Голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий

Теория геодезических отображений, то есть отображений псевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т. Леви-Чивита [37], Т. Томаса [43], Г. Вейля [45]. Т. Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор первой кривизны которых представляет собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целью его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.

Однако исследования показывают, что зачастую такие структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру, что справедливо, например, для келеровых многообразий ([47], [44]). В связи с этим внимание исследователей обратилось к различным обобщениям теории геодезических отображений.

Наиболее известными из них являются теории (п-2)-проективных пространств (В.Ф.Каган [7]), конциркулярная геометрия (К.Яно [49]) и теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий, при которых сохраняются почти геодезические специального вида (так называемые аналитические планарные кривые, называемые также голоморфно-проективными) и комплексная структура келерова многообразия. Понятие голоморфно-проективного отображения было введено Оцуки и Тасиро в 1954 году [39] и с тех пор многократно исследовалось с различных точек зрения. Этой теме были посвящены работы многих авторов (напр., Д. В. Беклемишев [3], И. Тасиро [41], С. Исихара [35], К. Яно [48]). Фундаментальный вклад в развитие теории голоморфно-проективных отображений был внесен Одесской геометрической школой (напр., Н. С. Синюков [23], В. В. Домашев, Й. Микеш [5], [19]). В результате получены инвариантные геометрические объекты этого отображения [41], [35], найдена новая форма основных уравнений голоморфно-проективных отображений келеровых пространств, доказаны основные теоремы теории голоморфно-проективных отображений, сохраняющих комплексную структуру [25], доказано, что некоторые классы келеровых пространств не допускают голоморфно-проективных отображений, определены условия, при которых келерово пространство допускает голоморфно-проективные отображения [5].

Однако до настоящего времени все исследования по этой проблематике велись почти исключительно в рамках геометрии келеровых многообразий, хотя понятие голоморфно-проективного отображения имеет смысл для любого почти эрмитова многообразия.

Дальнейшее развитие теории голоморфно-проективных преобразований в теоретическом и прикладном направлениях весьма актуально. С геометрической точки зрения интересно получение исчерпывающей классификации пространств, допускающих нетривиальные голоморфно-проективные отображения и нахождение для них в явной форме необходимых и достаточных тензорных признаков внутреннего характера.

Цель данного диссертационного исследования состоит в изучении инвариантных свойств голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых структур.

В соответствии с целью выделены следующие основные задачи:

1. Найти объекты, инвариантные относительно голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовой структуры.

2. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль голоморфно-проективных инвариантов.

3. Получить в явном виде объект голоморфно проективой кривизны произвольных почти эрмитовых многообразий, выяснить его свойства.

4. Выяснить, при каких условиях голоморфно-проективные преобразования переводят классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур в себя.

5. Установить, какие классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий не допускают нетривиальных голоморфно-проективных преобразований.

6. Выяснить, при каких условиях голоморфно-проективные преобразования переводят почти эрмитову структуру класса Rb i=1,2,3, в структуру того же класса.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

1. Получены инварианты голоморфно-проективного преобразования почти эрмитовых многообразий.

2. Доказано, что почти эрмитовы структуры, принадлежащие одному из следующих классов в классификации Грея-Хервеллы [27]: {0}, wb w3, w!(c)w2, wi0w3, w3ew4, w, ew2ew3, wi®w3(c)w4, инвариантны относительно голоморфно-проективных преобразований.

3. Найдены условия, при которых структуры неинвариантных классов Грея-Хервеллы переходят в структуры тех же классов.

4. Доказано, что собственное почти эрмитово многообразие, принадлежащее одному из следующих классов в классификации Грея-Хервеллы: Wb W4, W!@W4, W2(c)W4, Wi (c)W2(c)W4> - не допускает нетривиальных голоморфно-проективных преобразований, сохраняющих структурный эндоморфизм.

