Случайные блуждания и ветвящиеся процессы в случайной среде

В классической теории ветвящихся процессов, изложенной в известных монографиях Харриса Т. Е. [22], Севастьянова Б. А. [18], Атрея К. и Нея П. [29], рассматривается, как правило, ситуация, когда законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Попытки изучить более сложную ситуацию, когда эти законы подвержены изменению с течением времени, привели к формированию на рубеже шестидесятых и семидесятых годов двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.

С одной стороны, возникла теория ветвящихся процессов в изменяющейся среде (по другой терминологии, неоднородных ветвящихся процессов). Под средой при этом понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В работах этого направления (см., например, [25, 26, 44, 45, 55, 60]) обычно находятся условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным свойством. Например, вырождается с вероятностью 1, или является суперкритическим, или имеет одну скорость роста и т. п. Следует отметить, что полная классификация этих процессов пока не получена.

С другой стороны, возникла теория ветвящихся процессов в случайной среде. Рассмотрение этих процессов обусловлено желанием выявить интегральные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. С этой целью предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоего случайного механизма, отсюда и название — случайные среды. Чтобы исследовать ветвящийся процесс в случайной среде, необходимо знать вероятностную природу указанного случайного механизма. В настоящее время наиболее активно изучается модель Смита-Вилкинсона [64], в которой предполагается, что законы размножения различных поколений формируются независимо друг от друга. В другой популярной модели Атрея-Карлина [27] механизм формирования случайных сред носит стационарный и эргодический характер. В дальнейшем, если не оговорено противное, будет рассматриваться модель Смита-Вилкинсона.

Перейдем к точным определениям. Пусть последовательности случайных величин оо.

5>?> = 1, i, neN0 = {0,1,2,.}, г=0 одинаково распределены и независимы при разных п. Введем производящие функции ш = 4°) + ТГ^ + тг² +. , п € N0.

Последовательность {£п, п е N0} неотрицательных целочисленных случайных величин называется ветвящимся процессом в случайной среде {-7ГП, п 6 N0}, если.

I ?0,6,-••, 7ГП) = (/&bdquo-(в))*", п € N0 для простоты изложения будем считать, что £о — 1) — Из этого определения видно, что если случайная среда фиксирована, то ветвящийся процесс в случайной среде представляет собою ветвящийся процесс в изменяющейся среде, а это, в свою очередь, означает, что если известна численность всех поколений вплоть до п-го, то частицы п-го поколения размножаются независимо друг от друга и от предыстории процесса в соответствии с законом размножения, задаваемым производящей функцией /п (5).

В работах Смита В. и Вилкинсона В. [64], Атрея К. и Карлина С. [27], Тэнни Д. [67] (в последних двух работах рассматривается модель Атрея-Карлина, в которой последовательность 7Го, 7Гх, 7Г2,. предполагается стационарной и эргодической) была дана классификация ветвящихся процессов в случайной среде. Выяснилось (если отбросить детали), что процесс {£п} вырождается п.н. при М1п/д (1) < 0, и вероятность невырождения процесса Р (?п > 0) при п оо имеет положительный предел при М1п/^(1) > 0. В соответствии с этим ветвящийся процесс в случайной среде {£п} называется надкритическим, если.

М1п/?(1)>0- критическим, если.

М1п/?(1) = 0- докритическим, если.

М1пДО) <0.

Позже в работе Афанасьева В. И. [72] выяснилось, что эта классификация нуждается в большей детализации в докритическом случае. Оказывается, вид асимтотики вероятности невырождения докритического ветвящегося процесса в случайной среде существенно зависит от знака М (/^(1) 1п (1)). В соответствии с этим докритический ветвящийся процесс в случайной среде, удовлетворяющий условию М (/о (1) 1п+ /?(1)) < +оо, называется умеренно докритическим, если.

МДО)1п/^(1)>0- промежуточно докритическим, если.

МДО)1п/^(1) = 0- строго докритическим, если.

М/о (1) 1п/о (1) < 0.

В работе Козлова М. В. [11] впервые обнаружена глубокая связь между ветвящимися процессами в случайной среде и случайными блужданиями. Положим.

В силу требований, предъявляемых к случайной среде {я-п}, пары случайных величин 771), (Х2, щ), ¦ ¦ ¦ независимы и одинаково распределены. Введем так называемое сопровождающее случайное блуждание п г=1.

Поскольку.

MJfi = Min/?(1), то блуждание {5П} имеет положительный, нулевой и отрицательный снос, если ветвящийся процесс в случайной среде является надкритическим, критическим и докритическим соответственно. Оказалось, что многие задачи, касающиеся ветвящихся процессов в случайной среде, сводятся к так называемым условным предельным теоремам для случайных блужданий. Это — активно развивающийся с начала семидесятых годов двадцатого столетия раздел теории вероятностей (см., например, [6, 7, 17, 31, 41, 52−54, 57, 62, 71, 76]), тесно примыкающий к теории слабой сходимости вероятностных мер, созданной Прохоровым Ю. В., Скороходом A.B. и другими математиками. Развитие теории условных предельных теорем для случайных блужданий в настоящее время во многом стимулировано потребностями теории ветвящихся процессов в случайных средах.

Исследования по асимптотике вероятности невырождения для ветвящихся процессов в случайной среде были осуществлены Козловым М. В. [11] и Афанасьевым В. И. [72]. Для критического ветвящегося процесса в случайной среде Козлов М. В. установил, что при п оо.

Р (?п > 0) X 1/лАГ запись ап х Ъп означает, что 0 < lim (an/bn) < lim (an/bn) < +oo). Афаn-wo n—"oo насьев В.И. исследовал докритический случай и показал, что если {£п} — умеренно докритический процесс, то при п —У оо.

Р (?п>0)х7″ /П3/2, где 7 = min (/?(l))iесли {£п} — промежуточно докритический процесс, то ??[0,1].

Р (?п > 0) х (Mfo (l))n/ если {?"} — строго докритический процесс, то.

Р (,?п > 0) х (М/Й (1))п.

Лишь в 1999 г. Гейгеру Й. и Керстингу Г. [49] удалось усилить результат Козлова М. В. Они показали, что в критическом случае при п —> оо.

