Проблема изотопической реализации

Напомним, что под вложением понимается отображение, являющееся гомеоморфизмом на свой образ, а под изотопией — гомотопия в классе гомеоморфизмов, тождественная при нулевом значении параметра.

Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-многообразие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого е > О оно е-аппроксимируемо вложением, и изотонически реализуемым [ЩШ], если существует псевдоизотопия Щ: Q —> Q, t G I = [0,1] (т.е. изотопия с параметром t € [0,1), Но = idQ, продолжающаяся до непрерывного отображения при t —> 1), переводящая в / некоторое вложение g (т.е. Hi од = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щепиным в 1993 году (см. [А1- проблема 2]) и известен как проблема изотопической реализации.

Истоки этого вопроса восходят к проблеме Л. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотопией подполиэдров, которая была сформулирована в 1966 году (см. [К1]) и решена в последующее десятилетие положительно для диких поверхностей в З-многообразиях (см. [К1] и обобщение в [Сг]) и диких вложений в коразмерности > 3 [Ed] (см. [MlTheorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов в R3 [Sik], [К 2]. Также следует отметить, что в силу теоремы Чернавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], [ЕК] дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотопически.

Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Из теоремы (3, сформулированной далее во введении, вытекает, что в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотопически реализуемо, если и только если оно лежит в образе канонического отображения1 е: holink (A/i, X>) —> V, где М. — пространство отображений X —* Q (в компактно-открытой топологии), Т> - «дискриминант», т. е. дополнение в М. к множеству вложений, holink — гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т. е. пространство путей <р: I —* Л4, таких что у?1(ТУ) = {1} (в компактно-открытой топологии), и отображение е даётся взятием значения в единице.

Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример — композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [MlExample 1.1]). Однако в случае, когда X — полиэдр, вопрос о существовании таких отображений, особенно в коразмерности > 3, оказался непростым.

Замечание. В этой связи может быть интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений: S1 —> R2 {О}, таких что /" индуцирует на tv умножение на г и совпадает с /ii вне 2-г-окрестности северного полюса N, которую переводит в 2−1-окрестность начала координат О. Прообраз.

1 Напомним, что значение этой конструкции основано на теореме Фаделла (см. [HR]), согласно которой для произвольного локально-плоского топологического подмногообразия Nn топологического многообразия Мт отображение е: holink (M, N) —+ N есть расслоение Гу-ревича со слоем ?, m-n1, причём в гладком случае е послойно гомотопически эквивалентно сферизации нормального расслоения.

О при предельном отображении /: S1 —> R2 есть Nобраз / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начала координат, т. е. не существует гомотопии ht: Sl —> R2, такой что ho = f и образ ht не содержит О при t > 0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений S1 —* R2 {О}, где fсовпадает с fi вне 4-г-окрестности N, которую переводит в 4-г-окрестность О.

I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую.

Лишь недавно выяснилось, что отображение полиэдра в многообразие, реализуемое дискретно, но не изотопически, существует. А именно, автором было построено такое отображение дизъюнктного объединения 3-мерного шара и полнотория в!6 [MlExample 1.9].

Пример АоПостроим сначала отображение /: S1 х В2 -" R3, снимающееся с начала координат сколь угодно малым е-сдвигом (т.е. аппроксимирующееся в С0-топологии отображениями со значениями в R3 0), но не мгновенно (т.е. такое, что не существует гомотопии ht, такой что hi = / и образ ht не содержит начала координат при t < 1).

В полнотории Т0 = S1 х В2 рассмотрим бесконечную цепочку полноториев С Г2 С Т[ С Тх С Тд С Т0, пересечение которых гомеоморфно 3-адическому соленоиду S3, причём каждый Ti+1 закручен в Т/ три раза (т.е. включение Tj+1 С Т/ индуцирует умножение на 3 в одномерных гомологиях), но каждый Т[ закручен в только один раз: Т[ = S1 х |Б2 С S1 х В2 = Т*. Толстый тор Т, Т/ = S1 х ЭВ2 х I сначала спроектируем на кольцо дБ2×7, которое затем профакторизуем по основаниям, так что внешний край дВ2×0, являющийся образом тора дТг, целиком сожмётся на северный полюс п полученной 2-сферы, а внутренний край.

— на южный полюс. После этого сферу S2 вложим вЕ3 таким вложением Siy чтобы при г > 0 её южный полюс перешёл в Sji (n) — предыдущий образ северного полюса, а все остальные точки — в ограниченную компоненту дополнения до Si-i (S2) в К3. При этом требуется дополнительно, чтобы каждый образ Si (S2) попадал в ^—окрестность начала координат. Этим отображение / определено на всех толстых торах TiT (, которые переводятся им в сферы Si (S2), причём внешние края dTi переходят в точки Si (n), а внутренние дТ[.

— в точки Sj+i (n). Положим / на каждом изгрызенном полнотории Т{ Ti+1 равным Si+i (n), и продолжим его, но непрерывности на предельный соленоид S3, который тем самым попадёт в начало координат.

Отображение / аппроксимируется отображениями fi со значениями в R3 0, где fi совпадает с / вне Ti+i, который переводит в Si+i (n). Покажем, что не существует мгновенного снятия / с начала координат. Пусть р — образ южного полюса при so. Достаточно показать, что для любого отображения <р: (Т0,дТ0) —> (R3 0, р), достаточно близкого к /, абсолютная величина различающей d (ip, /0) 6 Н2(То, дТо- 7r2(R3)) сколь угодно велика. В самом деле, поскольку каждый гомоморфизм в строчке.

• • • ^ Я2(Г0, Го Т2) — Я2(Т0, Т0 ТО — Н2(То, дТо) есть умножение на 3 в группе Z, несложно видеть, что, во-первых, ¿-(/¿-,/о) =.

1+ЗН——-|-Зг-1 = для каждого г > 0 и, во-вторых, d (tp, -ф) G 3lZ для любых двух отображений <�р, ф: (Т0,дТ0) —> (R3,p), совпадающих с / на Т0Т{. Если задано г > О, выберем <р настолько близким к /, чтобы оно было гомотопно в R3 0 отображению, совпадающему с /, и тем самым с /?, на Т0 TJ. Тогда d (.

^f1.

Пример А. Перейдём к построению отображения F, реализуемого дискретно, но не изотопически. С помощью / и стандартного включения ??3 <�—> R3 определим F: Т0 U В3 —> R3 х 0U0 х R3 R6. Оно дискретно реализуемо: вложения Fi". TU В3 —> R6 могут быть определены формуламиFi|r0(p) = (fi (p), gi (p)), где gii То Bf С R3 — произвольные вложения, и FiB3 = Fb3. С другой стороны, если бы F реализовалось изотопически, согласно [MlRemark 6.1] без ограничения общности можно было бы предположить, что образ В3 неподвижен при псевдоизотопии, откуда следовала бы мгновенная снимаемость / с начала координат.

