Задачи изгиба и концентрации напряжений для трансверсально изотропных пологих оболочек на основе уравнений уточненной теории

В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981;1985 годы и на период до 1990 года указывается, что развитие науки и техники должно быть в еще большей мере подчинено решению экономических и социальных задач советского общества, содействовать ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производства. • •.

В области естественных и технических наук следует сосредоточить усилия на решение таких важных проблем: развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях.

Весомый вклад в осуществление решений ХХУ1 съезда КПСС должно внести применение современных достижений механики при проектировании тонкостенных элементов конструкций в виде пластин и оболочек, широко применяемых в различных областях техники.

Возможности применения тонкостенных конструкций значительно расширились вследствие создания и широкого применения композиционных материалов, обладающих целым рядом специфических свойств, которые необходимо учитывать при определении их напряженно-деформированного состояния.

К настоящему времени можно считать завершенным построение теории пластин и оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява. В достаточной мере разработаны и методы их расчета.

Большой вклад в разработку теории и методов расчета внесли исследования В. З. Власова [ 19,20 У, А. Л. Гольденвейзера / 39−43 А. И. Лурье [ 68 У, Г. Н. Савина Г 97 У и др. ученых.

Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, дают, как правило, удовлетворительные результаты для достаточно тонких пластин и оболочек с малым показателем изменяемости напряженного состояния, выполненных из традиционных изотропных материалов.

Широкое внедрение в инженерную практику композиционных материалов, обладающих низкой поперечной сдвиговой жесткостью и высокой податливостью обжатию, обусловило необходимость создания уточненных теорий, свободных от кинематических и статических ограничений, принимаемых классической теорией, или решений задач в трехмерной постановке.

Указанные факторы следует учитывать при расчете нетонких пластин и оболочек, оболочек с быстро изменяющимися параметрами, а также в задачах с повышенными градиентами напряженно-деформированного состояния, вызванных действием локальных нагрузок, наличием концентраторов и т. д.

При решении таких задач с использованием уравнений трехмерной теории упругости возникают значительные трудности. Полученные результаты на основе уравнений трехмерной теории упругости, наряду с прикладным, имеют и теоретическое значение, т.к. позволяют оценить точность различных приближенных теорий, установить область их применения.

Вместе с тем, класс задач, для которых удается построить решения на основе трехмерной теории упругости, весьма ограничен и потому получили широкое развитие различные уточненные теории пластин и оболочек.

Выдающиеся ученые прошлого Коши, Пуассон, Кирхгоф, Ляв, Навье, Леви и др. внесли важный вклад в основы теории упругости, в построение теории пластин и оболочек. Еще в конце прошлого века были сформулированы гипотезы, связанные с учетом деформации поперечного сдвига — сначала для изгиба балок и устойчивости стержней, а в начале нынешнего века — для пластин и оболочек.

Подробный анализ методов построения уточненных теорий пластин и оболочек приведен в обзорах И. И. Воровича [ 28,30 /, А.К.Галинь-ша [ 35 /, А. Л. Гольденвейзера [ 41,42 У, монографии Н.А.Кильчев-ского, Г. А. Издебской, Л. М. Кисилевской [ 62 /, монографии Н.А.Киль-чевского [ 61 У. А. Л. Гольденвейзер /39/ при переходе от трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теорий пластин и оболочек выделяет три группы методов: I) метод гипотез — 2) метод разложений по толщине — 3) асимптотические методы.

При построении уточненных теорий с использованием различного рода кинематических и статических гипотез задают (аппроксимируют) законы изменения по толщине пластины или оболочки некоторые компоненты напряженно-деформированного состояния. Остальные компоненты напряженно-деформированного состояния определяют из трехмерных уравнений теории упругости. Разрешающие уравнения выводятся или с помощью вариационных принципов, либо с использованием уравнений трехмерной теории упругости (такие теории часто называют прикладными). Отличительной особенностью теорий, построенных с учетом деформаций поперечного сдвига является повышение порядка основных дифференциальных уравнений (шестой для пластин, десятый для оболочек). Отметим, что имеется значительное количество прикладных теорий, предложенных различными авторами. По этому вопросу в [ 35 J указывается: «. невозможно построить универсальную прикладную теорию, т. е. теорию, которая давала бы одинаково приемлемые результаты для всех характеристик напряженно-деформированного состояния конструкции. Может считаться установленным, что для определенного класса задач нужна определенная теория» .

