в том числе и для матрицы A (t) вырожденной при всех t из этого отрезка Авторы приводят классификацию таких систем, определяют вид решения для некоторых случаев и исследуют локальные свойства систем с конечномерным пространством решений, а также приводятся условия бесконечномерности пространства решений.

Монография В. Ф. Чистякова и А. А. Щегловой [73] посвящена системам обыкновенных дифференциальных уравнений с тождественно-вырожденной в области определения матрицей Якоби по х'. Изложены результаты исследований о существовании решений начальных и краевых задач для АДС в классическом и обобщенном смысле Соболева — Шварца. Обоснованы конструктивные критерии управляемости и наблюдаемости. Доказан аналог теоремы дуальности Калмана. Рассмотрены линейные АДС с отклоняющимся аргументом, разрешимость их в классическом и обобщенном смысле.

В монографии Н. А. Сидорова, В. И. Логинова, А.А. Синици-на, М В. Фалалеева [99] рассмотрена задача.

B (t)xW{t) = A (t, x) + f (t) где операторы #(/), A (t, x) определены в некоторой окрестности ft =: t < р. ||х|| < R} и действуют из Е] в Е2 (Ei, Е^-банаховы пространства), /(?) Е Е2 и В (0)-фредгольмов оператор. В работе построены непрерывные и обобщенные решения таких задач на основе метода Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов и топологических методов.

Для исследования устойчивости решений уравнений и систем в настоящее время широко используется теория инвариантных многообразий. Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Он же и получил первые результаты в аналитическом случае. Для дифференцируемых отображений первые результаты принадлежат Ж. Адамару. Они рассматривали двумерные отображения. На случай произвольной размерности, но лишь в случае, когда линеаризованные в нуле отображения записываются в виде матриц, имеющих элементарные делители, эти результаты были обобщены Д. Лыоисом [97]. Некоторые вопросы, относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым [34], хотя само понятие инвариантного многообразия не вводилось.

В монографии Н. Н. Красовского [28] для исследования поведения решений нелинейных динамических систем применяется метод функций Ляпунова, что позволило установить асимптотическую устойчивость нулевого положения равновесия и получить оценки его области асимптотической устойчивости.

Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т. д.) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности критической точки получила в работах Д. В. Аносова [1], С. Стернберга [107], Ф. Хартмана [90]. Подробнее эти вопросы были рассмотрены в статье А. Келли [94].

В монографии Д. Хенри [72] осуществлен перенос конечномерной теории инвариантных многообразий для нелинейных эволюционных уравнений = A (t)u + B (t, u) в абстрактное банахово пространство. Ряд результатов теории устойчивости для уравнений такого типа в банаховом пространстве с ограниченными операторами А, В изложен в работе Ю. Л. Далецкого и М. Г. Крейна [9].

Необходимо сказать также о решении дифференциальных уравнений в пространствах дифференциальных &—форм на многообразиях. Для корректной постановки начально-краевых задач необходимо было определить обобщение дифференциальных операторов в этих пространствах. Используя теории В. Ходжа [95] и К. Кодаиры [91] в серии статей в середине 50-х годов прошлого века Ж. Д. Дафф, Д. К. Спенсер, К. Фред-рикс и другие [82], [83], [87] провели исследование А—форм на многообразиях с краем, а также изучали оператор Лапласа-Бельтрами и уравнение теплопроводности в пространствах /с-форм. В частности была показана самосопряженность оператора Лапласа-Бельтрами в заданных областях. В работах В. И. Арнольда, Д. Илса, X. Элайсона [77], [84], [85] было показано, что группы диффеоморфизмов компактного многообразия, сохраняющих объем, являются подходящим конфигурационным пространством для гидродинамики несжимаемой жидкости и к ним можно применять методы глобального анализа и бесконечномерной геометрии. После этого вышел целый ряд статей и монографий содержащий результаты исследований дифференциальных уравнений на многообразии Д.Дж. Эбина и Д. Марсдена [75], А. А. Дезина [10] и других авторов [67]. Список работ по этим темам пополнялся по мере развития техники функционального анализа [93], [104] работами по исследованию дифференциальных уравнений на многообразиях в различных аспектах [92], [101].