Р (?п > 0) — с/уЧ где с — положительная постоянная. Деккинг Д. М. [36, 37] и Лиу К. [61] для модели Смита-Вилкинсона, а также Д’Суза Ж. С. и Хэмбли В. М. [46] для модели Атрея-Карлина исследовали предел lim л/Р (?п > 0) для докритичесп-лоо кого случая (полученные результаты для модели Смита-Вилкинсона следуют из более ранней работы Афанасьева В. И. [72]). К работам по асимптотике вероятности невырождения тесно примыкает работа Ватутина В. А. и Дьяконовой Е. Е. [4], в которой исследуется асимптотика вероятности вырождения в фиксированный момент для критического случая.

Перейдем к предельным теоремам для ветвящихся процессов в случайной среде. Пусть Рл и означают вероятность и математическое ожидание соответственно, вычисленные при условии, что случайная среда {7ГП} фиксирована. Положим тп = Мп? п.

В работах Атрея К. и Карлина С. [28] и Тэнни Д. [68] установлено, что для надкритического ветвящегося процесса в случайной среде с вероятностью 1 существует lim? п/тп = W, п—"оо причем W > 0 с положительной вероятностью, если M ((?i ln+ ?i)/mi) < +оо. Первая предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде была получена в работе Афанасьева В. И. [79]. Затем этот результат был обобщен в работе Козлова М. В. [13]. Разнообразные предельные теоремы для критического и докритического ветвящихся процессов в случайной среде были получены в работах Афанасьева В. И. [80−86]. Эти теоремы составляют основное содержание диссертации, и поэтому о них будет рассказано позднее. Говоря о предельных теоремах для ветвящихся процессов в случайной среде, следует упомянуть близкие к рассматриваемой тематике работы Боровкова К. А. и Ватутина В. А. [32], Ватутина В. А. и Фляйшманна К. [48], посвященные редуцированным ветвящимся процессам в случайной среде.

Теория ветвящихся процессов в случайной среде тесно связана с бурно развивающейся теорией случайных блужданий в случайной среде. Обозначим (п число переходов блуждающей частицы из точки п в точку п + 1 до момента первого достижения полуоси (—оо, 0]. Оказывается, что если случайное блуждание в случайной среде возвратно или п.н. уходит в —оо, то {Сп} является ветвящимся процессом в случайной среде, причем производящие функции {/n (.s)} в этом случае дробно-линейны. Благодаря указанной взаимосвязи были решены некоторые задачи, касающиеся случайных блужданий в случайной среде. Например, задача о предельных законах для блуждания, уходящего в +оо, в работе Кестена X., Козлова М. В., Спицера Ф. [59], задача об асимптотике распределения максимума блуждания, уходящего в —со, и задача об асимптотике распределения момента первого достижения полуоси (—оо, 0] для возвратного блуждания в работах Афанасьева В. И. [75, 83]. Упомянутый частный случай ветвящихся процессов в случайной среде, когда производящие функции {/n (s)} дробно-линейны (это означает, что.

Ш = 1 — + в е [-1,1], П € No,.

1 — Oin 1 — ans где (ao,?o), (схi,ß-i),. — независимые одинаково распределенные пары случайных величин, удовлетворяющие условиям 0 < ап < 1, ?n > 0, ап + ?n < 1) играет важную роль, поскольку, как показала практика, уже при его рассмотрении приходится разрешать значительное число аналитических трудностей, свойственных общему случаю.

Перейдем к изложению содержания диссертации. В первой главе устанавливаются условные предельные теоремы для случайного блуждания, играющие важную роль в дальнейшем. Пусть Х, Х2,. — независимые одинаково распределенные случайные величины. Рассмотрим случайное блуждание.

So = 0, Sn =Хг +. + Хп, пе N.

Пусть го = 0,71,72,. — моменты достижения блужданием {5″ п} рекордно малых значений, т. е.

7i = inf{п: Sn < 0}, 72 = inf{n > Ti: Sn < STl},.

Эти моменты получили название строгих нижних лестничных моментов, и они, как хорошо известно, имеют большое значение при исследовании случайных блужданий. Если блуждание возвратно или уходит в —оо, то все вероятностное пространство целесообразно разбить на случайные события {г, — < п < Tj+1}, j G N0, тем самым предполагая, что в момент времени п блуждающая частица находится не ниже уже достигнутого ji-ro рекордно малого значения. Тогда некоторые задачи о случайных блужданиях можно свести к условным задачам при условии {rj < п < т] + ] для каждого j G NoПервоначально исследователи сосредоточились на изучении {Sn} при условии {ri > п}, что объясняется аналогией с процессом ожидания в первый рабочий период в СМО с одним прибором. В первой главе блуждание {5П} изучается при условии {rj < п < Tj+1} для каждого j? NoВ качестве предельных процессов фигурируют броуновская извилина {W+(i)} и броуновская экскурсия {Wo" (i)}. Напомним их определение. Пусть {W (t), t? [0, +00)} — стандартное броуновское движение, выходящее из нуля, и т<1} = sup{i € [0,1]: W (t) = 0}, т<2> = inf{i > 1: W (t) = 0},.

A^l-rW, Д2 = г (2)-Г (1>.

Тогда.

W+(t) = W (T^ + tA2)/y/A^, t e [0,1]- w+(t) = W (t (D + ?A1)|/4/aT, t e [0,1], а при t > 1 (W+(i)} представляет собою стандартное броуновское движение, выходящее из W+(l).

В § 1.1 изучается блуждание с нулевым сносом. Следующий результат является аналогом принципа инвариантности Донскера-Прохорова.

Теорема 1.1.1. Если МХг = 0, MX% = <т2, 0 < а2 < +оо, то при любом j? N0 и п —> оо.

S[nt]/{(yy/n), t е [0, +00) I Tj < п < rj+1} A {W+(t), t е [0, +оо)}, где знак —ь означает сходимость по распределению в пространстве.

0, +оо) с топологией Скорохода.

Теорема 1.1.1 позволяет рассматривать сразу всю траекторию случайного блуждания, но для его начального отрезка оказывается малоинформативной. В следующей теореме как раз и рассматривается начальный отрезок случайного блуждания.

Теорема 1.1.2. В условиях теоремы 1.1.1 при любом ^? N0 и п —> оо {5″, ieNorj.

Теорема 1.1.1 при з = 0 установлена в работах [53, 31, 52], а теорема 1.1.2 при — = 0 В работе [11]. Теоремы 1.1.1 и 1.1.2 дополняет следующий результат.

Теорема 1.1.3. В условиях теоремы 1.1.1 при любом э € N0 и п —> оо случайная последовательность г € N0 | т^ < п < т^+х} и случайный процесс {^[п^А0″ /п),? 6 [0, +оо) | т, < п < г^+х} асимптотически независимы в смысле конечномерных распределений.