Возможно альтернативное доказательство изотопической нереализуемости F, без использования [MlRemark 6.1]. Изотопическая реализуемость F влекла бы существование гомотопии Ht: Т0хВ3 —> R6, такой что Hi (р, q) = F (p)—F (q) для каждой пары (p, q) € Т0 х В3, и im Ht С R6 0 при t < 1- а именно, Ht определяется как произведение ограничений псевдоизотопии на вложения То и В3, скомпонированное с проекцией R6 х R6 на антидиагональ. Это приводит к противоречию как в вышеприведённом рассуждении.

Определение. Отображение /: X —> Q непрерывно реализуемо [Ml], если оно реализуемо дискретно, и Ve > О Б6 > 0 так что любое вложение, ¿—близкое к /, переводится на / некоторой е-псевдоизотопией.

Пример А'. Несложно видеть, что если отображение (дВ2 х /, д) —* (S2,S°) степени 1, использованное выше, заменить на отображение степени к ф 1 mod 3, или если 3-адический соленоид заменить на 2-адический, полученное отображение F будет реализуемо изотопически, но не непрерывно.

II. Об отображениях дуг в R3.

Согласно [MlCorollary 1.8] (см. также § 1.1 ниже) при п > 1 любое отображение компактного тг-мерного полиэдра в кусочно-линейное (2пI- 1)-мерное многообразие реализуемо изотонически и даже непрерывно (дискретная реализуемость здесь выполнена по общему положению). Непрерывная реализуемость не имеет места уже для произвольного кусочно-линейного вложения S1 С R3 [MlExample 1.4], [МЗ] (локальных узелков для этого, однако, недостаточно).

Вопрос об изотопической реализуемости отображений 1-многообразий в R3 оказался весьма сложным. Особо интересен случай локально-плоского топологического погружения, т. е. отображения, в окрестности каждой точки прообраза являющегося ручным вложением.

Замечание. В диссертации (см. пример 1 в § 1.2) построено дискретно, но не изотопически реализуемое локально-плоское топологическое погружение в коразмерности 3.

Пример Б. Локально-плоское топологическое погружение /:/U/—>JV/<�—> R3, образ которого показан на рис. 1, не реализуется псевдоизотопией никакого кусочно-линейного вложения.

Рис. 1.

Под струнным зацеплением будем понимать PL-вложение L: (/+ U /, д) <-+ (I х R2, д), такое что L (i, ±) = (г, ±-р) для г = 0,1 и некоторой фиксированной р G К2 {0}. Струнные зацепления рассматриваются с точностью до объем-лемой изотопии, неподвижной на 97 х R2, и их связная сумма доставляется склейкой двух экземпляров (/+,/,/).

Предположим, что задано PL-вложение g: I U I > R3, достаточно близкое к /. Если взять PL-вложение ft: J х R2 и Е3, такое что д = hL для некоторого струнного зацепления L и h{dl xR2) удалено на достаточное расстояние от /(/ U /), за исключением малой окрестности концов, легко видеть, что L представимо в виде связной суммы. сколь угодно многих экземпляров струнного зацепления Уайтхеда W (показанного трижды на рис. 1), и некоторого дополнительного струнного зацепления L'. Следовательно, достаточно найти инвариант v струнных зацеплений со значениями в неотрицательных целых числах, такой что v (W) > 0 и f (Li#L2) > v (L{) + ^(Z^) для любых Li и ?2- Такой инвариант доставляется родом «знаменателя» струнного зацепления, т. е. узла, полученного из струнного зацепления добавлением двух дуг в 81 х R2. ?

Замечание. На рис. 2 ниже уже каждая из двух диких дуг по отдельности не реализуется псевдоизотопией никакой кусочно-линейной дуги [К2], [Sik] (ср. [MlExample 1.2]).

Пример В. В [MlExample 1.3] утверждалось, что отображение /: I U I —> I V I R3, образ которого показан на рис. 2, не реализуемо изотопически. Однако, в доказательстве недавно была найдена ошибкана данный момент известно лишь, что утверждение вытекает из гипотезы ниже.

Ввиду принципиальности вопроса приведём указанную редукцию. Для этого нам понадобится инвариант PL-зацеплений. Для зацепления I: US. j —> S3 с нулевым коэффициентом зацепления рассмотрим разложение первой компоненты К := в связную сумму простых узлов. Другими словами, фиксируются PL-шары Bi,., Вр С S3, высекающие из К по дуге, так что при добавлении к любой паре шаров (В{, КГВ{) незаузленной пары (73,, |} х I) получается простой узел Я, С 53, и при одновременной замене всех этих пар на тривиальные получается тривиальный узел Ко С ?>3. По теореме Шуберта семейство шаров В* С 53 единственно с точностью до изотопии пары (Б3, К) и перенумерации шаров. По теореме Зайферта-ван Кампена фундаментальная группа 7 Г (К) := я*!^3 К) является свободным произведением групп 7 Г {Вг К) = 7 Г (К^ С объединённой подгруппой 2 = 7Г1(5'3 (К иуд)). Поскольку перенумерация (17) реализуется протаскиванием сквозь В^ вдоль К П Bj (при условии, что В{ и Bj — соседние), это разложение единственно с точностью до замены подгрупп 7 г (К^ на сопряжённые. Поэтому для каждого г эпиморфизм 7 г (К) —" 7 г (К{), дающийся абелианизациями всех 7 г (К?), j ф г, на объединённую подгруппу 2, корректно определён, с точностью до автоморфизма образа.

Рис. 2.

Назовём Кг несущественным, если гомотопический класс К' := в.

53 К, рассмотренный как класс сопряжённости в 7 г (К), лежит в ядре гомоморфизма <РгОпределим а (1) как количество существенных простых узлов среди К,., Кр.

Гипотеза. Значения а (1) стабилизируются для РЬ-зацеплений I, достаточно близких к заданному топологическому зацеплению д.

Возвращаясь к отображению /, предположим, что существует (возможно дикое) вложение д: 1 и /г <�—> К3 и псевдоизотопия: Е3 —> К3, такая что, Но = 1(1 и Н о д = /. Доопределим д, добавив две дуги, до (возможно дикого) зацепления д: и «—"¦ К3 с нулевым коэффициентом зацепления. Можно считать, что дуги о д^Б} /?), г = 1,2, достаточно далеки от /([|, §] и, |]) для всех I Е I. Легко видеть, что для любого п € 1 N найдётся е > 0, такое что для любого РЬ-зацепления /, достаточно близкого к Н-еод, инвариант а (1) > п. Таким образом, изотопическая реализуемость / противоречит гипотезе. ?

Опишем вкратце алгебраический подход к вопросу об изотопической реализуемости отображений 1-многообразия в К3.

