Основные правила ценообразования опционов

В общем случае теорию ценообразования опционов можно строить на допущении о невозможности появления на рынке опционов арбитражных возможностей. Под арбитражными возможностями понимаются неравновесные рыночные ситуации, при которых инвестор может получать безрисковую прибыль из-за неравновесного соотношения цен торгуемых на рынке средств. Теоретически рыночные механизмы должны устранять такие ситуации, делать их невозможными.

Как уже указывалось выше, для упрощения нами рассматриваются опционы на акции; одновременно будем условно предполагать, что размер любого опционного контракта составляет одну акцию.

При оценке опционов на акцию необходимо разделять ситуации, когда по базовым акциям не выплачивается дивиденд и когда дивиденд выплачивается. От этого зависят правила, присущие ценообразованию опционов.

Правило 1. Поскольку владелец опциона не обязан реализовывать опцион при неблагоприятном развитии рыночной ситуации, то стоимость любого опциона на покупку или продажу не может стать отрицательной. Стоимость опциона на покупку не может стать отрицательной, соответственно, когда стоимость базовой акции равна нулю, то и стоимость опциона на покупку (и европейского, и американского) в любой момент времени t должна равняться нулю:

Для компактности и удобства использования формул в дальнейшем при необходимости выражение (Т —t) будем заменять на т. Поэтому приведенное выше равенство примет вид.

Правило 2. Стоимость опциона на покупку не может превышать стоимости базовой акции. Действительно, стоимость опциона на покупку определяется как Если , то инвестору выгоднее купить саму акцию, а не приобретать опцион, а затем его реализовывать по цене страйк К.

Правило 3. В момент реализации опционов стоимость опциона на покупку равна большей из величин () или нуль, а стоимость опциона на продажу — большей из величин (К — ST) или нуль. Это правило действует как для американских, так и для европейских опционов:

Правило 4. В любой момент времени t минимальная стоимость американского опциона на покупку равна нулю или (St — К). Минимальная стоимость американского опциона на продажу составляет либо нуль, либо (К — St).

Представим, что это условие для опциона колл не удовлетворяется. Например, цена исполнения опциона K=10 руб., текущая рыночная цена акции St = 20 руб., а опцион стоит меньше разницы (St — К), например, 7 руб. Тогда можно заработать безрисковую (арбитражную) прибыль: купить опцион за 7 руб., немедленно обязать продавца опциона исполнить опцион и купить у продавца базовую акцию по цене реализации К = 10 руб. Затем сразу же продать акцию по рыночной цене 20 руб. В итоге затраты на операцию составят 17 руб. (7 руб. — опционная премия плюс цена исполнения опциона), а выручка — 20 руб., и безрисковая прибыль равна 3 руб. Так как арбитражные возможности должны устраняться рынком, то такая ситуация не может быть равновесной.

В таком случае можно представить границы, в пределах которых должна находиться цена американских опционов колл в любой момент времени до их исполнения (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Границы цены американского опциона на покупку в любой момент времени.

Правило 5. Американский опцион (на покупку и продажу) всегда стоит не дешевле, чем европейский опцион на эту же базовую акцию. Действительно, любой американский опцион может сохраняться его владельцем до дня окончания опциона, превращаясь, таким образом, в европейский опцион. Иными словами, любой американский опцион имеет свойства, которые присущи европейскому опциону. Однако американский опцион предоставляет его владельцу дополнительное право реализации опциона в любое время до дня окончания опциона. Такое право должно иметь либо нулевую, либо дополнительную положительную стоимость.

Правило 6. В любой момент времени t стоимость европейского опциона на покупку не может быть меньше текущей рыночной цены St акции за минусом приведенной стоимости цены исполнения К:

Тогда, исходя из правила 5, справедливо утверждение:

Чтобы реализовать европейский опцион в момент Т окончания опциона, необходимо купить у продавца опциона базовую акцию по цене исполнения опциона К. Для этого в текущий момент t необходимо располагать такой суммой денег, чтобы к моменту Т окончания опциона у инвестора имелась в распоряжении сумма К. Иными словами, в текущий момент времени инвестор должен располагать приведенной стоимостью цены исполнения К. В теории ценообразования опционов предполагается, что дисконтирование происходит по безрисковой ставке процента r, начисляемой непрерывно. Объясняется это тем, что приведенную стоимость любого средства (а значит, и его цену) можно найти, задав ожидаемые в будущем потоки денег от данной инвестиции и дисконтировав их за весь планируемый горизонт инвестирования. Почему же нельзя применить этот способ для оценки стоимости опциона? В принципе первый этан — прогнозирование будущих потоков денег от опциона — вполне выполним. Невозможен второй шаг: риск, связанный с опционом, меняется каждый раз по мере изменения цены базовой акции (чем выше цена, тем меньше риск). Кроме того, риск опциона меняется во времени, даже если цена акции не колеблется. Следовательно, невозможно задать однозначную ставку дисконта и дисконтировать будущие потоки денег.

Этим объясняется использование схемы непрерывного начисления процента.

Тогда приведенная стоимость цены К в момент? вычисляется по формуле.