В § 1.2 изучается случайное блуждание с отрицательным сносом. Предполагается, что выполнены следующие условия:

A) МХ1 < 0;

B) функция (c)(?) = Мехр (ЬХх) определена при Ь е [0, а], где, а — положительная постоянная;

C) функция (c)(?), t Е [0, а], достигает своего минимума 7 < 1 в точке г е (0,а);

Б) случайная величина Х имеет атом в нуле, если она решетчатая. Иногда вместо (Б) используется более сильное условие:

Б) либо функция распределения Х имеет отличную от нуля абсолютно непрерывную компоненту, либо Х является решетчатой случайной величиной с атомом в нуле.

Такого рода случайные блуждания изучались во многих работах (см., например, [2, 3, 30, 54, 70, 71]). Оказалось, что при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде вполне можно обойтись именно такими блужданиями с отрицательным сносом.

В отличие от блуждания с нулевым сносом для блуждания, удовлетворяющего условиям (А)-(О), рассматриваемого при условии {г^- 1 < п < т^}, имеет место сходимость по распределению при п —> оо не только для начального, но и для конечного отрезков последовательности 51,., Бп. Положим.

51 = 5'2 =. = 0.

Теорема 1.2.1. Если выполнены условия (А)-(Б) — то при любом j? N и п —>• оо й, 5пг, г € N0 I <П< г,-} А {5г0), 5гЫ, г е К0},.

Г /^-, .4 где {б1-, г € N0},, % € N0} — некоторые случайные последовательности.

Сходимость по распределению {5″ п | > п} при п —> оо в условиях теоремы 1.2.1 установлена в работе [54]. Следующая теорема является условным принципом инвариантности для случайного блуждания с отрицательным сносом.

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия (А), (В), ©, (Б), тогда при любом ] € N и п —> оо.

5И]/(Ау/п), i € [0,1] I < п < г,-} А {Ж0+(г), * € [0,1]}, где, А = /0″ (т)/7, знак —ь означает сходимость по распределению в пространстве 1)[0,1] с топологией Скорохода.

Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 дополняет следующий результат.

Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия (А), (В), ©, (Б). Тогда при любом j е N и п оо случайный процесс {5[п4]/(Ау/п),? € [0,1] | < п < т^-} и случайная последовательность {Si, Sn-i, % € N0 | <п< т^-} асимптотически независимы в смысле конечномерных распределений.

В § 1.3 помимо случайного блуждания {5^} с нулевым сносом рассматривается остановленное случайное блуждание Г 5П, п < ГП «I 0, п > Т, где Т = ш?{гг > 0: ¿-)п < 0} — момент первого достижения отрицательной полуоси блужданием {5П}. Остановленное случайное блуждание — весьма популярный объект исследования (см., например, [52, 62, 73, 74, 77, 78]), что вызвано в первую очередь потребностями теории массового обслуживания и теории управления запасами.

Наряду с рассмотренным ранее процессом {3[пц/((т у/п)} весьма полезным оказывается изучение еще одного процесса {?'^/(с-у/п)}. Справедлив следующий обобщенный условный принцип инвариантности для случайного блуждания с нулевым сносом.

Теорема 1.3.1. Если МХх = 0, ШХ^ = а2, 0 < а2 < +оо, то при п —> оо t е [0,+оо) ТУ+(*т), [0,+оо)}, сту/п сгу/п) и где т = > 0: У/+(Ь) = 0}, знак -—У означает сходимость по распределению в пространстве £>[0,+оо) х 1)[0,+оо) с топологией Скорохода.

Заметим, что теорема о сходимости процесса {Б[Гт]/(ау/п), Ь € [0,1] | Т > п} установлена в работе [52]. Результат, аналогичный теореме 1.3.1, имеет место для остановленного случайного блуждания.

Теорема 1.3.2. В условиях теоремы 1.3.1 при п —У оо где = ¥-+(Ь Л г), = Л г), * е [0, +оо).

Теоремы 1.3.1 и 1.3.2 позволяют изучать случайное блуждание {5П} и остановленное случайное блуждание {6″ п} при условии {Т > п} сразу в двух временных шкалах: абсолютной и относительной (относительно времени достижения отрицательной полуоси). Теорема 1.3.2 играет важную роль при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде. Это вызвано тем, что аналогичный условный принцип инвариантности справедлив для критических ветвящихся процессов в случайной среде. Поэтому для нахождения предельных распределений, касающихся критических ветвящихся процессов в случайной среде, удобно использовать остановленное простое случайное блуждание.

Во второй главе, играющей центральную роль, рассматриваются предельные теоремы для критических и докритических ветвящихся процессов в случайной среде.

В § 2.1 дается определение ветвящегося процесса в случайной среде {£п}> излагается классификация этих процессов и показывается, что сопровождающее случайное блуждание для умеренно докритического процесса удовлетворяет условиям (А), (В), ©, при которых в § 1.2 изучалось случайное блуждание с отрицательным сносом. В этом же параграфе устанавливается взаимосвязь между случайными блужданиями в случайной среде и ветвящимися процессами в случайной среде. В заключение параграфа излагаются асимптотические формулы для вероятности невырождения для критического и докритического ветвящихся процессов в случайной среде.

В § 2.2 вводятся две сопровождающие случайные последовательности: п-1 ап = ехр (-5п), = Ъ+г ехРп 6 N0. о.

Эти последовательности являются необходимым инструментом при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде. В частности, при изучении критических ветвящихся процессов в случайной среде важное значение имеет следующий результат. Будем предполагать, что выполнено условие а) конечны М², Мщ, Мр^х), причем МХ^ = а2 > 0.

Теорема 2.2.1. Пусть {?"} — критический ветвящийся процесс в случайной среде, выполнено условие (а) и Мехр (—.Хх) < +оо, тогда при любом 3 6 N0 и п -" оо пф * е (0,1] I Т} < п < гу+1> о,.

Ь["ф * 6 (0,1] I Тз < п < т^+х} =" Уу, где гл, — — случайный процесс с положительными постоянными реализациями на (0,1], знак =Фозначает сходимость процессов в смысле конечномерных п1] чт.

О у/п ' Сл/п? е [0,+оо) распределений. Более того, процессы {а[пф t € (0,1]}, {Ь[пф t? (0,1]} и {S[ntj/(cr у/п), t € [0,+оо)}, рассматриваемые при условии {tj < п < rJ+1}, асимптотически независимы при п —> оо в смысле конечномерных распределений.