Два PL-зацепления S^US1 «R3 называются к-квазиизотопными [MR1], если они соединяются PL-гомотопией общего положения, все сингулярные уровни которой являются fc-квазивложениями. PL-отображение /: S} U -«• R3 с ровно одной двойной точкой f (p) = f (g) называется k-квазивложением, к = 1,2,., и, если в дополнение к одноточечному множеству Pq := {f (p)} найдутся компактные подполиэдры Pi,., Рк С S3 и дуги Jo,., Jk С S1 U 5» 1, такие что f~x (Pj) С Jj для каждого j < к, и Pj U f (Jj) С Pj+i для каждого j < к, где последнее включение нульгомотопно для каждого j < к. (ср. с трюком Пенроуза-Уайтхеда-Зимана-Ирвина, см. [PC], и построением ручек Кэссона [Ка]). Очевидно, О-квазиизотопия совпадает с гомотопией в смысле Милнора (link homotopy), и с помощью теоремы Хакена о конечности показывается, что а—квазиизотопия совпадает с (не локально-плоской) PL-изотопией [MR2]. Определение fc-квазиизотопии детально обсуждается, иллюстрируется разнообразными примерами и утверждениями в [MR1] и [MR2], и мы не будем на этом останавливаться.2.

Ясно, что при к < и> любые два PL-зацепления, достаточно близкие к двум ТОР-вложениям S^US1 R3, гомотопным в классе вложений, fc-квазиизотоп-ны. Поэтому как только для некоторого к < и построен инвариант X отношения fc-квазиизотопии со значениями в неотрицательных целых числах Z+, такой что X (Zi#/2# • • • #^n#mn) -* сю при п —> оо для некоторых зацеплений li, I2,. • и произвольных mi, гпг,., немедленно доказана изотопическая нереализуемость отображения /: /11/ —> R3, составленного из ——Здесь обозначает покомпонентную связную сумму, являющуюся, вообще говоря, многозначной операциейнеоднозначность можно устранить, перейдя к струнным зацеплениям. Заметим, что если компоненты зацеплений li незаузлены, / является локально-плоским ТОР-погружением. Как для замкнутых, так и для струнных зацеплений возникает следующая.

Проблема накопления сложности [Ml], [MM], [MR1]. (а) Существует, ли ненулевой инвариант X отношения к-квазиизотопищ к < и>, со значениями в неотрицательных целых числах, такой что Х{1фт) > 1(1) + X (т) для любых зацеплений 1, т? б) То же для инварианта, принимающего ненулевое значение на некотором зацеплении с незаузленными компонентами.

При к = и примером инварианта, удовлетворяющего требованиям п. (а) является, очевидно, а{1) из примера В выше. При к = О такого инварианта не существует, поскольку связная сумма любого зацепления (замкнутого или струнного) с зеркальным гомотопна тривиальному. Однако уже для к = 1 проблема накопления сложности оказалась неожиданно трудной. В [MR1] показано, что.

2Отметим лишь, что инвариантами fc-квазиизотопии являются инварианты Васильева (как в обычном смысле, так и в более общем смысле Кёрка-Ливингстона, см. [МЗ]) порядка < к, инвариантные при PL-изотопии [МЗ], Д-инварианты Милнора с не более чем fc + 1 вхождениями каждого индекса (ср. [MR2- Corollary 3.4(a)] и [МЗCorollary 3.10(b)]), инварианты Кохрана 0 г, i < к [MR2], [МЗ], первые к + 1 потенциально ненулевых коэффициентов ряда Vl/(Vk! •••УЛгт), где Vl — полином Конвея зацепления L, а К* - его компоненты.

МЗ], и многие другие интересные инварианты. Кроме того, fc-квазиизотопия влечёт (к + |)-кобордизм Кохрана-Орра [MR2], и тесно связана с fc-разделённостью Эйленберга-Смайта и fc-стягиваемостью Кобаяси [MR2]. Понятие fc-квазиизотопии было существенно использовано в доказательстве инвариантности при топологической изотопии некоторых модификаций полиномов Александера, Джонса, HOMFLY и Кауффмана [МЗ]. требуемый инвариант нельзя извлечь ни из какой факторгруппы фундаментальной группы, функториально инвариантной при Ажвазиизотоиии и снабжённой периферической структурой (функториальность означает, что изоморфизм между факторгруппами для зацеплений, отличающихся на допустимое самопересечение одной из компонент, образует коммутативный треугольник с индуцированными включением гомоморфизмами из фундаментальной группы дополнения к утолщённому сингулярному зацеплению, возникающему при самопересечении). Хуже того, результаты [МЗ] наводят на мысль, что, несмотря на кажущуюся простоту, проблему накопления сложности в принципе нельзя решить с помощью всех многочисленных инвариантов зацеплений, известных на данный момент.

III. О РУЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ И МОДИФИКАЦИЯХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ.

Заслуживает упоминания следующий результат, доказательство которого основано на «срезающей лемме» Эдвардса [Ed].

Теорема a. [MlTheorem 1.6] Пусть Хп — компактный полиэдр, Y — полиэдр, Q™ — кусочно-линейное многообразие, т — п> 3. а) Дискретно реализуемая композиция кусочно-линейного отображения X —* Y и топологического вложения Y Q реализуема непрерывно. б) PL-дискретно реализуемое PL-отображение X —> Q PL-непрерывно реализуемо.

Дискретная, изотопическая и непрерывная реализуемость в категории PL определяются в полной аналогии с топологическим случаем. Как было отмечено выше, уже любое PL-вложение S1 с—> М3 не является непрерывно реализуемым [MlExample 1.4], [МЗ]. Непрерывно реализуемым, но не PL-непрерывно реализуемым является тождественное отображение 5-мерного тора в себя, см. [MlExample 1.4'].

Отметим, что в общем случае, например, для отображений S2 —* М4, PL-аналог проблемы изотопической реализации [MlQuestion II] по-прежнему открыт. Из доказательства теоремы, а в [Ml] ясно, что он по существу сводится к следующему вопросу: если Хп — полиэдр, т = п + 1 или п + 2, и /: Хп х Шк <�—> Rm хШк — PL-вложение, е-коммутирующее с проекциями на Mfe, существует ли се-сдвиг вложения /, тождественный вне Хп х Вк, на такое PL-вложение /', ограничение которого на Хп х Вк в точности коммутирует с проекциями на.

Приведём некоторые другие геометрические результаты работы [М1].

Теорема ?. [MlTheorem 1.12] Для отображения /: Хп —> Qm компактного полиэдра в PL-многообразие, т — п > 3, изотопическая реализуемость равносильна конкордантной, т. е. существованию вложения F: X х [0,1) с-н* Q х [0,1), продолжающегося посредством fxl: Xxl—*Qxl до непрерывного отображения.

