Задача конвекции-диффузии

Для каждого элемента триангуляции задан некоторый параметр δТ, зависящий от ε и a (x) = {a1(x), a2(x)}. В методе SUPG для уравнения конвекции-диффузии конечно-элементное решение uh∈Vhудовлетворяет следующему соотношению для любой функции vhиз VhδT (-ε∆uh+ a · ∇uh — f, a· ∇vh)TreTh5. Пример решения задачи: разрывный метод Галёркина для решения задач диффузии-конвекции

Разрывный метод Галёркина (DG) был предложен в 1973 г. Ридом и Хиллом для решения уравнения переносов нейтронов. Этот метод является модификацией метода конечных элементов (МКЭ) и ориентирован на класс задач с разрывными решениями. Разрывной метод Галёркина эффективен при работе с адаптивными сетками и может быть реализован как для нестационарных (параболических, гиперболических), так и для стационарных (эллиптических) задач. В ограниченной открытой области W М R2c границей GDищется решение u (x, y) первой краевой задачи для линейного уравнения конвекции-диффузии-С (eС u) + pС u= fíàW, где 0

О j=1пю

Будем рассматривать слабую формулировку задачи — в пространствахH1(xh)={v (x, y):(x, y) Оa, vKОH1(K)4KОxh} и (H1(h))2={ q (x, y):(x, y) ОZ, qKО (H1(K))24KОh}и введём их конечномерные подпространстваиVh=[vhОL2(Q):v-KОPpK (K)^KОxh}МH1(xh) lh=нqhО (L2 (Q))2:qh-KО (PpK (K))2^KОxhэМлH1 (h) щ 2, где PpK (K) — множество полиномов степени не более pK, определённых на K. Также введём скалярное произведение (u, v)= тuvdxdyи порождённую им норму. Скалярно умножим и на пробные функции xОlhи vОVhсоответственно и применим формулу интегрирования по частям на конечном элементет*xdxdy=-тuСxdxdy + тunKxds, xОlhKKIKт^Сvdxdy+ тpС uhvdxdy= тfvdxdy+ т £ cnKvds, vО VhKKKKБудем аппроксимировать функции uО H1(xh) и оО (H1(h))2 на конечном элементе KО xhфункциями uhО Vhи о hО Zh, а на границах конечного элемента — операторами следа uˆK= (uˆ K) Kо, hО T (Г) иˆ K=(ˆ K) KОhОй TГ) щ 2, где^^!/^/= UK. Найти uhОVh и ohОlhтакие, что для всех KОxhт*hxdxdy=-тuhСxdxdy+ тuˆKnKxds, 4xОIhKK3KтЕ 0hС vdxdy+ тpС uhvdxdy= тfvdxdy+ т £ tˆ KnKvds, VvО VhKKKikПросуммируем и по всем конечным элементам и получимт, hxdxdy=-тuhСxdxdy+ е тuˆ KnKds, VtОZh£1£1KОhiKтionСvdxdy+тpСuhvdxdy=тfvdxdy+ е тi6KnKvds, 4vОVhаааKОгhKДля всех vОT (Dи qО (T®)2е тvKqKnKvds=т[v]{q}ds+ т {v}[q] dsKОгhKГГintгде Тint=ТЪа,{ Ч: T (Г)^L2(Гint), {Ч: йлT (Г)щы2^ йлL2(r)щ2 — операторсреднего и [ Ч]: T (G) ® йлL2(G) щы2, [ Ч]: йлT (G) щы2 ® L2(Gint) — оператор скачка, int) введённые следующим образом:{ v} = 1(v1 +v2) íàeint; 2{ q} = 1(q1 +q2) íàeint; 2{ v} = v1íà ebnd;{}q=q1íàebnd; [ v] = v1n1+ v2n2íàeint; [ q] = q1n1+ q2n2íà eint;[ v] = v1n1íà ebnd;[ q] = q1n1íà ebnd. Здесь eint- внутренние рёбра; ebnd- граничные рёбра конечноэлементной сетки; n- вектор единичной внешней нормали. Используя, получаемт shtdxdy= - т uhС tdxdy+ т [uˆ]tds+ т uˆ[t ]ds, «t О Sh, WWGGintтeshСvdxdy+тpsvdxdy=WW=тfvdxdy+тe { s ˆ}[ v]ds+ т e[s ˆ]{v}ds,» vОVhWGGintС помощью интегрирования по частям и формулы переходим к формулетshtdxdy=тСuhtdxdy-т[uh-u]{t}dsт {uh-u}[t]dsWWGGintОпределим «лифтинг-операторы» r: (l2 (G))® Shи l: L2 (Gint) ® Sh следующим образом:

тr (q) tdxdy=-тq{ t}ds, tОShWGт l (v)tdxdy=- т v[t]ds, tОShWGintТеперь формула может быть записана какт s htdxdy = т С uhtdxdy + т r ([uh — uˆ]){t }dxdy+ т l ({uhuˆ})t dxdyWWWWили

Подставляя последнее уравнение в, получаемтe (С uh+ r ([uhuˆ]) + l ({uhuˆ}))С vdxdy+ тpС uhvdxdy=WW= тfvdxdy+тe{s ˆ}Ч [ v ] ds+ тe[s ˆ]{v} ds, «vОVhWGGintИтак, выписываем слабую формулировку разрывного метода Галёркина. Найти uhО Vhтакую, чтоBh (uh, v) = т fvdxdy» vО Vh, WгдеBh (uh, v) = т eС uhС v dxdyт e[ uhuˆ] { С v}dsт e[ v] { sˆ} ds-WGGт e{ v} [ sˆ ] dsт e{ uhuˆ} [ С v] ds+ т pС uvdxdy.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

:

Ольшанский М. А. Равномерные по параметру равносеточные и итерационные методы. М. — 2006

Самарский А. А. Решение задач конвекции-диффузии. М. — 2008

Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М. — 2003

Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М. — 2004.

http://cyberleninka.ru

http://www.dmb.biophys.msu.ru