Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры

Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия линии.

Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой.

Линии второго порядка возникли как сечения конических поверхностей плоскостью и имеют особенно большое значение в науке и технике.

Одним из первых, кто начал изучать конические сечения был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV и. до н.э.). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей?». Так, изменяя угол при вершине прямой круговой поверхности, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если плоскость будет перпендикулярна к образующей конической поверхности; гиперболу — если плоскость будет параллельна оси конической поверхности; параболу — если плоскость будет параллельна образующей конической поверхности. Но названия этих кривых придумал не Менехм, их предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения». Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одной и той же конической поверхности. Вид конического сечения зависит от расположения плоскости относительно оси или образующих конической поверхности.

Основная часть работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения линий второго порядка и методики использования ЦОР в VII-IX классах школьного курса алгебры.

Объект исследования — методика организации изучения линий второго порядка.

Предмет исследования — возможности использования ИКТ в организации изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7−9 классов.

Цель данной работы: установить возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры.

Основные задачи работы:

Проанализировать и систематизировать содержание линий второго порядка в элементарной математике;

Проанализировать содержание и возможности использования для изучения линий второго порядка имеющиеся ЦОР по математике;

Проанализировать содержание темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках;

Рассмотреть примеры использования ИКТ в решении задач с линиями второго порядка

Глава 1. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка

1.1 Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении

Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии Аналитическая геометрия описывает свойства линий на плоскости через их уравнения. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой (канонический) вид, удобный для исследования.

Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:

где A, B, C, D, E, F — вещественные коэффициенты, причем .

Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия второго порядка.

Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.

Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.

Пусть координаты точки M в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точки M в новой системе координат X’OY'.(чертеж 1.)

Чертеж 1

Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:

(так как); (2)

(так как); (3)

Рассмотрим. Так как он прямоугольный, то,. (4)

Рассмотрим теперь. Он также прямоугольный, поэтому,. (5)

Таким образом, с учетом того, что, из равенств (2)-(5) получим: (6)

Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые при повороте XOY на угол б вокруг О (0,0).

Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол б в формулах (6) заменить на угол (?б), так как при повороте системы координат X? OY? на угол (?б) мы получим систему XOY.

Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:

Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.

При, получим:

При :

(7)

При :

При :

При :

.

Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:

(8)

Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент. Из (7) следует, что поэтому

После данного преобразования уравнение (1) примет вид:

. (9)

Докажем, что при повороте на любой угол б имеет место равенство:

(10)

Так как мы подобрали угол б так, что, то из (10) следует, что

. (11)

Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три случая:

1) (эллиптический случай);

2) (гиперболический случай);

3) (параболический случай).

Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что, то есть знаки совпадают. Пусть A? > 0, C? > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x?, y?, получим:

Дополним члены, содержащие x' и y', до полного квадрата:

(12)

где

Положим, тогда уравнение (12) примет вид:. (13)

Пусть. Разделим обе части уравнения (13) на, получим:

(14)

Так как и, то предположим, что. (15)

Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса

Пусть F? > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа — отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.

Пусть F? = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка, то есть точка с координатами

Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что, то есть числа имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:

Предположим, что. Отсюда:

(16)

Так как и разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть (17)

тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:

При уравнение принимает вид: (18)

Пусть, тогда и уравнение (18) примет вид: откуда Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.

Рассмотрим параболический случай. Так как, то .

Пусть. Так как после поворота, то уравнение (9) преобразуется до вида: (19)

Соберём члены, содержащие, и дополним их до полного квадрата:

тогда уравнение (19) примет вид: или, (20)

где. Из (20) следует, что

Рассмотрим два случая:

Пусть, тогда, то есть (21)

где

Положим, тогда уравнение (21) примет вид:

Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси (OY).

Пусть, тогда уравнение (20) перепишется в виде

(22)

1. Если, то получим уравнение оси (OY) .

2. Если, то возможны два случая. Если A? и F? одного знака, то точек, удовлетворяющих данному уравнению, нет; если же A? и F? разных знаков, то, где, поэтому и уравнение (22) описывает две параллельные прямые:

b) Пусть, тогда уравнение (9) примет вид

(23)

Если, а, то точек, удовлетворяющих уравнению (23), нет; если же или отличны от нуля, то уравнение (23) описывает прямую.

Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:

— уравнение эллипса

— уравнение гиперболы

— уравнение параболы

— совокупности двуз пересекающихся прямых

— совокупности двух параллельных прямых Содержание темы «Линии второго порядка» в элементарной математике В математике рассматриваются линии второго порядка, как конические сечения: окружность, эллипс, гипербола, парабола; или как множество точек обладающих некоторыми свойствами.

Рассмотрим каждую линию второго порядка подробнее, определяя линии как множество точек.

ОКРУЖНОСТЬ Определение 1.1. Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки М0, называемой ее центром. 9.С.65]

Общий вид уравнения

Исследование свойств окружности по её уравнению Пресечение с осями координат:

С ОХ: Пусть у=0, тогда. Отсюда делаем вывод, что (-R;0), (R;0) — точки пересечения с осью ОХ.

С ОУ: Пусть х=0, тогда 02+у2=R2. Отсюда делаем вывод, что (0;-R),(0;R) — точки пресечения с осью ОУ.

Следовательно, у окружности с центром в начале координат область допустимых значений для и для закрытый интервал .

Вывод: Окружность вписана в квадрат с размером стороны 2R. 1.С.99]

2) Симметрия окружности:

Относительно оси ОХ и оси ОУ, так как окружность имеет общие точки пересечения с осями координат.

Пусть принадлежит окружности, т. Е — верное равенство.

Точка симметрична точке М0 относительно оси ОХ. Подставим координаты точки М1 в уравнение окружности, отсюда имеем: — верное равенство.

Следовательно, М1 принадлежит окружности, отсюда следует, что окружность симметрична относительно оси ОХ.

Точка симметрична точке М0 относительно оси ОУ, следовательно, окружность симметрична относительно оси ОУ.

Точка симметрична точке М0 относительно О (центра), следовательно, окружность симметрична относительно начала координат. [1.С.99−100]

Эксцентриситет окружности:

Определение 1.2. Отношение называется эксцентриситетом окружности. Для окружности эксцентриситет окружности равен нулю.

Касательная к окружности:

Определение 1.3. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности.

Определение 1.4. Общая точка окружности и касательной называется точкой касания прямой и окружности.

Пусть точка принадлежит окружности, тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

[1.С.100]

ЭЛЛИПС Определение 2.1. Эллипс — множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Общий вид уравнения

Исследование свойств эллипса по его уравнению

1) Пересечение эллипса с осями координат:

Найдем точки пересечения эллипса с осью ОХ: Пусть y=0, тогда уравнение эллипса имеет вид:, следовательно .

Отсюда следует, что точки (-a, 0),(a, 0) являются точками пересечения с осью ОХ.

Найдем точки пересечения эллипса с осью ОУ: Пусть х=0,отсюда имеем:, отсюда .

Следовательно, точки (-b, 0),(b, 0) являются точками пересечения с осью ОУ.

Отсюда заключаем, что границы эллипса, отображающие его схематичное построение. (чертеж 2) [1.С. 105]

Чертеж 2

Расстояние |A1A2| = 2a называется большой (фокальной) осью эллипса, расстояние |B1B2| = 2b называется малой осью эллипса. Расстояния от начала координат до вершин A2(a, 0), B2(0, b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Вывод: Таким образом, заключаем, что эллипс вписан в прямоугольник с размерами 2a, 2b (чертеж 3).

Чертеж 3

2) Симметрия эллипса относительно координатных осей OX и OY:

Пусть принадлежит эллипсу, т. е — верное равенство.

Точка симметрична точке относительно оси ОХ

— верное равенство.

Следовательно, принадлежит эллипсу, отсюда заключаем, что эллипс симметричен относительно ОХ Точка симметрична точке относительно оси ОУ, следовательно, эллипс симметричен относительно оси ОУ.

Точка симметрична точке относительно О (центра), следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат. 1.С.105−106]

Фокусы эллипса:

Пусть фокусы эллипса лежат на оси ОX. Межфокусное расстояние эллипса равно причем. Заметим, что

. [1.С.106]

4) Эксцентриситет эллипса:

Определение 2.2. Эксцентриситетом эллипса называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

.

Так как, следовательно, .