Первым на необходимость учета деформации поперечного сдвига при рассмотрении колебаний балки указал С. П. Тимошенко. В 30-х годах H.A. Кильчевский /61 J построил теорию оболочек, свободную от ограничений классической теории, вопросам расчета толстых плит посвящены труды Б. Г. Галеркина, А. И. Лурье.

Широкое применение и дальнейшее развитие сдвиговая модель С. П. Тимошенко получила в работах Б. Л. Пелеха [ 77,83 /, Б.Л.Пеле-ха, А. А. Сяського [ 81 У, А. Н. Гузя, И. С. Чернышенко, Вал. Н. Чехова, Вик. Н. Чехова, К. И. Шнеренко / 70 ] и др. авторов.

Как свидетельствуют проведенные исследования, в задачах с большим показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния необходим учет не только деформаций поперечного сдвига, но и обжатия.

Рейсснер [ 129−131 ] в 40-х годах опубликовал уточненную теорию пластин, которая подробно проанализирована в работе А. Л. Гольденвейзера /38 7. В более поздних работах / 91,92 7 Рейсснер обобщих свои результаты на оболочки.

Построению уточненных теорий пластин и оболочек и их модификаций посвящены исследования С. А. Амбарцумяна [ 6−8 У. В них не учитывается обжатие и принимается закон изменения поперечных касательных напряжений в виде квадратной параболы. Для определения всех остальных неизвестных функций используются трехмерные уравнения теории упругости. Отметим, что в отличие от классической теории и теории типа Тимошенко закон изменения изгибных напряжений по толщине, как и в некоторых из модификаций теорий Рейсснера, является нелинейным.

Наряду с достоинствами прикладных теорий (сравнительная простота основных уравнений) необходимо отметить и их недостатки, которые заключаются в том, что не представляется возможным повысить точность результатов без изменения принятых гипотез. Вследствие этого развиваются методы приведения трехмерных задач к двумерным, в которых содержится регулярный процесс уточнения решения. При реализации этих методов компоненты напряженно-деформированного состояния раскладываются в бесконечные ряды. Н. А. Кильчевский [ Ы] с учениками / 62 ] применили разложение искомых функций в тензорные ряды по поперечной координате. В качестве аппроксимирующих функций принимались ряды Тейлора, а также ряды по функциям, зависящих от толщинной координаты. Разрешающие уравнения получаются путем использования трехмерных уравнений теории упругости или вариационных принципов. В этом направлении выполнены работы H.A. Кильчевского, Г. А. Издебской, Л. М. Кисилевской /61, 62 7, И. Н. Векуа / 16,17 /, М. В. Бегина, И. Ю. Хомы / 9 7, Б. Л. Пелеха, М.А.Сухороль-ского / 79,80 7, Э. Г. Сайфулина, А. В. Саченкова / 100 7, Д.В.Вайн-берга, В. Н. Кислоокого, А. С. Сахарова / 15 7.

Весьма широкое применение и развитие получила теория оболочек и пластин И. Н. Векуа / 16,17 7, в которой искомые величины раскладывались в ряды по полиномам Лежандра. Некоторые задачи на ее основе рассмотрены в работах М. В. Бегина, И. Ю. Хомы /9 7″ В. И. Гуляева, В. А. Баженова, П. П. Лизунова /52 7″ Г. Н. Савина, И. Ю. Хомы / 99/, И. Ю. Хомы / 116 У.

К недостаткам теорий, получаемых методом разложений по толщинной координате, следует отнести увеличение порядка уравнений при повышении их точности.

К третьей группе методов построения уточненных теорий относятся асимптотические методы, среди которых можно выделить два направления. Идея асимптотического метода А. Л. Гольденвейзера заключается в непосредственном интегрировании трехмерных уравнений теории упругости с учетом малости толщины пластины или оболочки, приводящих к итерационному определению трех видов напряженного состояния — внутреннего напряженного состояния, распространяющегося на всю пластину или оболочку, и двух (плоского и антиплоского) быстрозатухающих краевых эффектов. Изложение метода А. Л. Гольденвейзера приводится в / 40−43 7. В этом методе порядок разрешающих уравнений не увеличивается с повышением точности теории.

