Некоторые вопросы теории слабо бесконечномерных пространств

В 1948 г. в Предисловии к русскоязычному переводу монографии Гуревича и Волмэна [1] П. С. Александров рассмотрел понятие слабой бесконечномерности (или кратко у! с1-пространства).

Определение 1 Нормальное пространство называется слабо бесконечномерным, если для любой последовательности {Р/, дизъюнктных пар замкнутых в X мноэюеств существуют перегородки Р^ между Р/ и с пустым пересечением. Пространство, не являющееся слабо бесконечномерным пространством, называется сильно бесконечномерным.

Несколько лет спустя Ю. М. Смирнов предложил другое определение слабой бесконечномерности. В нем требуется, чтобы пересечение конечного числа перегородок было пусто. Такие пространства будем называть? У-слабо бесконечномерными. В классе компактов понятия слабой и ¿-'-слабой бесконечномерности совпадают.

Спустя 10 лет из работ Б. Т. Левшенко [4] и Е. Г. Скляренко [9] стало понятно, что слабо бесконечномерные пространства занимают важное место в классе бесконечномерных пространств. Была создана стройная внутренняя теорияшс1-пространств, построены примеры демонстрирующие связь этого класса с другими классами пространств. Отметим теорему Хэндерсона [20] о том, что всякий сильно бесконечномерный компакт содержит континуум, любой подконтинуум которого бесконечномерен, а также пример Поля [29] несчетномерного «шс1-компакта.

Важным подклассом класса слабо бесконечномерных пространств является класс С-пространств. Свойство С для метрических пространств в 1973 г. ввел Хэйвер [19], доказавший, что локально стягиваемое пространство, пред-ставимое в виде объединения счетного числа С-пространств является ANR-пространстврм. В 1978 г. Аддис и Грэшем [15] предложили топологическую версию свойства С.

Определение 2 Нормальное пространство X называется С-пространством, (соотв. S-C-пространством), если для любой последовательности {^г}^ 620 открытых покрытий существует последовательность дизъюнктных открытых семейств пространства X, С-вписанная в последовательность {щ}^ (соотв. S-C-вписана).

С-вписанность (соотв. S-C-вписаность) означает, что Vi вписано в щ, и X = UiU^i: г? N} (соотв. существует А7″, такое, что X — UiU^i: г ^ N}).

В последующие годы выяснилось, что С-пространства играют большую роль в различных разделах топологии. Так, Ансел [11] доказал, что кле-точноподобное отображение компакта на С-компакт является наследственной шэйповой эквивалентностью. Отсюда вытекает, что бесконечномерный С-компакт имеет имеет бесконечную когомологическую размерность c-dim^ А. Н. Дранишников [16] определил стабильную когомотопическую размерность c-dims и доказал, что c-dimz ^ c-dims X ^ dim X для произвольного компакта X. Потом он показал [17], что c-dimsX = сю. Отсюда и из упомянутой выше теоремы Ансела А. Н. Дранишников вывел равенство c-dims X = dim X для произвольного компакта X в предположении положительного решения следующей проблемы.

Проблема 1. Всякий ли слабо бесконечномерный компакт является С-пространством?

В работах В. В. Успенского [30J, Валова и Гутева [18] показано, что С-пространства играют большую роль в теории селекций многозначных отображений.

Отметим также следующую, до сих пор открытую проблему.

Проблема 2. Будет ли слабо бесконечномерно произведение двух слабо бесконечномерных компактов.

В [21], [22], [23] для каждого т = 2, 3, ., оо, а также для класса симп-лициальных комплексов 9ft определены w-m-C, m-C-пространства и Sft-wid-пространства (соотв. S-w-m-C, S-m-C-пространства и S-3ft-wid-пространства). Данные классы расположены между классами С и wid-пространств.

Для w-m-C и S-w-m-C-пространств верен следующий результат.

Теорема 1 Для каждого т имеем:

1) w-m-C = wid;

2) S-w-m-C = swid.

В своей работе Борет [12] определил трансфинитную размерность dim2 для всех 5-слабо бесконечномерных пространств. Данный метод оказался универсальным, и можно размерность определять для S-m-C и S-w-m-C-пространств, а также для S-K-wid-пространств (см. [23]).

Для S-w-m-C-пространств верен следующий результат.