При этом отображение из примера В (рис. 2 выше) оказывается конкордант-но реализуемым [MlExample 1.11]. Однако, в общем случае (например, для отображений дуг в R3) неизвестно [MlQuestion III], следует ли изотопическая реализуемость отображения /: X —> Q из существования топологической изотопии X в Q с параметром t € [0,1), продолжающейся посредством / х 1 до непрерывной гомотопии. В [MlExample 1.15] построена топологическая изотопия S1 в К3, накрываемая объемлемой изотопией с параметром t € [0,1), но не накрываемая никакой псевдоизотопией.

Доказательство теоремы (3 основано на контролируемой версии теоремы «конкордантность влечёт изотопию» в кусочно-линейной категориианалогичный результат в гладкой категории, также установленный в [Ml], доставляет положительное решение проблемы Р. Кёрби 1967 года. Теорема (3 существенно использована в доказательстве гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1 ниже), на котором основана большая часть результатов диссертации. Доказательство теоремы (3 использовано также в доказательстве следующего результата.

Теорема 7. [MlTheorem 1.16] (а) Пусть f отображает компактный полиэдр Xй в кусочно-линейное многообразие Qm, т — п > 3. Если f изотонически реализуемо, существует кусочно-линейная объемлемая изотопия с параметром t € [0,1), продолжающаяся до псевдоизотопии, переводящей на f некоторое кусочно-линейное вложение. б) Пусть f отображает компактное гладкое многообразие Мп в гладкое многообразие Qm, т > Ч71¹)ш Если f изотонически реализуемо, существует гладкая объемлемая изотопия с параметром t € [0,1), продолжающаяся до псевдоизотопии, переводящей на f некоторое гладкое вложение.

IV. Отображение в подпространство коразмерности к.

В работе [АМ] доказано, что, если Хп — компактный полиэдр, (¿-т — ориентируемое кусочно-линейное многообразие, где т > и отображение /: X С} дискретно реализуемо, то композиция / и включения <3 х {0} > С} х Е изотопически реализуема (согласно теореме 1.1.1(6), размерностное ограничение можно ослабить до т > 3(п2+1), п ф 1). По этому поводу см. также начало § 1.2, где приводится новое доказательство для случая С} = Е2п1. В [АМ] спрашивается, совпадают ли два понятия реализации для отображений Зп, ^ и £П Зп Д, К2п} где ^ } стандартные включения.

На первый вопрос отрицательный ответ даётся примерами 2 и 2' в § 1.2, см. пункт (в) теоремы 1 ниже. Второй же вопрос (об отображениях, пропущенных через включение п-сферы в М2п), который является основной мотивацией настоящей работы, полностью решить пока не удалось. Этот вопрос изучался также П. М. Ахметьевым в [А1], где приведён эскиз доказательства, что в случае п = 4к + 1 > 5 решение положительно, что является частным случаем следствия 2 ниже. Найти, по заданию рецензента, связь изложенных в этом эскизе идей (кроме тех, что явно содержатся уже в [АБ]) с методами данной работы автору не удалось.

Теорема 1. Пусть /3(т) обозначает 2-примарную часть т, т. е. наибольшую степень двойки, на которую делится т. а) [А1- док-во теоремы 1] (см. также [М2- § 3] и [А8]) Любое /: 5П —> К2п-/з (п+1) с пф2, дискретно реализуемо. б) Изотопически реализуемо всякое f: Sn~* R2n k С R2n, п ф 2, где 2, если п = 0 (mod 4) — к = 3, если п = 2 (mod 4) — /?(п + 1), если п нечётно. в) Для каждого п > 4 существует отображение f: Sn —> R2n1 с М2п, реализуемое дискретно, но не изотопически.

Утверждение пункта (б) следует из теоремы 1.3.1. Неединообразный вид ответа в пункте (б) объясняется тем, что имеются два независимых подхода, более простой из которых работает при ограничении k = max (/?(n+l), (3(п+2)), а более сложный — при к = maх ((3(п),(3(п + 1)) + 1- легко видеть, что в случае пф 2 (mod 4) выигрывает первый подход, иначе — второй. Заметим также, что именно наличие этих двух подходов приводит далее к двум пунктам теоремы 2.

Отметим, что при п = 2 утверждение пункта (а) теоремы 1 не выполнено из-за того, что отображение S2 —> R3 может в общем положении иметь тройные точки. Более точно, двулистное накрытие над поверхностью Боя S2 —> ЕР2 R3 М4 не реализуемо дискретно в М4 [А1]- более тонкий пример, для которого дискретная реализуемость не выполнена даже «по модулю 2», приведён в [А2].

Следствие 1. Любое отображение Sn —> M5tn/3]+3 с М2п изотопически реализуемо, если п + 1 не является степенью двойки, пф 2,4,6,9,10,12.

Доказательство. Предполагая, что п + 1 = т * (3(п + 1), где т > 3, легко убедиться, что при к ф 4,6 в условиях теоремы 1(6) выполнено к < f2^-]. Рассматривая отдельно случай 3 т, эту оценку можно слегка улучшить, пожертвовав ещё тремя размерностями. ?

Следствие 2. Для любого отображения f: Sn-^Sn и любого топологического вложения i: Sn <�—> М2п композиция i о / изотопически реализуема, при условии что п + 1 не является степенью двойки, пф 2.

Доказательство. Если i — стандартное вложение, утверждение является частным случаем теоремы 1. По теореме Зимана [Ze] любое PL вложение i изотопно стандартному, и тем самым для него утверждение также выполнено. Если теперь i — ТОР вложение, в силу теоремы Эдвардса [Ed] существует псевдоизотопия ht, переводящая на i некоторое PL вложение j (см. [MlTheorem 3.5а]), и искомая псевдоизотопия может быть получена диагональным образом из ht и псевдоизотопии, переводящей некоторое вложение на) о / (см. [Ml- § 4]). ?

Заметим, что среди отображений Sn —" R2n те из них, образы которых содержатся в сфере Sn С Rn+1 С R2n, вызывают особый интерес в контексте вопросов о дискретной и изотопической реализуемости. Во-первых, они представляют собой первый нетривиальный случай с точки зрения коразмерности, поскольку любое отображение Sn —* Sn~l С М2п изотопически реализуется распроектированием посредством совместного отображения ввиду того, что реализуемо изотопически постоянное отображение Sn —> {0} > Rn+1 в слой тривиального нормального расслоения к Sn~l в пространстве К2п. Немного более тонкие рассуждения позволяют уточнить оценку:

Предложение 1. (а) Всякое Sn Rn С М2п изотонически реализуемо. б) Отображение Sn Sn С R2n изотонически реализуемо при условии, что /-1(р) = {р} для некоторой р € Sn.