Если стремится к нулю при постоянном значении, то стремится к нулю. При этом величина стремится к. В предельном случаи уравнение эллипса принимает вид:. Это уравнение окружности. Если, то. При этом малая ось эллипса неограниченно уменьшается, эллипс стремится к отрезку. (чертеж 4) [1.С.106]

Чертеж 4

5) Диаметры эллипса:

Всякая хорда, проходящая через центр эллипса, называется диаметром эллипса. В частности, диаметрами эллипса является его большая ось и малая ось. Всякий диаметр эллипса, не являющийся его осью, больше малой оси, но меньше большой оси (чертеж 5). [1.С.106−107]

Чертеж 5

6) Касательная к эллипсу:

Уравнение касательной к эллипсу где — координаты точки касания и соответственно большая и меньшая полуоси эллипса (чертеж 6).

Чертеж 6

7) Частный случай эллипса — окружность:

где окружности.

8) Взаимное расположение точек и эллипса:

эллипсу, если верное равенство, Если то лежит внутри эллипса, Если то лежит вне эллипса. [1.С.100]

9) Уравнения директрис эллипса:

Пусть эллипс задан уравнением и если при этом, то и уравнения директрис эллипса, если, то директрисы определяются уравнениями .

ГИПЕРБОЛА Определение 3.1. Гипербола — множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая, чем расстояние между фокусами [8.С.510]

Общий вид уравнения

Исследование свойств гиперболы по ее уравнению

1) Пересечение гиперболы с осями координат:

Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей: правой и левой, простирающихся в бесконечность.

В уравнении (12) положим, что y=0, получим: отсюда. Следовательно, точки являются точками пересечения гиперболы с осью (чертеж 7).

Чертеж 7

Положим, что в уравнении (12) х=0, и получим:, следовательно, уравнение гиперболы не пересекает ось .

ЗАМЕЧАНИЕ: Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с осью (OY), то уравнение гиперболы имеет вид:. [1.С.107−108]

Определение 3.2. Гиперболы, заданные уравнениями и, называются сопряженными гиперболами.

Определение 3.3. Если a=b, гипербола называется равносторонней.

2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и :

Пусть принадлежит гиперболе, то есть верное равенство. Точка симметрична точке относительно оси ОХ:

— верное равенство. Следовательно, принадлежит гиперболе, следовательно, гипербола симметрична относительно ОХ.

Точка симметрична точке относительно оси ОУ, следовательно, гипербола симметрична относительно оси ОУ.

Точка симметрична точке относительно О (центра), отсюда следует, что гипербола симметрична относительно начала координат. [1.С.108]

3) Асимптоты гиперболы:

Текущая точка гиперболы при движении по ней в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, которая называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения:

и ,

Пусть текущая точка гиперболы, ее проекция на ось абсцисс. Прямая пересекает прямую, заданную указанным уравнением в точке. Докажем: что при .

Доказательство:

.Расстояние это ордината точки, лежащей на прямой. Она равна. Расстояние это ордината точки гиперболы, которую находим из её канонического уравнения: Тогда

Умножим и разделим равенство (13) на (), следовательно, получим:

При знаменатель дроби неограниченно увеличивается, следовательно, дробь стремится к нулю.

— уравнение гиперболы, в которой, а — являются асимптотами гиперболы. (чертеж 20.) [1.С.108]

Чертеж 8

4) Фокусы гиперболы:

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох. Межфокусное расстояние гиперболы равно причем. Заметим, что по определению гиперболы.

Следовательно, фокусы гиперболы. [1.С.109]

5) Директориальное свойство гиперболы:

Определение 3.4. Директрисами гиперболы называются прямые, параллельные канонической оси ОУ и отстоящие от этой оси на расстояние .

Уравнения директрис гиперболы имеют вид: ++и, если гипербола задана уравнением. Если гипербола задана уравнением, то директрисы определяются уравнениями .

6) Эксцентриситет гиперболы:

Определение 3.5. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Так как, то

Если при постоянном значении, число будет изменяться от нуля до бесконечности, то будет измениться от до бесконечности. Если, то гипербола будет стремиться к лучам (чертеж 9).

Чертеж 9

Если, то гипербола будет стремиться к параллельным прямым (чертеж 10). [1.С.109]

Чертеж 10

7) Касательная к гиперболе:

Уравнение касательной к гиперболе, где — координаты точки касания, а соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы (чертеж 11).