Теорема 2 Пусть X — ¿-'-слабо бесконечномерное пространство. Тогда все размерности dimwmX, т, — 2, .оо определены и dimw2 X = dirnwm X.

Для лебеговой размерности dim хорошо известна теорема суммы, доказанная еще в 1921;1922г. Менгером и Урысоном независимо (см., например, [2]). Она утверждает, что если пространство X представляется в виде объединения счетного числа замкнутых множеств, размерность которых ^ п, то и dimX < п. Пример, построенный Левшенко [3], показывает, что такая теорема суммы не выполняется для трансфинитного случая. Именно, пространство Смирнова можно разложить в сумму двух замкнутых подпространств, таких, что их размерность Борста равна в то время как dim2 = uj0 + 1.

Борет для транстфинитной размерности dim2 доказал теорему конечной суммы. Данная теорема утверждает, что если пространство X = XiUX2, где Х и Х2 замкнуты в X, тогда dim2 X ^ max{dim2 Х, dim2X2} Ф (dim2(Xi П Х2) + 1).

Естественно, встает вопрос о теореме суммы для размерностей dimm и tr-K-dim, где К симплициальный комплекс.

Верна следующая теорема.

Теорема 4 Пусть X = Х U Х2, где Х и Х2 замкнуты в X и К симплициальный комплекс. Тогда:

1) dimmX ^ max{dimmXi, dimmX2} ф (dimm (Xi П Х2) + 1);

2) tr-K-dim X ^ max{tr-K-dim Х, tr-K-dim Х2} Ф (tr-K-dim (Xi П Х2) +.

Хорошо известен классический результат о Лебеговой размерности произведения компактных конечномерных пространств. Размерность произведения не превосходит суммы размерностей множителей (см. 2]). Для трансфи-нитой размерности dim2 Борет доказал, что dim2(X х С) = dim2X, где X компактное пространство, а С канторово совершенное множество. Для размерности tr-K-dim верен аналогичный результат.

Теорема 6 Если X компакт, то tr-K-dimX = tr-K-dim (X х С).

Отметим, что ответ на вопрос о размерности dim2(X х /), где I — [0,1], X компакт, пока не получен.

В теории размерности важен вопрос о существовании универсальных пространств для данной размерности и веса (и в данном классе пространств). Пусть дана размерностная функция (1 и заданы кардинальное число т ^ и>о, а также целое неотрицательное число п. Существует ли пространство П" веса т и размерности п, такое что любое пространство X размерности йХ ^ п и веса т вкладывается в Щ? Данный вопрос тесно связан с факторизационны-ми теоремами. Факторизационные теоремы утверждают, что в определенных условиях для отображения /: X —> У существуют: такое пространство У и такие отображения д: X —> У, К: У —" что / = дк, (1У ^ йХ, ш{У) ^ и если Z принадлежит некоторому классу пространств то и.

У € 3?.

Большая индуктивная трансфинитная размерность 1пс1 впервые была определена Смирновым в [10]. Факторизационную теорему для нее доказал Пасынков [8]. Далее в 2007 году Федорчук рассмотрел индуктивную размерность 1пс1т, являющуюся обобщением размерности 1пс1 = 1пс12, и для нее также доказал факторизационную теорему. Затем для любого класса, состоящего из симплициальных комплексов в частности для симплициального комплекса К, Федорчук определил транстфинитную размерность 1-г-К-1пс1. Данная размерность обобщает большую трансфинитную размерность и при К = 5°^-К-1пс1 = 1пс1 и для 1т-К-1пс1 верна фаторизационная теорема.

Теорема 7 Пусть даны непрерывное отображение /: X —> Z компакта X в компакт Z. а также замкнутое подмножество ^ С I размерности {т-К-Ьк!^ = а. Тогда существует такой компакт У и такие непрерывные отображения g: X—^YvLh:Y—>Z, что:

1) / = Ьд.

2) иУ <

3) Ъг-К-Ш д (Р) <а = Ъг-К-М.

Теорема 8 Для любого нормального пространства X размерности 1т-К-1пс1 X ^ п, существует компактификация ЬХ, такая, что ъиЪХ = изХ, 1-г-К-1пс1 ЬХ ^ п.

Теорема 9 Пусть т кардинал ^ и>0, К симплициальный комплекс, пбы. Существует компакт П&trade-, такой, что и>П™ = т, и П^ топологически содержит любое нормальное пространство X, такое, что 1иХ ^ г,^-К-сНтХ ^ п.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Виталию Витальевичу Федорчуку за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе. Автор выражает благодарность всему коллективу кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ им. М. В Ломоносова.