Доказательство. График Г ограничения / из пункта (б) на дополнение к р лежит в произведении (Sn {р}) х (Sn {р}), которое можно отождествить с тотальным пространством Rn х (Sn {р}) нормального расслоения к некомпактному подмногообразию Sn {р} С Sn С R2n. Поскольку диаметр слоя этого расслоения стремится к нулю при удалении точки базы на бесконечность, Г имеет одноточечную компактификацию в топологии М2п, с точкой р в качестве короны. Следовательно, стандартное вложение Sn {р} на Г продолжается до вложения g сферы Sn в тотальное пространство Т нормального расслоения к Sn С R2n, композиция которого с проекцией 7 Г на базу есть /. Остаётся сослаться на изотопическую реализуемость Т Sn С М2п.

Для доказательства (а) рассмотрим путь (fi: I —> Еп, такой что (fi{t) G f (Sn), если и только если? = 0. Зафиксировав какую-нибудь р G /-1(<^(0)) и отождествив в сфере Sn все точки, равноудалённые от р на расстояние не более i, получим гомотопию ht: Sn —* Sn Up=0 I, где ho = ids", h¹^) = {p}. Согласно пункту (б), композиция (/ U (fi) о ht изотопически реализуема при t > 0 (можно считать Мп С Sn), причём ясно, что вложение g = g (t) и псевдоизотопия Ha = Hs (t) непрерывно зависят от t, более того, существует псевдоизотопия Gt, такая что g (1 — t) = Gt ° д (1). Значит, диагональная псевдоизотопия Ft — Ht (l — t) oGt переводит #(1) на композицию / и включения Sn С М2п. ?

Во-вторых, как ясно из [А2], [KS] (см. также [Ah]), рассмотрение отображений Sn —> Sn С E2n-fc тесно связано с изучением итерированного гомоморфизма надстройки в гомотопических группах сфер, а также, ввиду итерационных возможностей отображений Sn —* Sn, допускает приложения к вложимости компактов [А2], [М2]. Наконец, отметим, что, как ясно из доказательства следствия 2, ответы на вопросы о дискретной и изотопической реализуемости композиции отображения f: Sn—*Sn и (топологического) вложения i: Sn Mm, m — п > 3, не зависят от выбора вложения i, поэтому корректно говорить о реализуемости / в пространстве Rm, что возвращает нас к исходной терминологии [Si], [TTIJTT]- легко видеть, что композиция дискретно (изотопически) реализуемых в Rm отображений Sn —> Sn дискретно (изотопически) реализуема в Rm.

V. О ДИСКРЕТНОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ.

Определения. Пусть /: X —* Q — непрерывное отображение. Замкнутое подмножество ?/ = {(х, у) х Ф у, f (x) = f (y)} взрезанного квадрата X = X х X Ах, где Ах = {(х, ж)} - диагональ, инвариантно при свободной инволюции t: (х, у) <-> (у, х) на X. Отметим, что компактность ?/ равносильна тому, что / - (топологическое) погружение, а его пустота — тому, что / - (топологическое) вложениеесли / - кусочно-линейное отображение между полиэдрами, S/ - подполиэдр X, а если / - отображение общего положения между многообразиями, ?/ - подмногообразие X.

Пример Г. Согласно [MB] (см. также [Ни], [No]), любое выворачивание сферы S2 общего положения, рассмотренное как сохраняющее уровни погружение у?: S2 х I Я-" R3 x /, имеет нечётное число четверных точек. По теореме Фридмана [FrLemma 2] (см. также [КоTheorem F (b)]) отсюда следует, что заклейка тривиальными «шапочками» доставляет погружение /: S3 Я-" R4, представляющее (с помощью леммы Хирша, см. [RS], ср. [Fr]) элемент стабильной гомотопической группы Пз с нетривиальным стабильным3 инвариантом Хопфа. Используя интерпретацию Кошорке-Сандерсона инварианта Хопфа как двойных точек [KSр. 203] покажем, что композиция S3 Я-" R4 С R6 не реализуема дискретно. (Аналогично, композиция S7 Я-" R8 С R14 не реализуема дискретно для любого / общего положения с ненулевым стабильным инвариантом Хопфаоднако, аналог теоремы Фридмана в этой ситуации не имеет места [Ее].).

Согласно [KS], любое погружение общего положения /: S3 9-> R6, проектирующееся в /, имеет нечётное число двойных точек. Зафиксируем такое /, е-близкое к if, и предположим, что существует вложение д: S3 «-» R6, е-близкое к if для достаточно малого е > 0 (определённого ниже). Поскольку Еj С Е/, некоторая компонента связности С многообразия E//t содержит нечётное число точек Y, j/1. С другой стороны, для любого отображения h: S3 R6, е-близкого к /, множество Е^ лежит в^{-окрестности} Ое многообразия Е/ U, А 53. Значит, любая е-гомотопия общего положения Н: S3 х I —* R6 х I между / и д задаёт t-эквивариантный нуль-бордизм Ея С Ое х А/ С S3 х I для Еj. Если е достаточно мало,^{-окрестность} С не пересекает^{-окрестностей} других компонент и диагонали, А 53, поэтому множество С П E^/t нечётной мощности нуль-бордантно. ?

Пример Д. Композиция двулистного накрытия f: S3—> RP3 и произвольного вложения RP3 > R6 не реализуема дискретноаналогично для S7 —> RР7 <�—> R14 (ср. [Re]). В самом деле, согласно аппроксимационной теореме [Нае], вложение можно считать гладким, а поскольку RP3 (или RP7) стабильно параллелизуемо, нормальное расслоение такого вложения тривиально [КМ]. Аналогично доказательству предложения 1, / поднимается в погружение f: S3c?> RP3 х R3 с единственной двойной точкой. Е/ совпадает с антидиагональю VS3 := {(х, — х) | х Е 53}, и применимо рассуждение из предыдущего примера. ?

Замечание. Утверждение предыдущего примера напрямую следует из следующего критерия, доказанного в [М2- § 3]: пусть М — стабильно-параллелизуемое n-многообразие, п > 2, и f: Sn М — отображение общего положениятогда композиция / и произвольного вложения М «—> R2n дискретно реализуема если и только если любая t-инвариантная связная компонента Е/ проектируется с чётной степенью на первый (эквивалентно, второй) сомножитель Sn х Sn. Доказательство этого критерия в [М2] - более-менее в духе рассуждений П. М. Ахметьева в [Al], [А2], и не приводится в диссертации. Отметим, что условие этого критерия выполнено тривиальным образом, если Е/ не имеет компактных компонент. Читатель может убедиться непосредственно, что это так для отображений S3 —» S3 степени 2, полученных заклейкой тривиальными «шапочками» выворачиваний Морэна и Шапиро [Фр]- в случае выворачивания.

3Напомним, что стабильный инвариант Хопфа Н: Пп —> Z/2 определяется равенством.

Я (Еа) = h (a) mod 2, где ft: 7T2n+i (.

T2n+2(Sn+2) — Пп — надстроечный гомоморфизм.