5. Получен объект голоморфно-проективной кривизны и рассмотрен геометрический смысл обращения в нуль его сужения на пространство присоединенной G-структуры.

6. Найдены аналитические условия, при которых голоморфно-проективные преобразования переводят почти эрмитову структуру класса R-, i=l, 2, 3, в структуру того же класса.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенной G-структуры в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошу ля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения голоморфно-проективных преобразований почти эрмитовых многообразий, а также при чтении спецкурсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии МПГУ (руководитель — доктор физ.- мат. наук, профессор В.Ф. Кириченко), на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», 27 мая — 2 июня 2002 г., на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, 5−11 сентября 2002 г.

Содержание диссертации отражено в 6 публикациях. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих 10 параграфов, и списка литературы.

Список литературы

содержит 49 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 85 страницах машинописного текста.

1.Е. Автодуальная геометрия обобщенных келеровых многообразий/7 Матем.сб., 1993, т. 184, № 2, с.137−148.

2. Банару М. Б. Эрмитова геометрия б-мерных подмногообразий алгебры Кэли. Дисс. .к.ф.-м.н., М.: МПГУ, 1993.

3. Беклемишев Д. В. Дифференциальная геометрия пространств с почти комплексной структурой. И сб. «Геометрия. 1963,(Итоги науки ВИНИТИ АН СССР)» М., 1965, 165−212.

4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990 704с.

5. Домашев В. В., Микеш Й. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств/7 Матем. Заметки, — 1978.-Т. 23, № 2, С.297−304.

6. Игнаточкина Л. А., Кириченко В. Ф. Конформно-инвариантные свойства приближенно келеровых многообразий. Матем. заметки, 1999, 66, вып.5, 653−663.

7. Каган В. Ф. Субпроективные пространства. М., Физматгиз, 1961, 220с.

8. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., ВИНИТИ. 1977. Т.8. — С.139−161.

9. Кириченко В. Ф. К-пространства максимального ранга, Мат. заметки, т.22, 1977, 465−476.

10. Кириченко В. Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны, Матем. заметки, 1976, т.19, № 6, с. 805−814.

11. Кириченко В. Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной тфшш"ы//Матем.сб.1991. Т182, № 3. С.354−363.

12. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии.Т.18 М.:ВИНИТИ АН СССР, 1986. с.25−71.

13. Кириченко В. Ф. Новые результаты теории К-пространств. Дисс.. к. ф.-м. н, М.: МГУ, 1975.

14. Кириченко В. Ф. О геометрии подмногообразий Лагранжа. Мат. заметки, 69, № 1, 2001, 36−51.

15. Кириченко В. Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа. И Докл. АН СССР, 259, № 6(1981), С.1293−1297.

16. Кобаяси Ш, Намидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1., М.: Наука, 1981. 344с.

17. Кобаяси HI, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2., М.: Наука, 1981.-416с.

18. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М.: Гос. изд. иностр. Лит., 1960. -216с.

19. Микеш И. О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств. Укр. геометрическмй сб.(Харьков), 1980, вып.23, 90−98.

20. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. Волгоград: «Платон», 1996.-128с.

21. Радулович Ж., Микеш Й. Геодезические отображения конформно-келеровых пространств. Изв. ВУЗов, Математика, № 3 (328), !994, 50−52.

22. Рашевский Г1.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964. -664с.

23. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств, М, «Наука», 1979.

24. Синюков Н. С. Почти геодезические отображения пространств аффинной связности и е-структуры.!/ Матем. заметки, 7, № 4 (1970), 449−459.

25. Синюков Н. С., Курбатова И. Н., Микеш Й. Голоморфно-проективные отображения келеровых пространств.-Одесса, 1985.-143с.

26. Щипкова И. Н. Дифференциальная геометрия многообразий Вайсмана-Грея. Дисс.. к.ф.-м.н., М.: МПГУ, 1994.