1. П. С. Александров. Предисловие к русскому переводу. В кн. В. Гуревич, В. Волмен, Теория размерности. Москва. 1948.

2. П. С. Александров. Б. А. Пасынков. Теория размерности. Москва. «Наука». 1973.

3. Б. Т. Левшенко. О бесконечномерных пространствах. // ДАН СССР — 1961. т. 139, No 5. — pp. 286−289.

4. Б. Т. Левшенко. О сильно бесконечномерных пространствах. // Вестник МГУ, сер. матем. — 1959. — No 5. — pp. 219−228.

5. Б. А. Пасынков. О размерности нормальных пространств. // ДАН СССР 1971. — т. 201, No 5. — pp. 1049−1052.

6. Е. Г. Скляренко. О размерностных свойствах бесконечномерных пространств. // Изв. Ан СССР, сер. матем. — 1959. — v. 23. — pp. 197−212.

7. Ю. М. Смирнов. Об универсальных пространствах для некоторых классов пространств. // ИАН СССР 1959. — т. 23, No 5. — pp. 185−196.

8. F.D. Ancel. The role of countable dimensionality in the theory of cell-like relations. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1985. — v. 287, No 1. 1−40.

9. P.Borst. Classification of weakly infinite-dimensional spaces. I. A transfinite extension of covering dimension. // Fund. Math. — 1988. — v. 130, No 5. — «pp. 1−25.

10. R.Engelking. General Topology. Berlin. 1989.

11. R.Engelking. Theory of Dimension. Finite and Infinite. Lemgo: Helderman. 1995.

12. D.F.Addis and J.H.Gresham. A class of infinite-dimensional spaces. I. Dimension theory and Alexandroff’es problem. // Fund. Math. — 1978. — v. 101, No 3. pp. 195−205.

13. A.N. Dranishnikov. Generalized cohomological dimension of compact metric spaces. // Tsukuba J. Math. 1990. — v. 14 — 247−262.

14. A.N. Dranishnikov. Stable cohomotopy dimension and weakly infinite dimension spaces. // Topol. and Appl. — 1992 — v.47 — 79−81.

15. V. Gutev, V. Valov. Continuos selections and C-spaces. // Proc. Amer. Math. Soc. 2002 — v.130 — 233−242.

16. W.E.Haver. A covering properties for metric spaces.// Topology Conference at Virginia Polytechnic Institute, 1973, Lecture Notes in Nath, V. 375, pp. 108−113, 1974.

17. D.W.Henderson. Each strongly infinite-dimensional compactum contains a hereditarily infinite-dimensional compact subset. // Amer. Journ. of Math. 1965. — v. 89. — pp. 122−123.

18. V.V.Fedorchuk. Questions on weakly infinite-dimensional spaces. Open Problems in Topology II (E.M.Pearl, ed).// Elsevier, Amsterdam. — 2007. — pp. 637IJ645.

19. V.V.Fedorchuk. Weakly infinite-dimensional spaces.// Russian Math. Surveys. — 2007. — v. 42, No 2. — pp. 1−52.

20. V.V.Fedorchuk. Finite dimension modulo simplicial complexes and ANR-compacta.// Математический вестник. — 2009. — No 61. — pp. 25−52.

21. V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. III. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — No 2. —submitted.

22. V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. II. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — No 1. —submitted.

23. V.V.Fedorchuk, Questions on dimensions modulo simplicial complexes. I. Infinite-dimensional spaces // Questions Answers Gen. Topology — 2010. — No 1. —submitted.

24. W.Olszewski. Universal spaces in the theory of transfinite dimension, I.// Fund. Math. 1994. — v. 144. — pp. 243−258.

25. R.Pol. A weakly infinite-dimensional spaces which is not countable-dimensional. // Proc. Amer. Math. Soc. — 1981. — v. 82. — pp. 634−636.

26. V. V. Uspenskii. A selection theorem for C-spaces.// Topol. and Appl. — 1998 v.85 — 351−374.Работы автора по теме диссертации.

27. Осипов Е. В. Равенство размерности по модулю симплициальных комплексов компактного пространства X и X х С.// Известия Тульского государственного университета Естественные науки. — 2010. — Вып. 2.с. 24−31.