Шапиро это опровергает некоторые утверждения из [А1], [А2]. В действительности, подходит любое выворачивание [М2].

Утверждение. Если f: Sn—* Мп имеет нечётную степень, где M стабильно параллелизуемо, то композиция f и произвольного вложения M <�—> ]R2n дискретно реализуема.

Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму.

Е/ —Sf [гп {/.

S/Л f (Sf), где Sf = {х G Sn | f (x) = f (y) для некоторого у ф х} обозначает сингулярное множество, так что f (Sf) — множество двойных точек, и р — ограничение проекции Sn х Sn на первый сомножительотображение /(2) определено по формуле {х, у} н-> f (x) = f (y). Достаточно рассмотреть случай, в котором / - отображение общего положения. Ограничивая на связную компоненту Е/, и считая Sj и /(.

П. М. Ахметьеву удалось доказать с помощью теоремы Адамса об инварианте Хопфа, что любое отображение f: Sn—>Sn С М2п дискретно реализуемо при п ф 1,2,3,7 [А2] (см. альтернативные доказательства в [Ah], [М2- § 3]). При п = 1 это не так для любого отображения степени ф 0, ±1 [Si]- случаям п = 3,7 посвящена работа [М2], а случаю п = 2, где возникают дополнительные трудности, связанные с упомянутыми выше тройными точками, — основной результат работы [ARS] (см. также [Al], [А2]). Известно, что при п — 2 ответ положителен для открытых отображений (Е. В. Щепин, неопубликовано). Для вопроса об изотопической реализуемости случай п = 21 — 1 представляет особую сложность, поскольку в проблеме изотопической реализации ту роль, которую инвариант Хопфа играет в задаче дискретной реализации, занимает относительная версия (ср. гомоморфизмы из [Ah]) второго инварианта Хопфа Н2 в смысле Уайтхеда-Джеймса (см. [KS]), а для последнего удаётся применить лишь доказательство [AS] лёгкой части (принадлежащей Адему [Ad]) теоремы Адамса (общий случай см. в [A3]), работающее при ограничении п Ф 21 — 1..

Таким образом, размерностные ограничения в следствии 2, по-видимому, не удастся ослабить (или же доказать их необходимость) стандартными методами теории погружений без дальнейшего развития её аппарата. Перейдём к формулировке результатов, полученных другими методами..

VI. Отображения Sn -*¦ Sn с R2n.

Определение. В приложении определены гомологические препятствия o (f) и о (/) (а в § 1.1 — их когомологические эквиваленты $(/) и $(/)) к дискретной и к изотопической реализуемости отображения /: Nn —> Мт между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиямиприведём краткий набросок их построения. Препятствие o (f) принимает значение в (2п — т)-мерной группе локально-конечных гомологий Александрова-Чеха сг-компакта 2//1 с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной обратному пределу локально-конечных4 гомологий полиэдральных окрестностей ?//t в N/t, и определяется как нить из гомологических классов многообразий S/?/t, где fi — аппроксимации общего положения отображения /, в этих окрестностях N{, объединённых с окрестностями Di бесконечности некомпактного многообразия N/t. Препятствие о (/) принимает значение в (2п — ш)-мерной группе локально-конечных гомологий Стинрода-Ситникова сг-компакта ?//t с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной группе (2п—т+1)-мерных локально-конечных гомологий телескопа обратной последовательности окрестностей Ni, и определяется как гомологический класс многообразия (J ?/t/t, где ft: N М, t? [0,1), — гомотопия общего положения, такая что ft~>f равномерно при t —> 1, в телескопе обратной последовательности JV? U ?>?..

Предложение 2. Пусть f: Nn —* Q2n — отображение между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями, где п > 3 и N компактно. а) [Ski] / дискретно реализуемо, если и только если о (/) = 0. б) f изотонически реализуемо, если и только если о (/) = 0. в) Если / дискретно реализуемо и является композицией N —> М С Q, где Q = М хШ. к, М2п~к — кусочно-линейное многообразие, к > 0, то класс o (f) имеет порядок 2 и является образом o (f) при некотором гомоморфизме..

Доказательство пункта (б) состоит, с учётом гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1), из стандартной теории препятствий (теорема 1.1.3) и стандартного перехода от когомологий к гомологиям (см. приложение). По модулю этого перехода первое утверждение пункта (в) доказано в предложении 1.2.2 (другое доказательство — в замечании к лемме 1.3.3), а второе, играющее роль ключевого наблюдения в данной статье — в предложении 2.3.4 (а также вытекает из леммы 1.3.3(а) и наблюдения 2.1.4, что доставляет альтернативное определение интересующего гомоморфизма). Некоторые следствия второй части пункта (в) установлены уже в теореме 1.2.1 (случай m = 2п) и в наблюдении 1.3.4..

Теорема 2. Допустим, что композиция /: SnU Sn С R2n, п > 3, реализуема дискретно, но не изотонически, и пусть х? Sn — любая точка, р* = ГЧ№)а) Если o (f) имеет конечный порядок, то компакт Рх соленоидален, т. е. нетривиально ядро канонического эпиморфизма Hq (Px) —> Но (Рх) между нульмерными гомологиями Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха. Более того, это ядро содержит элемент порядка 2. б) Образ индуцированного включением гомоморфизма.

Н0(РХ) й Щ{РХ {х}) H?!(zf/t) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру Hq (E//t) -fiT?f (?//t) и не зависящий от х. Этот элемент — ни что иное, как o (f)..

4Напомним, что локально-конечные гомологии отличаются от обычных наличием циклов с некомпактными носителями, аналогичных носителям коциклов в обычных когомологияхсм. приложение..

Доказательству когомологической версии теоремы 2 носвящена глава 2- исходная формулировка сводится к ней в приложении..

Замечание. Из точной последовательности Милнора (см. приложение), связывающей гомологии Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха, вытекает, что всякий соленоидальный компакт имеет размерность не менее 1..

Замечание. Существование отображений Sn —> Sn без несоленоидальных прообразов точек представляется автору маловероятным. (Следует уточнить, что специалистам, таким как, например, Р. Эдварде, неизвестно, существуют ли такие отображения, равно как и отображения /: Sn —> Sn с /-1(х) = 51 для каждой х € Sn.) В самом деле, известно, что факторпространство Sn по свободному действию р-адического соленоида (если такое существует) имеет размерность не менее п + 1 [Ya]..

Замечание (Е. В. Щепин). Прообраз хотя бы одной точки не является солено-идальным, если / липшицево или 1-мягкое (доказательство основано на доказательстве леммы Сарда, упрощённом с учётом того, что размерности образа и прообраза совпадают)..