Наша диссертация лежит в русле научного направления, разрабатываемого Г. А. Свиридюком и его учениками. Линейные и полулинейные исследования, в рамках этого направления, осуществлялись параллельно по времени.

К линейным исследованиям относится кандидатская диссертация Т. А. Бокаревой [3] в которой, сделано обобщение результатов по аналитическим полугруппам с ядрами для уравнений (0.0.5) в случае L-секториальности оператора М и получены необходимые и достаточные условия существования фазового пространства в случае (L,^{-ограниченности} оператора М. В диссертации Л. Л. Дудко [12] сделано обобщение на случай (Ь.р)-секториального оператора и рассмотрен случай L-радиа-льного оператора. В кандидатской диссертации В. Е. Федоров [68] обобщил ранние исследования, введя понятие (//^-радиального оператора и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Фи-ллипса-Феллера-Миядеры для уравнений соболевского типа. В этих диссертациях уравнения соболевского типа исследовались в банаховых пространствах. В докторской диссертации В. Е. Федорова [71] линейная теория уравнений соболевского типа распространялась на случай локально-выпуклых пространств. Исследовалась разрешимость начально-краевых задач для уравнений (0.0.5), когда операторы L и М представляют из себя многочлен или даже трансцендентную функцию от некоторого линейного оператора А. В диссертации А. А. Ефремова [14] при решении задачи Коши для уравнений соболевского типа с (Ь.р)-ограничеными и (Ь, р)-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г. А. Кузнецов [30] продолжил поиск достаточных условий (L,^{-ограниченности} и (Ь.р)-секториальности оператора М. В диссертации А. В. Келлер [21] изучены инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения соболевского типа, в случае L-секториальности оператора М. Диссертация С. А. Загре-биной [15] посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Веригина.

Pu (0) = и0, Р+и (т) = ит для уравнений (0.0.5) и (0.0.6). Здесь Р~(+) некоторые спектральные проекторы. В своей диссертации С. В. Брычев [6] построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного уравнения соболевского типа (0.0.5), где L и М квадратные матрицы (det L — 0) и применил его к расчету экономики городского коммунального хозяйства. В диссертации А.А. Замышля-евой [16] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка.

АиМ = В"1И (п-1) + • • • + BQu + /, п > 1.

В диссертации И. В. Бурлачко [7] был построен численный алгоритм для задачи оптимального управления для системы.

Ьй = Ми + f + Ви где L и М квадратные матрицы, а вектор функция Ви = Bu (t) задает управление.

Полулинейный случай рассматривается в кандидатской диссертации Т. Г. Сукачевой [60], в которой линейный метод С. В. Зубовой и К. И. Чернышева [18] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В докторской диссертации Т. Г. Сукачевой [63] сведены в единую теорию ее исследования задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [61]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М. М. Якупова [76], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификации. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В. О. Казака [19]. В диссертации Н. А. Манаковой [35] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера-Сидорова.

Цх{0) — гго) = 0 оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галеркина-Петрова-Фаэдо в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В. В. Шеметовой [74] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О. Г. Китаевой [22] посвящена обобщению теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа.

Из всего списка работ необходимо выделить диссертацию А. В. Келлер [21] в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного уравнения (0.0.5), и диссертацию О. Г. Китаевой [22], в которой исследуются инвариантные многообразия уравнения (0.0.6). Эти результаты используются в нашей диссертации.

Методы исследования.

Основным методом доказательств существования решений является метод фазового пространства, разработанный Г. А. Сви-ридюком и Т. Г. Сукачевой. Метод заключается в том, что начально-краевые задачи для конкретных уравнений (0.0.1)-(0.0.4) без потери общности сводятся к задаче Коши (0.0.7) для линейного (0.0.5), либо полулинейного (0.0.6) уравнения соболевского типа. Следующим шагом становится редукция уравнения.

0.0.б) к паре эквивалентных уравнений.