Асимптотический метод, отличный от метода, используемого в [ 40−43 У, предложен в работе И. И. Воровича / 28 У. В методе [ 28 ] асимптотическим разложениям подвергаются общие решения уравнений трехмерной теории упругости, получаемые с помощью однородных решений А. И. Лурье. Метод позволяет построить решения как для внутреннего напряженного состояния, так и для краевых эффектов.

В.Л.Бердичевский [ 10 У применил вариационно-асимптотический метод построения уточненных теорий тонкостенных конструкций, который основывается на асимптотическом анализе функционала полной энергии трехмерного тела.

В работе Н. К. Аксентяна, Н. А. Полякова, Ю. А. Устинова / 4/ на основе асимптотического метода проведен анализ напряженного состояния плиты в окрестности нагрузки локального типа. В работе Ю. А. Устинова [ 112 У этот метод обобщен на случай замкнутой сферы, нагруженной в полюсах сосредоточенными силами. На основе асимптотического метода рассмотрены некоторые задачи о концентрации напряжений около отверстий в пластинах в работах О. К. Аксентян и А.К.Ко-солапова /" ЗУ, И. И. Воровича и О. С. Малкиной /29 У, Г. В. Соколовской и М. А. Шленева [ 103 У.

Подробный перечень исследований по развитию и применению асимптотических методов приводится в работах А. Л. Гольденвейзера [ 40−43 У, И. И. Воровича [ 28,30 У и обзорной статье А. К. Галиньша /" 35 У.

На основании приведенного обзора можно сделать следующие выводы, определяющие выбор темы диссертационной работы:

I. Приближенные теории оболочек, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния, развиты недостаточно. Работы в этом направлении следует продолжить с целью разработки эффективных приближенных методов решения задач теории пологих оболочек с высоким градиентом изменяемости напряженно-деформированного состояния.

2. На основе уточненных теорий рассматривались задачи, как правило, с учетом деформаций поперечного сдвига. Для задач с высоким показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния проведенные исследования необходимо продолжить с учетом всех его компонент перемещения и напржкения.

В диссертационной работе рассмотрены некоторые задачи изгиба траневерсально изотропных пологих оболочек на основе уравнений уточненной итерационной теории, полученных на основе метода варьирования по определяемому состоянию, предложенного в работах А. П. Прусакова, А. В. Плеханова [ 85,89 /.

В первой главе работы на основе метода варьирования по определяемому состоянию получены уравнения равновесия трансверсально изотропной пологой оболочки и зависимости между силовыми и деформационными факторами для Iго напряженного состояния ([ = О, I, 2.). Эти уравнения учитывают все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки. Уравнения первого приближения при Е /Е^ =0 совпадают с уравнениями сдвиговой модели Тимошенко и определяют несамоуравновешенное по толщине оболочки напряженное состояние. Последующие напряженные состояния определяют самоуравновешенные по толщине напряженные состояния и уточняют внутреннее напряженное состояние, вихревой погранслой и описывают в соответствующих приближениях потенциальный погранслой. Порядок разрешающих уравнений для первого приближения равен десяти, для последующих не повышается и равен шести.

Оценено влияние на напряженно-деформированное состояние оболочки деформации Е2 и напряжения & 2 .

Во второй главе на основе уравнений метода варьирования по определяемому состоянию решены некоторые задачи изгиба трансверсально изотропных пологих оболочек.

Рассмотрена задача изгиба свободно опертой прямоугольной в плане пологой оболочки под действием синусоидальной нагрузки. Оценено влияние симметричных относительно срединной поверхности напряженных состояний (I = 2, 4), а также деформации? и напряжения на общее напряженное состояние для некоторых упругих и геометрических параметров оболочки. Рассмотрена задача о действии на свободно опертую оболочку локальной нагрузки, представленной в виде двойных тригонометрических рядов.

Изложен метод построения решения уравнений МВОС (метода варьирования по определяемому состоянию) в полярной системе координат. На основе полученного решения рассмотрена задача о действии на оболочку в виде сферического сегмента нагрузки, равномерно распределенной по круговой площадке.