Замечание (А. Н. Дранишников). Если /-прообраз каждой точки некоторого открытого множества U С Sn гомеоморфен р-адическому соленоиду (который ацикличен mo dp), по теореме Виеториса-Бегла отображение / индуцирует изоморфизм H*(Sn, Sn U-Z/p) H*(Sn, Sn /1(?/)-Z/p) — в частности, deg / ф 0 (mod р). Правда, здесь не учтены такие, например, возможности: (i) прообраз каждой точки гомеоморфен^{-адическому} соленоиду, где I = (2,3,5,7,11,.) — (и) Sn = Т3 U Г5, где Тр — всюду плотное множество, прообраз каждой точки которого гомемоморфен р-адическому соленоиду..

Замечание. Из второго утверждения пункта (а) следует, что в его условиях 2-адический соленоид не может быть прообразом никакой точки, поскольку в его одномерных гомологиях нет элементов порядка 2..

Замечание. Следующий пример показывает, что существование отображений Sn —> Sn, удовлетворяющих заключению первого утверждения пункта (б) для каждой х G Sn, выглядит весьма правдоподобным. Для проекции /: £р —> S1 р-адического соленоида, р > 2, на окружность и любой х € S1 образ индуцированного включением гомоморфизма Яо (/1(^)) — Яо (/10*0) Н0(?Р) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру J7: Hq (Hp) —>• Н0(Т, р). В самом деле, г* - эпиморфизм, поскольку по аксиоме вырезания Но (Лр, (х)) =. Hq (I х С, dl х С) = 0, где С обозначает канторово множество, между тем по формуле универсальных коэффициентов Hq (Y, p) = Z 0 Ext (Z (p), Z), где Z (p) — локализация целых чисел в р, изоморфная прямому пределу спектра из групп Н1 (S1) и гомоморфизмов, индуцированных р-листным накрытием. Но Ext (Z (p), Z) = Zp/Z согласно упражнению из [Мак], где Zp обозначает группу целых р-адических чисел, содержащую Z[|] С Z (p) в качестве подгруппы. Два чисто геометрических описания изоморфизма Н0(ЕР) = Zp/Z приведены в примере 6..

Известно, что /: Ер —> S1 является главным Zp-расслоением, в частности, проекцией на пространство орбит канонического свободного действия Zp на Ер. Этим мотивируется.

Проблема 1. Если f: Sn^SnC R2n реализуемо дискретно, но не изотонически, верно ли, что отображение /Еу/1 —> Sn, заданное по формуле {х, у} Н-+ f (x) = /(у), совпадает с проекцией на пространство орбит некоторого эффективного действия на Еу/1 канторовой группы, являющейся нетривиальным расширением посредством Ъ, и согласованного с левым действием Щ (Е//1) на себе?.

Замечание. Несложно показать, что любой элемент ядра канонического эпиморфизма Т имеет бесконечную высоту по любому основанию р, делящему порядок элемента, если тот конечен (достаточно рассмотреть последовательность Милнора, см. приложение, с коэффициентами в Z/ph+1, где h — высота). В частности, всякий элемент порядка 2 в этом ядре чётен и, стало быть, потеряется, если привести коэффициенты по модулю 2. Поскольку^{-произведение} нечётных классов может оказаться чётным, нам потребуется систематически различать элемент порядка 2, даже если он нечётен, в когомологиях с целыми (быть может, локальными) коэффициентами и соответствующий ему элемент в когомологиях по модулю 2- в частности, для одномерного векторного расслоения мы различаем первый класс Штифеля-Уитни u>i, принимающий значение в одномерных когомологиях по модулю 2, и класс Эйлера е, являющийся элементом порядка 2 (либо 1) в локальных целочисленных одномерных когомологиях..

Проблема 2. Существует ли отображение Sn S2n~k С М2п, реализуемое дискретно, но не изотонически, и такое что а) dimE/ = к? б) o (f) имеет бесконечный порядок? в) существует локальная изотопическая реализация / (то есть регулярная гомотопия F: Snx [0,1) 9-" S2n~k х [0,1), такая что FU (/ х 1): Sn х / —> g2n-k х j непрерывно), ограничение которой на Sn х [0,1-е] рапроектируется в изотопию Sn х [0,1 — s] *—> М2п х [0,1 — е] для всякого е > 0 ?.

Неравенство dim Еf < к следует из предложения 2(в), но неясно, может ли оно быть усилено до dimE/ < А- + 1, из чего вытекал бы отрицательный ответ к проблеме 1. Такое усиление имеет место, если ответ на вопрос (б) отрицателен (элемент конечного порядка может быть получен из гомологий на единицу большей размерности с помощью гомоморфизма Бокштейна, причём ввиду конечности порядка эти прообразы можно объединить в нить, см. доказательство предложения 2.1.6). Однако, вопрос (б) пока не удалось решить даже в случае к = 1, хотя в § 2.2 требуемый пример построен на уровне Еу (являющегося одномерным), неясно лишь, реализуется ли этот компакт некоторым отображением /. Этот вопрос интересен также тем, что наличие таких отображений позволило бы (уже при к = 1) получить геометрическую интерпретацию возможности «нерасщепимости на бесконечности» короткой точной последовательности обратных последовательностей конечно-порождённых абе-левых групп (см. § 2.2). Конечно, вопрос (б) наиболее важен с точки зрения отображений Sn Sn С К2п, как показывает сравнение двух пунктов теоремы 2..

Ответ на вопрос (в) отрицателен в случае к = 1. В самом деле, для каждого? > 0 задано эквивариантное отображение Ef П Sn х [0,1 — ?] —> S0, поэтому ввиду конечности множества эквивариантных гомотопических классов таких отображений существует эквивариантное отображение Lf доставляющее изотопическую реализацию F (по лемме 2.1.2 и [MlTheorem 1.12])..

VII. Общее отображение в метастабильном ранге.

Сформулируем теперь основные классификационные результаты..

Определение. Пусть т < к < 2п, причём ш > •И" *1). Назовём кусочно-линейное отображение f: X—>Q вложением вплоть до размерности к, если в некоторой триангуляции полиэдра X, в некотором измельчении которой оно симплициально, оно вкладывает каждый её симплекс, и для любых двух её симплексов о и г, сумма размерностей которых не превосходит к, выполняется /(сг)П/(г) = /(аПт). Скажем, что отображение /: X —> Q в метастабильном ранге дискретно реализуемо по остовам, если для каждого к = т,., 2п выполнено следующее: Ve > 0 3(5 > 0 так что любое ¿—близкое к / PL-отображение /': X —> Q, являющееся вложением вплоть до размерности к — 1, е-гомотопно в классе вложений вплоть до размерности к — 2 некоторому вложению вплоть до размерности к. Прямая индукция по остовам показывает, что из дискретной реализуемости по остовам следует дискретная реализуемость. В случае т = 2п, очевидно, верно и обратное, но в общем случае это не так (см. замечание к примеру 3 в § 3.2)..