Hu° = ii° + Mnl{l-Q)N{u). й1 = Sul + L^QNiu), соответственно, определенных, возможно, не в исходном пространстве, а на его взаимно дополняющих подпространствах (и1 = Ри, и1) = и — и1), одно из которых является фазовым пространством для исходного уравнения (0.0.G). Для уравнения (0.0.5) редуцируется аналогичным образом, но в отсутствии оператора N. Далее изучается фазовое пространство. При этом использую классические методы нелинейного анализа. В итоге описывается морфология фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (0.0.1)-(0.0.4).

В основе наших исследований устойчивости решений лежат методы теории инвариантных многообразий и экспоненциальных дихотомий. Для случая линейного уравнения (0.0.5) мы можем выделить устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства. Устойчивость решения не изменится, если возмущать инвариантные пространства фазового пространства линейного (или линеаризованного) уравнения не слишком сильно до инвариантных многообразий нелинейного уравнения (0.0.б).

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации могут быть использованы для исследований имеющих как теоретический, так и практический характер. В диссертации исследуется задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), линейного уравнения Осколкова (0.0.2), линейной (0.0.4) и полулинейной (0.0.3) систем уравнений Осколкова в пространствах гладких Ал-форм, определенных на компактном римановом ориентированном мно-гообразих без края, что позволяет получать решения инвариантные относительно выбора локальных координат.

Проведено исследование устойчивости решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1), линейной (0.0.4) и полулинейной (0.0.3) систем уравнений Осколкова в пространствах гладких /г-форм на компактных римановых многообразиях без края. Результаты исследования устойчивости могут быть использованы при исследовании качественного поведения рассмотренных уравнений и систем. Практическая значимость состоит в том, что полученные результаты по морфологии фазовых пространств могут быть использованы при численном решении начально-краевых задач для этих уравнений и систем.

Новизна полученных результатов.

В работе получены следующие результаты: изучена морфология фазового пространства задачи Коши для уравнения Барен-блатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы уравнений Осколкова в пространствах гладких fc-форм на римановых многообразиях без краяисследованы морфология фазового пространства и квазистационарные траектории полулинейной системы уравнений Осколковаисследованы инвариантные пространства и устойчивость решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова, а также инвариантные многообразия и устойчивость решений задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова в пространствах гладких &—форм на римановых многообразиях без края. Все задачи рассматривались впервые и полученные результаты являются новыми.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» и Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Понтрягинские чтения XIV, Воронеж, 2003 г.),.

Тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003 г.), Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004г), Международном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» посвященном 60-летию проф. В. Н. Врагова (Новосибирск, 2005 г.), Международной научной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005 г.), Четвертой всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005 г.), Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Понтрягинские чтения XVII, Воронеж, 2006 г.), Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика», посвященной 30-летию Челябинского государственного университета (Челябинск, 2006 г.), на семинаре по уравнениям соболевского типа проф. Г. А. Свиридю-ка в Челябинском государственном университете, на семинаре под руководством проф. С. В. Хабирова в Институте механики Уфимского научного центра РАН и на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. К. Б. Сабитова в Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация помимо Введения содержит три главы и Список литературы. Сразу отметим, что Список литературы не может претендовать на полноту и соответствует только вкусам и предпочтениям автора.

Первая глава носит пропедевтический характер и содержит, соответствующим образом переработанные, формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р-ограниченных операторах, а также теорему Атьи-Зингера об индексе. Во втором параграфе вводятся определения решения, фазового пространства, разрешающих групп операторов, устойчивых и неустойчивых инвариантных пространств и формулируются теоремы о существовании разрешающих групп операторов и экспоненциальных дихотомий для линейных уравнений или систем соболевского типа (0.0.5). В третьем параграфе содержаться определения: решений, фазового пространства, квазистационарных траекторий, устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, простого банахового многообразия и сформулированы теоремы о существовании единственного решения в классе квазистационарных траекторий и инвариантных многообразий для полулинейных уравнений соболевского типа (0.0.6). В четпортом параграфе вводятся формулы используемых скалярных произведений и соответствующих нормсформулированы теорема Ходжа-Кодаиры, теорема о расщеплении пространства кформ.