В третьей главе рассмотрена задача о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением и ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями. Коэффициенты концентраций определены для мембранных и изгибных напряжений, что позволило оценить влияние упругогеометрических параметров кольца и оболочки на величину компонент напряженно-деформированного состояния оболочки. Рассмотрено влияние поперечного обжатия на концентрацию напряжений для оболочки со свободным и подкрепленным отверстиями.

В приложениях приведены программы реализации алгоритмов для.

ЭВМ.

Научная новизна диссертационной работы состоит в дальнейшем развитии метода варьирования по определяемому состоянию и построении итерационной теории изгиба пологих трансверсально изотропных оболочек (для Iго напряженного состояния) с учетом всех компонент напряженно-деформированного состоянияв получении варианта итерационной теории, не учитывающей, начиная с [¦ - 3, деформации и напряжения 6>. В работе дан способ исключения функций первого приближения из уравнений второго и последующих напряженных состояний. На примерах задач о действии локальной нагрузки, равномерно распределенной по круговой площадке, и задач концентрации напряжений в сферической оболочке, ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями, показано, что с ростом податливости оболочки на сдвиг увеличивается погрешность решения на основе модели С. П. Тимошенко.

Достоверность результатов подтверждалась:

— сравнением решений рассмотренных задач с решениями по другим теориям оболочек;

— предельным переходом к пластине при рассмотрении задачи о действии поперечной локальной нагрузки и сравнением с решением ее по уравнениям трехмерной теории упругости ;

— сравнением некоторых решений с результатами экспериментов.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе итерационной теории изгиба трансверсально изотропных пологих оболочек можно определять их напряженно-деформированное состояние для широкого диапазона изменения их упругогеометрических параметров, для задач с большим показателем изменяемости ВДС (действие локальных нагрузок, концентрация напряжений). При этом с повышением точности теории порядок уравнений изгиба для несамоуравнове-шенного напряженного состояния равен десяти, для самоуравновешенных напряженных состояний остается постоянным и равным шести, что значительно упрощает решение задач в высоких приближениях. Результаты решений задач представлены в виде таблиц, графиков и программ для ЭВМ, что позволяет их использовать при проектировании оболо-чечных конструкций различного назначения.

Результаты работы внедрены в ГПЙ «Днепрпроектетальконструк-ция» Госстроя СССР для исследования напряженного состояния купола воздухонагревателя в области ослабления люком.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [ 23−27,86,90 У, доложены на второй Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела» в г. Днепропетровске (1981 г.), на Третьей конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов в г. Риге (1981 г.), на У1 научной конференции молодых ученых Горьковского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Н. И. Лобачевского (1981 г.), на У тематической конференции «Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций» в г. Ленинграде (1981 г.), на научно-технической конференции «Нелинейные задачи теории пластин и оболочек» в г. Саратове (1981 г.), на республиканском симпозиуме «Концентрация напряжений» в г. Донецке (1983 г.), на семинарах НТО «Стройиндустрия» и на заседаниях кафедры сопротивления материалов в Днепропетровском инженерно-строительном институте в 1981;1983 гг.

На защиту выносятся:

— уравнения итерационной теории, полученные МВОС для трансвер-сально изотропных пологих оболочек, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния, порядок которых не зависит от номера напряженного состояния ;

— уравнения итерационной теории, не учитывающие влияние деформации и напряжения б2 (при I ^ 3) на общее напряженное состояние оболочки;

— решение уравнений МВОС в полярной системе координат для трансверсально изотропной пологой оболочки как при отсутствии так и при наличии поперечной нагрузки ;

— решение задачи о действии локальной нагрузки на пологую оболочку;

— решение задачи о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением и ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями.