Теорема 3. Пусть т > 3(n2+1), п > 1. а) Пусть Nn и Мт — ориентируемые PL-многообразия без края, N компактно. Дискретно реализуемое по остовам отображение f: Nn —* Мт реализуемо изотонически, если и только если тривиально препятствие о (/), лежащее в ядре канонического эпиморфизма между локально-конечными эк-вивариантными гомологиями Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха.

HZ2il (Zf-^m-n) — ^"(E/jZ®™-«), где Х[Х/2]-модуль Ъ? = Z[Z/2]/(t+ 1). б) (ср. [Ah]) Дискретно реализуемое отображение /: Sn —> Rm реализуемо изотонически, если и только если тривиально препятствие 0(f), лежащее в ядре канонического эпиморфизма между стинродовскими и чеховскими локально-конечными эквивариантными оснащёнными бордизмами Кошорке-Ахметьева rQ. ^(Z^xSoojlf/y, .г, Ч Afn (Z/2)xB»,-lfiv. Т-, Ч.

J-f. «2п-т 2->f, Fm-n) «2п-т где прямой предел Д*, групп Вк симметрий k-мерного куба действует на оснащениях, и Z[(Z/2) х В^-модуль Fk = Z[(Z/2) х ^/((t, — (-l)fc), где Rk — элемент (t,., t) подгруппы Z/2 x • • • x Z/2 группы Bk С Дх>..

Группы гомологий Стинрода-Ситникова (Бореля-Мура) и Александрова-Чеха, группы бордизмов Кошорке-Ахметьева и препятствия о (/) и O (f) определены в приложениив § 1.1 определяется также когомологический аналог о (/). Бордизмы Кошорке-Ахметьева были определены в работе [Ah], правда, в менее алгебраических терминах, исключающих замену коэффициентов Fk другими модулями, и только для компактов (в то время как ?/ - лишь ¿-r-компакт) — тем не менее, эквивалентность формулировок в [Ah] и выше непосредственно очевидна. Результат [Ah] был сформулирован в предположении га ф Ц71*1) — однако, с учётом теоремы 1.1.1 ниже, доказательство проходит и в случае т = ^ 2 •.

Замечание. Если принять формулировку пункта (б) как данное, его доказательство в [Ah] является, по модулю редукции [MlCriterion 1.7] к теоретико-гомотопической задаче, упражнением по теории препятствий, аналогичным доказательству Предложения 2(6). Не совсем так обстоит дело с пунктом (а), доказательство которого использует теорему Серра о конечности гомотопических групп сфер..

Замечание. Группы гомологий и бордизмов в формулировке теоремы 3 можно, очевидно, уменьшить до их приведённых аналогов, т. е. ядер гомоморфизмов, индуцированных Z/2-эквивариантным отображением ?/ —> S°°, классифицирующим инволюцию на Е/..

Замечание. Препятствие Ахметьева O (f) имеет смысл и без предположения о дискретной реализуемости, причём его образ 0(f) := J^(0(f)) является, в условиях Теоремы 3(6), полным препятствием к дискретной реализуемости / [Ah]. При т = 2п препятствие 0(f) сводится к гомологическому препятствию 6(f) := ^F/(o (f)), см. предложение 2(a) и теорему 1.1.3(a)..

Теорема 4. (а) Пусть Nn и Мт — ориентируемые PL-многообразия без крал, N компактно, и т > 3(n2+1), п > 1. Дискретно реализуемое отображение /: Nn —у Мгп реализуемо непрерывно, если и только если эпиморфизм Tj из теоремы 3(a) инъективен. б) Для каждого п> 9 существует отображение f: Sn—+ R2n-5, реализуемое дискретно, но не изотонически, при том что o (f) = 0..

Используя лемму из приложения, точную последовательность Милнора (см. приложение), выражающую ker J-j как производный предел некоторых (2п— га+1)-мерных групп гомологий, и теорему Харлапа [Ха], о том что последний всегда либо несчётен, либо тривиален, мы получаем из теоремы 4(a) такое.

Следствие. Если отображение /: Nn —> M2n~k, k < между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями реализуемо дискретно, но не изотонически, то dimS/ > k + 1, и группа Нк (Е/-%) несчётна..

Теоремы 3(a) и 4 выводятся в приложении из своих когомологических версий, доказанных в § 3. В случае, когда / дискретно реализуемо, но остовам, утверждение теоремы 4(a) было, по существу, доказано уже в [AM], однако приводимое ниже доказательство общего случая основано на другой идее, использующей действие когомотопических групп на эквивариантных когомото-пических множествах и высшие когомологические операции..

Отображение из теоремы 4(6) построено в примере 5 из § 3.2- проверка его изотопической нереализуемости основана на известных свойствах операции Sq2. Вскоре после доклада автора об этом результате П. М. Ахметьев смог его улучшить, дав эскиз построения отображения Л: Sn —> R2n-4, для достаточно большого п, реализуемого дискретно, но не изотопически, несмотря на тривиальность o (f). Рассуждения, использованные им в этом эскизе, были основаны не на когомологических операциях, а на группах бордизмов, которые позднее оформились в группы из теоремы 3(6) — вычисления этих групп, соответствующие отображению Л, приведены в [AhExample 2.10]. Так же, как и отображение из теоремы 4(6), пример Ахметьева не использует специфики эквивариантного случая и может быть перенесён в категорию сингулярных зацеплений (link maps) аналогично [MlExample 1.17]. П. М. Ахметьев высказал также гипотезу [AhConjecture 1.11], согласно которой использование эквивариантной специфики доставит аналогичные примеры Sn —" R2n1..

Дополнительные рассуждения, использованные в доказательстве пункта (а) теоремы 4 в случае М / IRm, мотивируют следующий вопрос..

Проблема 3. Существует ли отображение /: Nn —> Мп+к, к > О, между многообразиями, такое что (f^)*[M] ф 0, где f^: Е//1 —* М определено по формуле {х, у} f (x) = f (y)?.

В заключение отметим, что кроме преодоления трудностей, связанных с действиями целых р-адических чисел, для решения вопросов о существовании отображений, удовлетворяющих заключениям пунктов Теоремы 2, по-видимому, не достаёт также некоторой развитой геометрической теории, как видно из следующей проблемы М. Бествины: существует ли п = n (q), такое что любое отображение / из n-мерного тора Т в R' имеет прообраз точки х, такой что г*: #i (/1(x)) —> Н (Т) нетривиален?.

1. ОТОБРАЖЕНИЯ Sn M2n~fc С R2n.

В § 1.1 рассмотрен случай к = 0- вводятся определения и обозначения, используемые в дальнейшем. § 1.2 посвящён случаю к = 1- построено отображение из теоремы 1(в), и сделаны первые алгебраические наблюдения. Методы теории погружений использованы в § 1.3, где исследован случай к > 1 и доказана теорема 1(6)..