Если правило 6 не будет удовлетворяться, и стоимость европейского опциона окажется меньше разности , т. е. , то у инвестора появятся арбитражные возможности: по общим правилам при возникновении арбитражных возможностей следует коротко продавать переоцененные средства и покупать недооцененные. В указанном случае переоцененной оказывается акция. Тогда ее следует коротко продать и получить от продажи сумму . На эти деньги следует купить безрисковую облигацию за сумму со сроком погашения (или, что равноценно, вложить сумму в банк по безрисковой ставке про цента г) и опцион на покупку базовой акции за сумму От этих операций инвестор в исходный момент времени сразу получит прибыль:

В момент окончания опциона инвестор погасит облигацию, получит от этого сумму К руб. и реализует опцион, выкупив базовую акцию по цепе исполнения К. После этого он закроет короткую позицию на рынке базовой акции, вернув брокеру акцию. Как видим, инвестор по окончании опциона полностью расплатится по своим обязательствам, т. е. стоимость его позиции в момент Т равна нулю. По в исходный момент времени инвестор получил прибыль . Значит, появилась арбитражная прибыль, которая в равновесных ситуациях должна отсутствовать, что доказывает справедливость правила 6.

Это позволяет указать границы европейского опциона на покупку в любой момент времени? до его исполнения (рис. 6.5).

Правило 7. Если по базовой акции американского опциона на покупку не выплачиваются дивиденды, а непрерывно начисляемая ставка процента положительна, то такой опцион не будет реализован до даты его окончания. Иными словами, в таких случаях американский опцион на покупку следует оценивать как европейский опцион на покупку.

Действительно, из правила 6 вытекает, что

Рис. 6.5. Границы цены американского и европейского опционов на покупку в любой момент времени.

Если процентные ставки положительны, то в исходный момент времени t приведенная стоимость цены исполнения меньше цены исполнения К:

Но тогда . Значит, в любой момент времени t американский опцион колл на акцию, но которой не выплачивается дивиденд, стоит дороже, если он действует, а не исполняется. Следовательно, досрочная реализация американского опциона колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды, не является оптимальной. (Заметим, что для американского опциона на продажу это правило может нарушаться.).

Правило 8. Поскольку владелец опциона на продажу не несет обязательств по исполнению опциона, а стоимость базовой акции не может быть меньше нуля, то цена опциона па продажу в любой момент времени t нс может превышать цену исполнения опциона К. Это правило справедливо как для европейских, так и для американских опционов.

Правило 9. При прочих равных условиях опцион на покупку с меньшей ценой исполнения К стоит всегда меньше, чем опцион с более высокой ценой исполнения:

Обратная зависимость присуща опционам на продажу:

Правило 10. При прочих равных условиях американский опцион с более длительным сроком до окончания стоит дороже, чем опцион с более коротким сроком до окончания. Это правило справедливо как для опционов на покупку, так и для опционов на продажу:

Для европейских же опционов на продажу не всегда справедливо утверждение, что опцион с более отдаленным сроком окончания имеет большую стоимость.

Правило 11. Если по базовой акции выплачивается дивиденд, то стоимость европейского опциона на покупку в любой момент времени t не может быть меньше текущей цены акции St за вычетом приведенной стоимости цены реализации и приведенной стоимости дивидендов. Если приведенную стоимость всех полученных по базовой акции дивидендов обозначить PV(D), то.

Правило 12. Если по базовой акции выплачиваются дивиденды, то американский опцион на покупку целесообразно исполнять непосредственно перед выплатой дивидендов. Действительно, если - приведенная стоимость цены реализации, то выражение () определяет приведенную стоимость процента, который может быть получен при инвестировании цены исполнения К. Величина PV(D), по нашим предположениям, определяет приведенную стоимость выплачиваемых по базовой акции дивидендов. Тогда, если вплоть до даты исполнения опциона выполняется условие.

то приведенная стоимость будущего процента будет превышать приведенную стоимость дивидендов. Поэтому американский опцион на покупку не будет исполнен до даты выплаты дивидендов, а его стоимость будет соответствовать стоимости европейского опциона.

Иными словами, если дивиденд D1 выплачивается в момент t1, то досрочное исполнение опциона имеет смысл, если величина выплачиваемого в момент t1 дивиденда превосходит процент, получаемый при инвестировании цены К исполнения опциона, т. е. если выполняется условие.

Пример 6.2. Инвестор владеет опционом на покупку с ценой исполнения К = 50 руб., сроком окончания Т = 8 мес, безрисковая ставка процента rf = 8%. Через три месяца по базовой акции опциона должен быть выплачен дивиденд. Какую минимальную величину дивиденда должна выплачивать компания, чтобы досрочная реализация опциона была оправданной?

Решение

Воспользуемся приведенным выше неравенством:

Правило 13. В любой момент времени t стоимость европейского опциона на продажу не может быть меньше приведенной стоимости цены исполнения К плюс приведенная стоимость дивидендов D за вычетом текущей рыночной стоимости цены акции St:

Поскольку американский опцион на продажу предоставляет его владельцу право реализовать опцион в любой момент времени, то справедливо утверждение, что.