27. Gray A, Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Ann. Math. Pure and Appl., 1980, v. 123, № 3, 35−58.

28. Gray A. Curvature identities for Hermitian end almost Hermitian manifolds. II TohokuMath. J., 1976, v. 28, № 4, p.601−612.

29. Gray A. Classification des varietes approximativment Kahleriennes de courbure sectionelle holomrphe constante. C. r. Acad, sci., 1974, A279, № 2, 797−800.

30. Gray A. Nearly Kahler manifolds. // J. Diff. Geom., 1970, v. 4, № 3, p.283−309.

31. Gray A. The structure of nearly Kahler manifolds. Ann. Math., 1976, v.223, № 3, p.223−248.

32. Gray A., Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. II Cas. Pestov. Math., v. 10, № 2, 1979.

33. HawleyN.S. Constant holomorphic curvature. Canad. J. Math., 1953, 5, p. 53−56.

34. Igusa J. On the structure of a certain class of Kahler manifolds. Amer. J. Math., 1954, 76, p. 669−678.

35. Ishihara S. Holomorphically projective changes and their groups in an almost complex manifold, 9, No3 (1957), 273−297.

36. Kirichenko Y.F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry. I. Geometriae Dedicate, 1994, V.51, 75−104.

37. Levi-Civita Т. Sulle transformazioni delle equazioni dinamiche, Ann. Di Mat., 1896, ser. 2, 24, p. 255−300.

38. Nomizu K. Conditions for constancy of the holomorphic sectional curvature. II J. Diff. Geom., 1973, v.8, p.335−339.

39. Otsuki Т., Tashiro Y. On curves in Kahlerian spaces, Math. J. Okayama univ., 4, № 1 (1954), 57−78.

40. Rizza G.B. On almost Hermitian manifolds with constant holomorphic curvature at a point. // Tensor.- 1991 50,№ 1, p.79−89.

41. Tashiro Y. On holomorphically-projective correspondenctes in an almost complex spaces, 6, No2 (1957), 147−152.

42. Tachibana S., Ishihara S. On infinitesimal holomorphicallyprojective transformations in Kohlerian manifolds. Tohoki Math. J. 1960,12, № 1, p.77−101.

43. Thomas T. Y. On the projective and equiprojective Geometries of paths.- Proc. Nat, Acad. Sci., USA, 1925, 11, p.198−203.

44. Westlake W.J. Hermitian spaces in geodesic correspondence. Proc. Amer. Math. Soc., 1954, v.5, № 2, 301−303.

45. Weyl H. Zur injinitesimalgeometrie Einordnung der projektiven und der Konformen Auffassung. Gottinger Nachrichten, 1921, S. 99−119.

46. Yano K. The theory of Lie derivatives and its applications.- Amst N-Holland publ. Groningen, Nordhoff, 1957.

47. Yano K. Sur la correspondence projective entre deux espaces pseudohermitens. C. R. Acad. Sci. Paris, 1965, 239, 1346−1348.

48. Yano K. Differential Geometry of Complex and Almost Complex Spaces.-Pergamon Press, 1965.

49. Yano К. Concircular geometry. I-IV. Proc.Imp.Acad.Tokyo, 1940, 16, 195−200, 354−360, 442−448, 505−511Публикации автора по теме диссертации.

50. Никифорова А. В. О голоморфно-проективных отображениях почти эрмитовых многообразий. Научные труды математического ф-та МПГУ (юбилейный сборник.100лет).-М.:Прометей, 2000,-с.186−190. (0.3 печ.л.).

51. Никифорова А. В., Кириченко В. Ф., О голоморфно-проективных преобразованиях почти эрмитовых структур. //Успехи мат. наук, 56, № 6(342), 2001, 149−150.(0.2 печ.л., соискателем выполнено 60% работы).

52. Никифорова А. В. О голоморфно-проективных преобразованиях почти эрмитовых структур классов R/, R.2, ^.//Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Ростов/нД, 2002 г., с.63−64 (0.1 печ.л.).