Вторая глава посвящена исследованию линейных уравнений и систем соболевского типа в пространстве гладких А—форм заданных на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края. В первом параграфе задача Коши для линейного уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа (0.0.5). Далее показана фредгольмовость оператора при производной L и (L, 0)-ограниченность оператора М. Там же дано описание стуктуры фазового пространства и доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для любого начального значения из фазового пространства. Во втором параграфе описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных подпространств уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.0.1) и доказывается теорема о существовании экспоненциальной дихотомии решений этого уравнения. Третий параграф содержит редукцию задачи Коши для линеаризации уравнения Осколкова (0.0.2) к задаче Коши для уравнения соболевского типа (0.0.5). Показана фредгольмовость оператора при производной L и (L, 0)-ограниченность оператора.

М. Описана структура фазового пространства и доказана теорема о существовании и единственности решения задачи Ко ши для любого начального значения из фазового пространства. В четвертом параграфе задача Коши для линейной системы Осколкова (0.0.4), редуцируется к задаче Коши для уравнения соболевского типа (0.0.5). Показано что оператор при производной L является бирасщепляющим, а оператор М (L, 1)-ограниченным. Делается описание фазового пространство и доказывается теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (0.0.7) для любого начального значения из фазового пространства. В пятом параграфе описывается структура устойчивого и неустойчивого инвариантных подпространств линейной системы Осколкова и доказывается теорема о существовании экспоненциальной дихотомии решений этого уравнения.

Третья глава содержит исследование полулинейной системы Осколкова (0.0.3) в пространстве гладких А>форм заданных на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края. В первом параграфе задача Коши для полулинейной системы Осколкова (0.0.3), редуцируется к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа (0.0.6). В леммах указывается вид операторов, входящих в матричную запись операторов L и М. Показано что оператор М является (L. 1)-ограниченным. Проведено исследование морфологии фазового пространства и приведено замечание о существовании единственного решения задачи Коши, в классе квазистационарных траекторий, для системы (0.0.3). Во втором параграфе исследуется устойчивость решений полулинейной системы Осколкова (0.0.3), в окрестности точки нуль. Доказывается теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий полулинейной системы Осколкова (0.0.3), в окрестности точки нуль.

Результаты, выдвигаемые на защиту.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

— теоремы о существовании и единственности решений задачи Коши уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, линейного уравнения Осколкова и линейной системы Осколкова в пространстве гладких /г-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края;

— теорема о морфологии фазового пространства задачи Коши для полулинейной системы уравнений Осколкова в пространстве гладких к-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края;

— теоремы о существовании инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий решений задачи Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и линейной системы Осколкова, заданных в пространствах &—форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края;

— теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий полулинейной системы уравнений Осколкова, заданной в пространстве fc-форм на компактном ориентированном связном римановом многообразии без края.

Благодарности.

Выражаю огромную благодарность научному руководителю-профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи и консультации в процессе работы над диссертациейколлективу кафедры математического анализа за доброе отношение и участие в обсуждении результатов диссертацииа также моим родителям Евгению Васильевичу и Надежде Ивановне за понимание и поддержку.

1. Аносов, Д. В. Многомерный аналог одной теоремы Ада-мара / Д. В Аносов // Научные доклады высшей школы (физ.-мат. н.). 1959. № 1. С.3−12.

2. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // ПММ. I960. Т.24, № 5. С.58−73.

3. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Т.А. БокареваРГПУ им. Герцена СПб, 1993. 107 с.

4. Борисович, Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977. Т.32, № 4.-С.3−54.

5. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998. 224 с.

6. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.В. БрычевЧеляб. гос. ун-тЧелябинск, 2002 124 с.

7. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления Щ системами леонтьевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук:0513.18 / И.В. БурлачкоЧелябинский гос. ун т. Челябинск, 2005. 122 с.

8. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов.- Новосибирск-НГУ, 1983. 179 с.

9. Далецкий, Ю JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М.Г. КрейнМ.: Наука, 1970. 536 с.

10. Дезин, А. А. Многомерный анализ и дискретные модели / А. А. Дезин.- Новосибирск: Наука, 1990 239 с.