Пусть Т — момент вырождения процесса {£п}> т. е.

Т = inf{n: in = 0}.

Для произвольного ветвящегося процесса в случайной среде с вероятностью 1 существует lim (?n/mn), но, в отличие от надкритического случая, в критип—>оо ческом и докритическом случаях этот предел равен 0 вследствие вырождения процесса. Поэтому естественным является рассмотрение предельного поведения последовательности {(n/mn | Т > п}.

В § 2.3 устанавливаются предельные теоремы для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Сначала доказывается условная функциональная предельная теорема, в которой исследуется сразу вся траектория процесса до момента п.

Теорема 2.3.1. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде, выполнено условие (а) и Мехр (—Х±) < +оо, тогда при п —> оо jiiuil t е (0,1] Т > nl? i,.

I Щш] J где — случайный процесс с неотрицательными постоянными траекториями на (0,1], причем P (//i > 0) > 0- сходимость надо понимать как сходимость по распределению в пространстве D[u, 1] с топологией Скорохода при любом фиксированном и G (0,1).

Теорема 2.3.1, нестрого говоря, утверждает, что поведение реализаций критического ветвящегося процесса в случайной среде в далекий момент времени определяется с точностью до случайной константы поведением соответствующих реализаций (случайного) математического ожидания числа частиц в данной среде.

Доказательство этой теоремы весьма сложно. Основная идея доказательства состоит в следующем. Условие {Т > п} в соответствии с ранее сказанным разбивается на условия {Т > п, Tj < п < Tj+1}, j G No (здесь ri, r2,. — лестничные моменты сопровождающего случайного блуждания). Затем показывается, что в условии {Г > n, Tj < п < 7j|i} ограничение Т > п может быть снято. Условие {rj < п < Tj+1} является ограничением только на случайную среду. На основании результатов первой главы находится предел при п —> оо случайной среды, рассматриваемой при условии {tj < п < rj+1}, а затем рассматривается ветвящийся процесс в этой «предельной» среде.

В случае, когда производящие функции {fn (s)} дробно-линейны, теорему 2.3.1 можно дополнить следующими утверждениями. Во-первых, ?i > 0 п.н. Во-вторых, справедлив следующий результат о начальном отрезке случайной последовательности {?i/mi, г G Nq Т > п}.

Теорема 2.3.3. В условиях теоремы 2.3.1 при п -" оо ieNoT > п} ^ {<рг, г е N0}, где {<рг, г? N0} — некоторая последовательность неотрицательных слу ^ чайных величин, причем (рг —> при г —> оо.

В третьих, вместо нормировочного множителя тп можно применить множитель ш+ =МТ (?П | > 0), используемый, как известно, в классической предельной теореме для критического ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона.

Теорема 2.3.4. В условиях теоремы 2.3.1 при п —> оо ти £е (0,1].

Т>п) АДх, где /?1 — случайный процесс с положительными постоянными реализациями на (0,1].

В § 2.4 изучается логарифм числа частиц критического ветвящегося процесса в случайной среде. Поскольку тп = ехр5П, то из теоремы 2.3.1 следует, что случайный процесс {1п (£[&bdquo-^ 4−1)/ л/п,? 6 [0,1] | Т > п} хорошо аппроксимируется процессом л/п,? € [0,1] | Т > п}, изучение которого можно осуществить на основе результатов первой главы. Будем предполагать, что выполнено условие: конечны Мг/1, М (Хх?71), М⁴, Мехр (-Хх), причем МХ^ = а2 > 0.

Следущее утверждение является обобщенным условным принципом инвариантности для критического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 2.4.3. Пусть — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при п —> оо <7 у п, а у/п.

Т>п}> А V.

Теорема 2.4.3 позволяет изучать критический ветвящийся процесс в случайной среде сразу в двух временных шкалах: абсолютной и относительной (относительно «времени жизни» процесса). В сочетании с обобщенным условным принципом инвариантности для остановленного случайного блуждания (см. теорему 1.3.2) он дает возможность решать многие задачи, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума.

Заметим, что сходимость в смысле конечномерных распределений для ln (?[ni] + 1)/(<т Vn),? ? [0,1] | T > n} в случае, когда производящие функции {fn{s)} дробно-линейны была установлена в работе Афанасьева В. И. [79]. Козлов М. В. [13] установил для этого процесса сходимость по распределению в пространстве D[0,1] с топологией Скорохода без предположения о дробно-линейности {fn{s)}- Теорема 2.4.3 установлена Афанасьевым В. И. в работе [83].

Если сравнивать теоремы 2.3.1 и 2.4.3, то видно, что они соотносятся между собой, как закон больших чисел и центральная предельная теорема для случайных блужданий с нулевым сносом.

В § 2.5 изучаются сопровождающие случайные последовательности {ап} и {Ьп} для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде и устанавливается следующий результат.

Теорема 2.5.1. Пусть {£п} — умеренно докритический ветвящийся процесс в случайной среде, конечны Мехр (—Xi), M (r/i exp Xi) и случайная величина Xi удовлетворяет условию (D). Тогда при любом j? N и п —> оо a [nt], b[nt], t? (0,1] | i <п< Tj} {pj{t), Vj (t), t E (0,1]}, где {vj (t)} — случайный процесс с неотрицательными на (0,1] и постоянными на (0,1) траекториями, {pj (t)} — случайный процесс, такой, что Pj (t) = 0 при t Е (0,1) и pj (1) > 0. Если условие (D) заменить на (D), то при п —" оо двумерный процесс {а[пф 6[пф t? [0,1] | i < п < Tj} асимптотически не зависит от процесса {S[nt]/(A /п), t? [0,1] | i <п< Tj} в смысле конечномерных распределений.

В § 2.6 устанавливаются предельные теоремы для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде. Сначала доказывается условная функциональная предельная теорема.

Теорема 2.6.1. Пусть {£п} — умеренно докритический ветвящийся процесс в случайной среде и производящие функции fn{s), п? No, дробно-линейны. Пусть конечны Мехр (—Х{), M (?7i expXi) и случайная величина Х удовлетворяет условию (D). Тогда при п -> оо iE (0,1)™[nt] где Ц2 — случайный процесс с положительными реализациями на (0,1), знак ь означает сходимость по распределению в пространстве D[u, 1 — и] с топологией Скорохода при любом фиксированном и? (0- ½).