В заключение автор выражает благодарность А. В. Плеханову за внимание к работе и обсуждение результатов.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сфор мулированы в виде следующих ВБШОДОВ:

1. В диссертации получены методом варьирования по определяе мому состоянию (МВОС)основные уравнения итерационной теории из гиба трансверсально изотропных пологих оболочек, зависимости между силовыми и деформационными фактораьш с учетом всех компо нент напряженно-деформированного состояния оболочки. Уравнения первого приближения МВОС при Е/В, = О совпадают с уравнениями сдвиговой модели П. Тимошенко и определяют несамоуравновешенное по толщине оболочки напряженное состояние. Порядок основных уравнений для первого напряженного состояния равен десяти. Урав нения для последующих напряженных состояний определяют самоурав новенные напряженные состояния, их порядок при ^ :^ 2 одинаков и равен шести.2. В диссертации получены уравнения уточненной теории, не учитывающие при [ ^ 3 деформации ?^ и напряжения б^ на напряженное состояние оболочки. Порядок этих уравнений при ^ 3 на два меньше и равен четырем. Установлено, что этот вариант уточненной теории применим для тонких изотропных оболочек с ьла лой стрелой подъема.3. На основе полученных уравнений рассмотрена задача изгиба оболочки при действии локальной нагрузки на свободно опертую по краям прямоугольную в плане оболочку из трансверсально изотроп ного материала. Решение задачи представлено в виде двойных тригонометрических рядов. Удерживая первый член ряда, получено решение задачи о действии синусоидальной нагрузки, которое срав нивалось с решениями по другим теориям. В предельном переходе при R = «^ получено решение об изгибе пластины. Для изотропного материала дано сравнение с решением в постановке трехмерной теории упругости, что позволило оценить сходимость решений МВОС. Для рассмотренной локальной нагрузки в виде пирамиды при к /Р1 — 0,2 для определения прогибов можно ограничиться решением в первом приближении (теория пластин Рейс снера), При определении же напряжений необходимо решение задачи в последующих приближениях. При определении НДС изотропных пологих тонких оболочек как для локальной так и синусоидальной нагрузок можно ограничиться решением в первом приближении. Увеличение толщины оболочки, пара метров сдвиговой и поперечной податливости требует решения в более высоких приближениях. Оценено влияние самоуравновешенных симметричных относительно срединной поверхности оболочки напряженных состояний, а также деформаций? и напряжений б^ на напряженное состояние оболоч ки. Для тонких оболочек симметричные самоуравновешенные состояния можно не учитывать и при ^ 3 можно пренебречь деформацией S^ и напряжением 6'^ .4. Для сферической оболочки при отсутствии и при наличии осе симметричной поперечной нагрузки получено общее решение уравнений МВОС, которое представлено через специальные функции. Это решение использовалось при решении задач о действии локальных нагрузок и концентрации напряжений у отверстий.5. Используя полученное решение, рассмотрена задача изгиба бесконечной сферической оболочки локальной нагрузкой, распределен ной по круговой площадке. Установлено, что с увеличением Е/(т, до 50 добавки к решению первого приближения при определении про гибов с уменьшением площадки нагружения и увеличением толщины обо лочки могут достигать 35 9^. Моментные составляющие напряженного состояния при определении их в первом приближении с увеличением Е/&-. до 50 уменьшаются на 7−10%. Добавки к решению первого приближения, с увеличением E/Gдо 50 достигают 15−30%, что сви детельствует о необходимости решения задачи в высоких приближе ниях. Тангенциальные компоненты напряженного состояния, с ростом податливости сдвигу увеличиваются, причем более существенно ближе к центру площадки нагружения. Для изотропного материала при опре делении компонент НДС можно ограничиться решением первого прибли жения.6. Используя общее решение для осесимметричной задачи, рас смотрены задачи концентрации напряжений в сферических трансвер сально изотропных оболочках, нагруженных внутренним давлением и ослабленных круговыми свободными и подкрепленными отверстиями, Подкрепляющее кольцо рассматривалось в рамках МЮС. Результаты первого приближения при рассмотрении свободного отверстия соответ ствуют известным решениям на основе сдвиговой модели П. Тимошен ко. Показано, что с увеличением податливости сдвигу возрастает погрешность решения в первом приближении. При рассмотрении свобод ного отверстия исследовано влияние деформации 6^ на концентра цию напряжений. Показано, что путем соответствующего подбора подкрепляющих элементов можно существенно снизить концентрацию напряжений.7. Методика расчета и соответствующие алгоритмы внедрены в ГПИ «Днепропроектстальконструкция» Госстроя СССР с экономическим эффектом в четырнадцать тыс. руб.