11. Демиденко Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Научная книга, 1998.456 с.

12. Дудко, Л. Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 /Л.Л. ДудкоНовгород. гос. ун-т.- Новгород, 1996.

13. Егоров, И. Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И. Е. Егоров, С. Г. Пятков, С. В. Попов.- Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.

14. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления Щ линейными уравнениями типа Соболева: дис. канд. физ.мат. наук: 01.01.02 / А.А. ЕфремовЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 1996. 102 с.

15. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.А. ЗагребинаЧеляб. гос. ун-т.- Челябинск, 2002. 100 с.

16. Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.А. ЗамышляеваЧеляб. гос. ун-т.- Челябинск, 2003. 101 с.

17. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными /Т.И. Зеленяк.- Новосибирск: НГУ, 1970; 164 с.

18. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном операторе с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их примен.- 1976 № 14. С.21−39.

19. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений Соболевского типа: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В. О. Казак.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2005. 99 с.

20. Капитанский, JI.В. О некоторых задачах векторного анализа / Л. В. Капитанский, К. Н. Пилецкас // Зап. науч. семинара ЛОМИ. 1984.-Т.138. С.65−85.

21. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.В. КеллерЧеляб. гос. ун-т.- Челябинск, 1997. 115 с.

22. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.Г. КитаеваМагнитогорский гос. ун-т.- Магнитогорск, 2006 111 с.

23. Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов.- Новосибирск: НГУ, 1990 132 с.

24. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А. И. Кожанов // ДАН СССР.- 1992, — Т.326, № 5. С.781−786.

25. Кожанов, А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А. И. Кожанов // Сиб мат. журн.- 1994. Т.35, № 2. С.359−376.

26. Кожанов, А. И. Задача с косой производной для некото-^ рых псевдопараболических и близких к ним уравнений /А.И. Кожанов // Сиб мат. журн.~ 1996. Т.37, № 6. С.1335−1346.

27. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперина / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин// Тр. Моск. мат. об-ва.- 1961. Т.Ю.- С.273−285.

28. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовкий.- М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

29. Крейн, С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн.- М.: Наука, 1967.275 с.

30. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г. А. КузнецовЧеляб. гос. ун-т.- Челябинск, 1999. 105 с.

31. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская.-М.: Наука, 1970. 288 с.

32. Ленг, С.

Введение

в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1996. 203 с.

33. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972. 414 с.

34. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений / A.M. Ляпунов. Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1956. 473 с.

35. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Н.А. МанаковаЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. 111 с.

36. Морен, К. Методы гильбертова пространства / К. Морен.-М.: Мир, 1965. 570 с.

37. Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ- 1980; Т.96.-С 233−236.

38. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ 1991; Т. 197 — С.120−158.

39. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ЛОМИ 1991; Т. 198 — С.31−48.

40. Осколков, А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. семинара ПОМИ- 1992.-Т.200 С. 139−148.

41. Павловский, В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров / В. А. Павловский // ДАН СССР. 1971. Т.200, ШС.809−813.

42. Палий Н. Д. Локальная аналитическая классификация уравнений соболевского типа: дис. канд. фич.-мат. наук: 01.01.02 / Н Д. ПазийЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 1999;126 с.

43. Пале, Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе / Р. Пале М.: Мир, 1967. 360 с.

44. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский.- М.: Физматгиз, 1961.400 с.

45. Рузакова, О. А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.А. РузаковаЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2004. 110 с.

46. Свиридюк, Г. А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика.- 1988 № 1- С.74−79.

47. Свиридюк, Г. А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика 1990 — № 12 — С.65−70.

48. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк// Изв. РАН. Сер. математическая. 1993. Т.57, № 3. С. 192−207.

49. Свиридюк, Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вяз-коупругой жидкости / Г. А. Свиридюк // Изв. ВУЗ. Математика.- 1994 К0- 1. С.62−70.

50. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секто-риальным оператором / Г. А. Свиридюк // Алгебра и анализ.- 1994. Т. б, Выпуск 5 С.252−272.

51. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одного неклассического уравнения / Г. А. Свиридюк, А. В. Анкудинов // Дифференц. уравнения.- 2003. Т.39, № П.- С.1556−1561.

52. Свиридюк, Г. А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. В. Келлер // Изв. ВУЗ. Математика 1997 — № 5 — С.60−68.

53. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Изв. ВУЗ. Математика. 2003; № 9 — С.36−41.

54. Свиридюк, Г. А. Быстро-медленная вязкоупругих сред / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // ДАН СССР. 1989.-Т.308,^4. С.791−793.

55. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифференц. уравнения.- 1996. Т.32, № 11. С.1538−1543.

56. Сидоров, Н. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения 1987 — Т.23, № 4 — С.726−728.

57. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / C. J1. Соболев// Изв. АН СССР, сер. матем.- 1954 Т. 18 С.3−50.

58. Сукачева, Т. Г. Линеаризованная модель движения вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка/ Т. Г. Сукачева, М. Н. Даугавет // Сиб. журн. индустр. математики. 2003 Т.6, № 4(16).- С.111−118.

59. Сукачева, Т. Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. док. физ.-мат. наук: / Т.Г. СукачеваНовгород, гос. ун-т.- Великий Новгород, 2004.

60. Темам, Р. Уравнения Навье-Стокса / Р. Темам.- М.: Мир, 1981. 408 с.

61. Уравнения на многообразиях / науч. ред. Ю. Г. Борисович, и др.- Воронеж, ун-т, — Воронеж, 1982. 139 с.

62. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.Е. ФедоровЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 1996. 104 с.

63. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ-2000. Т. 12, № 3. С.173−200.

64. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения 2001. Т.37, № 12. С.1646−1649.

65. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально-выпуклых пространствах: дис. док. физ.-мат. наук: 01.01.01/01.01.02 / В.Е. ФедоровЧеляб. гос. ун-т.-Челябинск, 2005 272 с.

66. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М.: Мир, 1985. 376 с.

67. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А.А. ЩегловаИн-т динамики систем и теории управления. Новосибирск: Наука, 2004. 320 с.

68. Шеметова, В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.В. ШеметоваМагнитогорский гос. ун-т.-Магнитогорск, 2005. 109 с.

69. Эбин, Д. Д. Группы диффеоморфизмов и движение несжимаемой жидкости / Д. Д. Эбин, Д. Марсден // Сб. Математика. 1973. Т.17, № 3. С.142−167.

70. Якупов, М. М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. ЯкуповЧеляб. гос. ун-т.- Челябинск, 1999. 83 с.

71. Arnold, V. Sur la geometrie differentiele des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a 1'hhydrodynamique de fluides parfaits / V. Arnold // Ann. Inst. Fourier.- 1966.-Vol.10 P.I.

72. Carroll, R.W. Singular and degenerate Cauchy problems // R.W. Carroll, R.E. Showalter New York etc.: Academic Press — 1976.

73. Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. 1968. Vol. 19. C.614−627.

74. Coleman, B.D. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation щ — uxx — uX? t on a strip / B.D. Coleman, R J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mecli. Anal.- 1965,-Vol.19. C.100−116.

75. Demidenko, G.V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations / G.V. Demidenko // Part. DifF. Eq. Banah Center Publ. Warsava.- 1992. Vol. 27. C.101−109.

76. Duff, G. Differential forms in manifolds with boundary / G. Duff // Anal, of Math.- 1952. Vol.56, № 1. C.115−127.

77. Duff, G. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary / G. Duff, D. Spenser // Anal, of Math 1952;Vol.56, № 1. C.128−156.

78. Eells, J. A setting for global analysis / J. Eells // Bull. Amer. Math. Society.- 1966, — Vol.72, № 5. C.751−807.

79. Eliasson, H. Geometry of manifolds of maps/ H. Eliasson // J. Diff. Geom.- 1967. Vol.1. C.169−194.

80. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi New York etc.: Marcel Dekker, Inc.-1999 — 324 c.

81. Friedrichs, К. Differential forms on Riemannian manifolds / Щ K. Friedrichs // Comrnun. Pure Appl. Math. 1955. Vol.8.C.551−590.