Сравнивая этот результат с теоремой 2.3.1, видим много общего в поведении процесса {i[nt]lm{nt}i t? [0,1] | Т > п} в критическом и докритическом случаях. Отличие состоит в поведении этого процесса при t, близких к 1, что поясняет следующее утверждение (положим = ?-2 =. = 0).

Теорема 2.6.2. В условиях теоремы 2.6.1 при п —> оо — ,—,??N0 Т > n 1 {.

V. V тельных случайных величин, причем щ —> ?12, Щ —^ /?2 при г —> оо.

Как и в критическом случае вместо нормировочного множителя тп можно использовать множитель т+.

Теорема 2.6.3. В условиях теоремы 2.6.1 при п —> сю mU t е (0,1).

Т > п } ^ где ??2 — случайный процесс с положительными постоянными реализациями на (0,1).

В заключение параграфа устанавливается условный принцип инвариантности для умеренно докритического ветвящегося процесса в случайной среде.

Теорема 2.6.4. Пусть {£п} — умеренно докритический ветвящийся процесс в случайной среде и производящие функции /п (з), п? N0, дробно-линейны. Пусть конечны Мехр (—Хх), М^ехрХх) и случайная величина Х удовлетворяет условию (Б). Тогда при п —> оо ' 6 ^' Т > П) ^ * е 1]}" .

В § 2.7 устанавливаются предельные теоремы для промежуточно докритического ветвящегося процесса в случайной среде. Предельная теорема в промежуточно докритическом случае отличается от соответствующих теорем в критическом и умеренно докритическом случаях своеобразием предельного процесса, траектории которого уже не являются постоянными. Чтобы сформулировать соответствующий результат, сначала зададим положительный случайный процесс (^з (^),? ? (0) 1)}? который фигурирует в качестве предельного в промежуточно-докритическом случае. Для этого зададим преобразования Лапласа его конечномерных распределений. Зафиксируем натуральное число т и действительные числа? ъ?г> • • • >£т: 0 < ?1 < ?2 < • • • < £т < 1- Положим.

4>t, tm (Al, • • •, Ат) = М ехр |), г=1 где Aj > 0, г = 1,., т. Чтобы задать рц,., tm (Ai, •. •, Am), необходимо рассмотреть броуновскую извилину {W^+(?)}. Положим.

Фк = inf w+(t), к = 1,., 7Пi>k, i = min Vi te[l-tk, l-tk-i] к<�г<1 здесь ¿-о = 0). Тогда по определению.

Vib., im (Ai,., Am) = М (/гт (Ах,., Am))~2, где т то.

1 т (Ах,., Аго) = 1 + + ^ ' ¦ • • '.

Ъ — 1 к~2 Iк, т где 1к, т = {(?0,^1,., гк): 0 = г0 < ч < г2 <. < гк < то}. Отсюда, в частности, следует, что одномерные распределения процесса {//з (£),? 6 (0,1)} совпадают и являются гамма-распределениями с плотностью вероятностей.

Г жехр (—х), х > 0- р (х) = < У 0, ж < 0.

Теорема 2.7.1. Пусть {£п} — промежуточно докритический ветвящийся процесс в случайной среде {7гп} и производящие функции /п (з), п € N0, дробно-линейны. Пусть 0 < ехрХх) < +оо и существуют такие положительные постоянные М, М2 {М < М2), что М <^хехрХх < М2 п.н. Тогда при п —оо т.

И] г е (0,1) т>п}=>{"3(*), * е (0,1)}.

Рассмотрим то различных чисел. , <1т. Упорядочим их по возрастанию. Пусть г г — номер, полученный йг после проведения этой процедуры. Положим г ((?1,., йт) = (гх,., гт) (заметим, что в статистике этот вектор называется ранжировкой). Теорему 2.7.1 можно уточнить. Положим.

Ф* = Ы к = 1,., то.

Теорема 2.7.2. В условиях теоремы 2.7.1 при п —> оо и любых т Е ?1,. ¡-¿-т? И: 0 < < ?2 < • • • < ¿-т < 1, и любой перестановки г = (гх,., гт) чисел 1,., то г = 1,., т т[пи].

Т>п, г (Фь., Фт)=г1 23¦ г = 1,., то}, где г = 1,., т} — случайный вектор, преобразование Лапласа которого равно т ?=1.

Мехр = m то.

1 + + S AilAi2 ' • • • ' ^ihX{n0,i1>ril, ia>.>rih1,ik} i=1 k=2Ik.

Предельный вектор {/4^(ii), • • • >/4^(^)1 в теореме 2.7.2 устроен следующим образом. Пусть в последовательности гi,., rm рекордно малые значения есть г 1, Гд, rj2,., rjp. Тогда = H.H.,.

4г)(*л) = /4г)(*л+1) = • ¦ • = п-н-> зЪр) = Рз)(Ър + 0 = ¦ • • = /4Г)(*т) П.Н. и все эти группы случайных величин не зависят друг от друга. Итак, чтобы понять, как взаимосвязаны случайные величины | Г > п}, г = 1,., т, надо знать, как соотносятся между собой отрезки сопровождающего случайного блуждания {Зп} от 0 до [п?х], от [п?х] ДО [п^] и т. д. До тех пор пока какой-нибудь отрезок случайного блуждания не опустится ниже отрезка от 0 до [га?х], рассматриваемые случайные величины будут асимптотически равны друг другу. Как только некоторый отрезок случайного блуждания опустится ниже отрезка от 0 до [п?х], начинается новая серия асимптотически равных случайных величин, но асимптотически независимая от первоначальной серии, и она завершится как только какой-нибудь новый отрезок случайного блуждания опустится ниже всего предыдущего случайного блуждания и т. д..

В качестве следствия теоремы 2.7.1 получается функциональная предельная теорема для логарифма числа частиц промежуточно докритического ветвящегося процесса в случайной среде..

Теорема 2.7.3. В условиях теоремы 2.7.1 при п —> оо.

0,1] *е[0,1]}, где а* = (М (Х? ехрХ^/МехрХх)1^ вир -*) — г е [0,1]..

В лемме 2.7.9 показано, что при t? (0,1) случайная величина (?) положительна..

В § 2.8 устанавливается предельная теорема для строго докритического ветвящегося процесса в случайной среде..

Теорема 2.8.1. Пусть {£п} — строго докритический ветвящийся процесс в случайной среде и производящие функции /п (з), п Е дробно-линейны. Пусть М (?71 ехрХх) < +оо. Тогда при п —> оо.