82. Gorban, A.N. The construrtion of the invariant manifolds for Boltzmann equation / A.N. Gorban, I.V. Karlin // Adv. Model, and Analysis. 1992. Vol.33, № 3. C.39−54.

83. Hallaire, M. On a theory of moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. 1964. № 3. C.60−72.

84. Hartman, P. On local homeomorphisms of Euclidean space / P. Hartman//Bol. Soc. Mat. Mexicana I960 — № 5. C.224−241.

85. Hodge, W. The theory and applications of harmonic integrals // W. Hodge Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1952 — 282 c.

86. Iwaniec, T. Nonlinear Hodge theory on manifolds with boundaiy, // T. Iwaniec, C. Scott, B. Stroffolini // Annali di Matematica pura ed applicata.- 1999 Vol.177. C.37−115.

87. Kato, T. On classical solutions of the two dimensial non stationary Euler equation /Т. Kato // Arch, for Rat. Mech. and Analysis.- 1967 Vol. 25, № 3. C.188−200.

88. Kelley, A. The stable, center-stable, center-instable, instable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat.- 1967; Vol.3-C.546−570.

89. Kodaira, К. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) / K. Kodaira //Ann. of Math. 1949. Vol.50, № 2. C.587−6G5.

90. Levine, H. A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au + F (u) / H. A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973.— Vol.51, № 5. C.371−386.

91. Lewis, D.C. Invariant manifolds near an invariant point of instable type / D.C. Lewis // Amer. J. Math. 1938. Vol.60-C.577−587.

92. Lightbourne, J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type / J.H.A. Lightbourne // J. Math. Anal. Appl 1983;Vol.93, № 2. C.328−337.

93. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. FalaleevDordrecht-Harbound: Kluwer Academic publishers, 2002 548 c.

94. Melnikova, I.V. Abstract Cauchy problems: three approaches / I.V. Melnikova, A. Filinkov.-: Chapman and Hall/CRC, Boca Rator, Fl, 2001 236 c.

95. Mitrea, D. Layer potentials, the Hodge Laplacian, and global boundary problems in nonsmooth Riemannian manifolds /D. Mitrea, M. Mitrea, M. Taylor // Mem. Amer. Math. Soc. 2001. Vol.150, № 713.

96. Peter, B.W. Existence and persistence of invariant manifolds for semiflows in Banach space / B.W. Peter, L. Kening, Z. Chonghun // Met. Amer. Math. Soc 1998. Vol.135, № 645, — C. l-129.

97. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems // S.G. Pyatkov Utrecht etc.: VSP, 2002. 348 c.

98. Schwarz, G. Hodge Decomposition A Method for Solving Boundary Value Problems / G. Schwarz // Lecture Notes in Math. 1607, Springer, Berlin, 1995 — 155 c.

99. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E. Showalter // Appl. Anal- 1975; Vol.5, № 1-C.15−22.

100. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. II / R.E. Showalter // Appl. Anal. 1975. Vol.5, № 2. C.81−99.

101. Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Poincare / S. Sternberg // Amer. J. Math.- 1957. Vol.79. C.809−824.

102. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov Utrecht etc.: VSP, 2003 — 268 c.

103. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для линейного уравнения Осколкова на гладком многообразии / Г. А. Свиридюк, Д. Е. Шафранов // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика 2003. № 1. С.146−153.

104. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на гладком многообразии / Г. А. Свиридюк, Д. Е. Шафранов // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. мат., мех., информатика.- 2003 К0- 3. С.171−177.

105. Свиридюк, Г. А. О задаче Коши для линейного уравнения Осколкова на многообразии без края / Г. А. Свиридюк, Д. Е. Шафранов // «Алгоритмический анализ неустойчивых задач»: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун та, 2004 С. 219.

106. Шафранов, Д. Е. Фазовое пространство и устойчивость системы Осколкова на римановом многообразии / Д. Е. Шафранов // Вестник МаГУ. Математика. Вып. 9 — Магнитогорск: МаГУ, 2006. С.97−106.