Пф I е (0,1) | Т > п} * € (о, 1)}, где {/^(?)} — положительный случайный процесс, у которого все сечения независимы и одинаково распределены..

Утверждение теоремы 2.8.1 сохранится, если использовать нормировочный множитель тп^у.

Сравним предельные теоремы для критического, умеренно докритического, промежуточно докритического и строго докритического ветвящихся процессов в случайной среде. На первый взгляд, эти теоремы существенно различаются. Действительно, в них используются различные нормировочные множители для процесса {£[пф ^ ^ [0,1] | X1 > п}. Но, как показано, во всех четырех случаях может быть использована одна и та же нормировка тп^у Далее, в этих теоремах различаются предельные процессы. Однако это является проявлением некоторой общей закономерности. Чтобы ее объяснить, введем понятие уровня случайной среды на промежутке [0,: где {Зп} — сопровождающее случайное блуждание. Пусть то, т,. — строгие нижние лестничные моменты для блуждания {5″ п}..

При изучении критического и умеренно докритического ветвящихся процессов в случайной среде используется представление с".

Г > п} = и {Г > п, т, < п < т,+1},.

3=0 причем при любом ^ Е N0 отношение Р (Т > п, т^ <п < т^+1)/Р (Т > п) имеет конечный положительный предел при п —> оо..

В критическом случае событие {тj < п < 7^+1} при п —> оо эквивалентно событию {ту < еп, п < 1} при любом фиксированном? Е (0,1). Но это означает, что уровень среды Ьп (£) не меняется при всех? € [е, 1]. Именно поэтому предельный процесс для Т > п} имеет постоянные траектории на.

М1.

В умеренно докритическом случае событие {т^ < п < Т7+1} при п —>• оо фактически означает, что осуществляется либо событие {т^ < еп, п < т^-+1}, либо событие {т > (1 — е) п, п < т^+х}. Но это означает, что уровень среды не меняется при всех? Е [е, 1 — е]. Именно поэтому предельный процесс имеет постоянные траектории на [б, 1 — е]..

В промежуточно докритическом случае при условии {Т > п} с ненулевой вероятностью возможно падение уровня среды на любом временном отрезке, содержащемся в (0,1). Из ранее сказанного следует, что падение уровня среды приводит к «разрыву» предельного процесса, а сохранение уровня среды означает продление участка постоянства этого процесса..

Наконец, в сильно докритическом случае при условии {Т > п} падение уровня среды обязательно происходит на любом временном отрезке, содержащемся в (0,1). Именно поэтому предельный процесс «рвется» в каждый момент времени..

В третьей главе рассматриваются предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде и остановленного случайного блуждания, связанные с моментами достижения фиксированного уровня и максимума. При этом существенно используются обобщенные условные принципы инвариантности, установленные в первой и второй главах..

В § 3.1 находится асимптотика распределения максимального и суммарного числа частиц критического ветвящегося процесса в случайной среде..

Теорема 3.1.1. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при х —"• +оо.

Р (sup £п > х) ~ ,.

WNo J lnx где с — положительная постоянная..

Теорема 3.1.2. В условиях теоремы 3.1.1 при х —> Н-оо.

РТАп>х)~ с, sn I ,) тж п=0 / где с — положительная постоянная, та же, что и в теореме 3.1.1..

Теоремы 3.1.1 и 3.1.2 имеют интересные следствия для возвратного случайного блуждания в случайной среде {Zn}. Пусть означает число переходов блуждающей частицы из точки г в точку (г + 1) до момента первого достижения отрицательной полуоси rz: tz = inf{n > 0: Zn G (—оо, 0]}..

Как известно, если М 1п (ао//5о) = 0, то блуждание {Zn} является возвратным и последовательность {Ci, г? No} представляет собою критический ветвящийся процесс в случайной среде. Поэтому в силу теоремы 3.1.1 (при выполнении некоторых ограничений на вероятности перехода) при х —> +оо.

Р (sup Сп > х) ~ С.

In ж' где с — положительная постоянная. Поскольку в рассматриваемой ситуации число переходов из точки г в (г + 1) равно числу переходов из точки (г + 1) в г, оо то 2 X] Сг = Отсюда ввиду теоремы 3.1.2 следует, что при х —"¦ +оо г=0.

Р (гг > х) ~ С.

In ж' где с — положительная постоянная..

В § 3.2 устанавливаются предельные теоремы, связанные с моментом достижения уровня. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде, а Тх — момент первого достижения уровня х > 0 этим процессом, т. е..

Тх = т?{п: £п > х}..

Пусть {Бп} — случайное блуждание с нулевым сносом, {5П} — соответствующее ему остановленное случайное блуждание и Тх — момент первого достижения уровня х > 0 остановленным случайным блужданием, т. е..

Тх = Ы:{п: 8п > х}..

В следующих двух теоремах показывается, что время достижения высокого уровня х при условии, что он достижим, имеет порядок 1п2 х для {£п} и х2 для {?"}..

Теорема 3.2.1. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при любом и? [0, +оо) где оо.

К{и) = 1−2^(-1)к+1е-2к2и2 к=1 функция распределения Колмогорова. у «Р (* Т* ПШ Р —у— < и х-++со х.

Теорема 3.2.2. Пусть {5П} — случайное блуждание с нулевым сносом и МХ2 — а2, 0 < а2 < +оо. Тогда при любом и? [0, +оо).

Шп х—>+оо х2 где К (-) — функция распределения Колмогорова..

Указанные теоремы следуют из соответствующих обобщенных условных принципов инвариантности. При этом оказывается, что предельные распределения в этих теоремах совпадают между собой. Для нахождения вида этого предельного распределения используется простое случайное блуждание {5П}, шаг которого Х принимает всего два значения ±1 с одинаковыми вероятностями..

В рассматриваемом параграфе также доказываются условные предельные теоремы при условии, что достижим высокий уровень х, для случайных величин Тх/Т, Тх/Т, Т/п2х, Мх/Т, ЛГХ/Т, где НХ{НХ) означает число всех таких п, для которых > х (£п > х)..

В § 3.3 продолжено изучение асимптотики максимума ветвящегося процесса в случайной среде уже для докритического случая..

Будем предполагать, что при некотором положительном числе ае выполнено условие Mexp (seXi) = 1, Mpf^exp (aeXi)) < +оо..

Сопровождающее случайное блуждание {5П} в докритическом случае имеет отрицательный снос. А для блужданий с отрицательным сносом условие (**) является классическим и оно позволяет находить асимптотику вероятностей.

Р (sup Sn > х) (см. [21]) exp5n > х) (см. [58]) при х -> +оо. В neNo } Wi / 00 работе [59] при условии (**) найдена асимптотика Р I > х I при х —>¦ сю, п=о / при этом, правда, рассмотрен лишь случай, когда ж € (0, 2] и производящие функции {/n (s)} дробно-линейны. Основным результатом параграфа является следующая теорема..

Теорема 3.3.1. Пусть {?"} — докритический ветвящийся процесс в случайной среде. Пусть при некотором положительном числе эе выполнено условие (**) и распределение Ху нерешетчато. Наконец, пусть.

Mfi ln+ & ехр ((ае — l) Xi)) < +оо, а при ае > 1, кроме того, существует такое число р > ае, что конечно ехр ((эе — р) Х-)). Тогда при х —> +оо.

Р I вир £п > X ~ сх 33, neNo) где с — положительная постоянная, не зависящая от х..

Идея доказательства этой теоремы состоит в переходе к так называемой «сопряженной» случайной среде и соответствующему ей уже надкритическому ветвящемуся процессу в случайной среде..

В § 3.4 рассматриваются предельные теоремы, связанные с моментом достижения максимума. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде. Рассмотрим момент первого достижения максимального значения:.

Тм = inf < п: ?n = max & I? eN0.

Пусть {6^} — случайное блуждание с нулевым сносом, a {S^} — соответствующее ему остановленное случайное блуждание. Введем момент первого достижения максимального значения для {Sn}:.

Тм = inf <{ n: Sn = max Si? eN0.

Сначала находится асимптотика распределений Тм и Тм.

Теорема 3.4.1. Пусть {5П} — случайное блуждание с нулевым сносом и МХ1 — а2, 0 < а2 < +оо. Тогда при п ->¦ оо с1п2.

Р (Тм > п) ~ п где с — ехр I (Р (5Л > 0) — I) и=1.

Теорема 3.4.2. Пусть {£п} — критический ветвящийся процесс в случайной среде и выполнено условие (*). Тогда при п —> оо.

-п.,&tradeч с1п2.

Р (Тм > п) ~ п где с —постоянная из асимптотической формулы для Р (Т > п) (см. стр. 6)..

Далее в этом параграфе доказываются предельные теоремы при п —у оо для случайных величин {Тм/п | Т > п}, {Тм/Т Т > п}, {Тм/п Т > п}, {'Тм/Т | Т > п}. При получении всех результатов существенно используются упомянутые ранее обобщенные условные принципы инвариантности..

В § 3.5 устанавливаются предельные теоремы для локального времени остановленного случайного блуждания. Пусть {5™} — случайное блуждание с нулевым сносом, причем шаг блуждания Х является целочисленной случайной величиной с максимальным шагом 1. Пусть {5П} — соответствующее остановленное случайное блуждание. Обозначим р (х) число всех натуральных п для которых 8п = х, где х € N. Естественно и (х) назвать локальным временем остановленного случайного блуждания {5П}. Справедливы следующие результаты (х предполагается натуральным числом)..

Теорема 3.5.1. Пусть Х — целочисленная случайная величина с максимальным шагом 1. Пусть МХх = О, МХ2 = <т2, 0 < а2 < +оо. Тогда при х —У +оо.

М (-5Г).

Р (х/(я) > °) X.

Теорема 3.5.2. В условиях теоремы 1 при и € [0,+оо) о) = 1 — е~и'2. кт Р -— < и х—>+оо х.

В § 3.6 находится асимптотика распределения среднего значения функции от остановленного случайного блуждания. Пусть {<5″ Г),} — случайное блуждание с нулевым сносом, а {5^} — соответствующее остановленное случайное.

23 блуждание. Пусть /(ж) — некоторая неслучайная функция, определенная при х? [0, +оо). Нас интересует среднее значение последовательности т. е. среднее значение неслучайной функции от остановленного случайного блуждания за время его жизни. Справедлив следующий результат..

Теорема 3.6.1. Пусть = О, МХ^ = а2, 0 < а2 < +оо. Пусть /(ж) — положительная, возрастающая и правильно меняющаяся на бесконечности функция с показателем р > О, определенная при х? [0,+оо). Тогда при х —>¦ +оо с — положительная постоянная, такая же, как в теореме 3.4.1..

Нумерация параграфов в каждой главе самостоятельная. При ссылках на другие параграфы указывается номер главы и номер параграфа. Аналогично нумерация формул, теорем и т. п. в каждом параграфе самостоятельная. При ссылках на результаты других параграфов добавляется номер главы и номер параграфа..

Основные результаты диссертации изложены в работах [73−87]..

Автор искренне благодарен чл.-корр. РАН Севастьянову Б. А. и всему отделу дискретной математики МИ АН им. В. А. Стеклова, а также доценту Козлову М. В. за внимание к работе и поддержку. f (So), f (S1),., f (Sr-l), где д (-) — обратная функция к /(•),.

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. Наука, Москва, 1977..

2. Боровков A.A. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых. Сибирский матем. ж. (1962) 3, N-5, 645−694..

3. Боровков A.A., Рогозин Б. А., Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блужданий. Теория вероятностей и ее применения (1964) 9, № 3, 401−430..

4. Ватутин В. А., Дьяконова Е. Е., Критические ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятности невырождения в фиксированный момент. Дискретная математика (1997) 9, N°4, 100−126..

5. Ватутин В. А., Зубков A.M., Ветвящиеся процессы I. Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. ВИНИТИ, Москва, 1985, т.23, 3−67..

6. Денисов И. В. Случайное блуждание и винеровский процесс, рассматриваемые из точки максимума. Теория вероятностей и ее применения (1983) 33, N4, 785−788..

7. Денисов И. В. Условные предельные теоремы для броуновского движения и случайного блуждания. Успехи математических наук (1987) 42, N-2, 225−226..

8. Дьяконова Е. Е., Ветвящийся процесс с миграцией в случайной среде. Дискретная математика (1997) 9, N-1, 30−42..

9. Дьяконова Е. Е., Об асимптотике вероятности невырождения многомерного ветвящегося процесса в случайной среде. Дискретная математика (1999) 11, N4, 113−128..

10. Жакод Ж., Ширяев А. Н., Предельные теоремы для случайных процессов, т.1. Наука, Москва, 1994..

11. Козлов М. В., Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятностей и ее применения (1976) 21, N4, 813−825..

12. Козлов М. В. Принцип инвариантности для критического ветвящегося процесса в случайной среде с иммиграцией. Фундаментальные проблемы математики и механики: математика. Изд-во МГУ, Москва, 1994, 125−131..

13. Козлов М. В., Условная функциональная предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Доклады РАН (1995) 344, N4, 12−15..

14. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. Наука, Москва, 1972..

15. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Наука, Москва, 1987..

16. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., Интегралы и ряды. Наука, Москва, 1981..

17. Романов В. А., Условные функциональные предельные теоремы для рандомизированного блуждания. Теория вероятностей и ее применения (1986) 31, N4, 820−825..

18. Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы. Наука, Москва, 1971..

19. Спицер Ф., Принципы случайного блуждания. Мир, Москва, 1969..

20. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1. Мир, Москва, 1984..

21. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2. Мир, Москва, 1984..

22. Харрис Т. Е., Теория ветвящихся случайных процессов. Мир, Москва, 1966..

23. Эллиотт Р., Стохастический анализ и его приложения. Мир, Москва, 1986..

24. Эппель М. С., Локальная предельная теорема для момента первого перескока. Сибирский матем. ж. (1979) 20, N-1, 181−191..

25. Agresti A., Bounds of the extinction time distribution of a branching process. Adv. Appl. Probab. (1974) 6, N4, 322−335..

26. Agresti A., On the extinction times of varying and random environment branching processes. J. Appl. Probab. (1975) 12, №-1, 39−46..

27. Athreya K.B., Karlin S., On branching processes with random environments, I: Extinction probabilities. Ann. Math. Statist. (1971) 42, № 5, 1499−1520..

28. Athreya K.B., Karlin S., Branching processes with random environments, II: Limit theorems. Ann. Math. Statist. (1971) 42, iVa6, 1843−1858..

29. Athreya K.B., Ney P.E., Branching Processes. Springer-Verlag, Berlin, 1972..

30. Bahadur R.R., Rao R.R., On deviations of the sample mean. Ann. Math. Statist. (1960) 31, N4, 1015−1027..

31. Bolthausen E., On a functional central limit theorem for random walks conditioned to stay positive. Ann. Probab. (1976) 4, № 3, 480−485..

32. Borovkov K.A., Vatutin V.A., Reduced critical branching processes in random environment. Stoch. Proc. Appl. (1997) 71, 225−240..

33. Chung K.L., Excursions in Brownian motion. Ark. Mat. (1976) 14, N-1, 155−177..

34. Coffey J., Tanny D., A necessary and sufficient condition for noncertain extinction of a branching process in a random environment (BPRE). Stoch. Proc. Appl. (1984) 16, 189−197..

35. Cohen J.W., Hooghiemstra G., Brownian excursion, the M/M/l queue and their occupation times. Math. Oper. Res. (1981) 6, N4, 608−629..

36. Dekking F.M., Subcritical branching processes in a two-state random environment, and a percolation problem on trees. J. Appl. Probab. (1987) 24, N-4, 798−808..

37. Dekking F.M., On the survival probability of a branching process in a finite state i.i.d. environment. Stoch. Proc. Appl. (1988) 27, 151−157..

38. Dembo A, Peres Y., Zeitouni O., Tail estimates for one-dimensional random walk in a random environment. Commun. Math. Phis. (1996) 181, 667−683..

39. Dittrich P., A critical branching process in random environment. Теория вероятностей и ее применения (1990) 35, N-3, 612−615..

40. Doney R.A., A note on conditioned random walk. J. Appl. Probab. (1983) 20, №¦2, 409−412..

41. Durrett R.T., Conditioned limit theorems for some null recurrent Marcov processes. Ann. Probab. (1978) 6, № 5, 798−828..

42. Durett R.T., Iglehart D.L., Functional of Brownian meander and Brownian excursion. Ann. Probab. (1977) 5, N-l, 130−135..

43. Durett R.T., Iglehart D.L., Miller D.R., Weak convergence to Brownian meander and Brownian excursion. Ann. Probab. (1977) 5, N4, 117−129..

44. D’Souza J.C., The rates of growth of the Galton-Watson process in varying environments. Adv. Appl. Probab. (1994) 26, №-3, 698−714..

45. D’Souza J.C., Biggins J.D., The supercritical Galton-Watson process in varying environments. Stock. Proc. Appl. (1992) 42, 39−47..

46. D’Souza J.C., Hambly B.M., On the survival probability of a branching process in a random environment. Adv. Appl. Probab. (1997) 29, N-l, 38−55..

47. Emery D.J., Limiting behaviour of the distributions of the maxima of partial sums of certain random walks. J. Appl. Probab. (1972) 9, №-3, 572−579..

48. Fleischmann K., Vatutin V.A., Reduced subcritical Galton-Watson processes in a random environment. Adv. Appl. Probab. (1999) 31, N-l, 88−111..

49. Geiger J., Kersting G., The survival probability of a critical branching process in random environment. Теория вероятностей и ее применения (2000) 45..

50. Hirano. К., An asymptotic behavoir of the mean of some exponential functionals of a random walk. Osaka J. Math. (1997) 34, 953−968..

51. Hirano. K., Determination of the limiting coefficient for exponential functionals of random walks with positive drift. J. Math. Sci. Univ. Tokyo (1998) 5, 299 332..

52. Hooghiemstra G., Conditioned limit theorems for waiting-time processes of the M/G/l queue. J. Appl. Probab (1983) 20, № 3, 675−688..

53. Iglehart D.L., Functional central limit theorems for random walks conditioned to stay positive. Ann. Probab. (1974) 2, N4, 608−619..

54. Iglehart D.L., Random walks with negative drift conditioned to stay positive. J. Appl. Probab. (1974) 11, N4, 742−751..

55. Jagers P., Galton-Watson processes in varying environments. J. Appl. Probab. (1974) 11, N4, 174−178..

56. Jirina M., Extinction of non-homogeneous Galton-Watson processes J. Appl. Probab. (1976) 13, N4, 132−137..

57. Kaigh W.D., An invariance principle for random walk conditioned by a late return to zero. Ann. Probab. (1976) 4, №-1, 115−121..

58. Kesten H., Random difference equations and renewal theory for products of random matrices. Acta Math. (1973) 131, 208−248..

59. Kesten H., Kozlov M.V., Spitzer F., A limit law for random walk in a random environment. Compositio Mathematica (1975) 30, N-2, 145−168.60..