Чертеж 11

8) Диаметр гиперболы:

Если гипербола задана уравнением, то её диамерт, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением .

ПАРАБОЛА Определение 4.1.Параболаэто геометрическое множество точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус). [8.С.589]

Общий вид уравнения .

Исследование свойств параболы

1) Вершина параболы:

Уравнению (15) удовлетворяют числа и, следовательно, парабола проходит через начало координат. 1.c.109−110]

2) Симметрия параболы:

Пусть принадлежит параболе, т. е. верное равенство. Точка симметрична точке относительно оси, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс. [1.С.110]

Эксцентриситет параболы:

Определение 4.2. Эксцентриситетом параболы называется число, равное единице.

так как по определению параболы. 1.С.110−111]

4) Касательная параболы:

Касательная к параболе в точке касания определяется уравнением

где (чертеж 12)

Чертеж 12

Фокус параболы:

Если уравнение параболы имеет вид, то её фокус имеет координаты .

Если уравнение параболы имеет вид, то её фокус будет иметь координаты .

Диаметр параболы:

Если парабола задана уравнением, то её диаметр определяется уравнением, где k угловой коэффициент.

Уравнения директрис параболы:

Если уравнение параболы имеет вид, то директриса параболы имеет уравнение:. Если уравнение параболы имеет вид, то уравнение директрисы параболы имеет вид:

Чтобы обобщить работу по теории линий второго порядка в элементарной математике и для удобства использования информации о линиях при решении задач, заключим все данные о линиях второго порядка в таблицу № 1.

Таблица 1 — Линии второго порядка в элементарной математике

Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом — от управления до воспитания и обеспечения доступности образования.

Процесс информатизации, охвативший все стороны жизни современного общества, имеет несколько приоритетных направлений, к которым, безусловно, следует отнести информатизацию образования. Она является первоосновой глобальной рационализации интеллектуальной деятельности человека за счет использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

Середина 90-х годов прошлого века и до сегодняшнего дня, характеризуется массовостью и доступностью персональных компьютеров в России, широким использованием телекоммуникаций, что позволяет внедрять разрабатываемые информационные технологии обучения в образовательный процесс, совершенствуя и модернизируя его, улучшая качество знаний, повышая мотивацию к обучению, максимально используя принцип индивидуализации обучения. Информационные технологии обучения являются необходимым инструментом на данном этапе информатизации образования.

Информационные технологии не только облегчают доступ к информации и открывают возможности вариативности учебной деятельности, ее индивидуализации и дифференциации, но и позволяют по-новому организовать взаимодействие всех субъектов обучения, построить образовательную систему, в которой ученик был бы активным и равноправным участником образовательной деятельности.

Формирование новых информационных технологий в рамках предметных уроков стимулируют потребность в создании новых программно-методических комплексов направленных на качественное повышение эффективности урока. Поэтому, для успешного и целенаправленного использования в учебном процессе средств информационных технологий, преподаватели должны знать общее описание принципов функционирования и дидактические возможности программноприкладных средств, а затем, исходя из своего опыта и рекомендаций, «встраивать» их в учебный процесс.

Изучение математики в настоящее время сопряжено с целым рядом особенностей и трудностей развития школьного образования в нашей стране.

Появился так называемый кризис математического образования. Причины его состоят в следующем:

— в изменении приоритетов в обществе и в науке, то есть в настоящее время идет рост приоритета гуманитарных наук;

— в сокращении количества уроков математики в школе;

— в оторванности содержания математического образования от жизни;

— в малом воздействии на чувства и эмоции учащихся.

Сегодня остается открытым вопрос: «Как же наиболее эффективно использовать потенциальные возможности современных информационных и коммуникационных технологий при обучении школьников, в том числе, при обучении математике?».

Компьютер — отличный помощник в изучении такой темы, как «Квадратичная функция», потому что, используя специальные программы можно строить графики различных функций, исследовать функцию, легко определить координаты точек пересечения, вычислить площади замкнутых фигур и т. д. Например, на уроке алгебры в 9-м классе, посвящённом преобразованию графика (растяжения, сжатия, переносы координатных осей) можно увидеть лишь застывший результат построения, а на экране монитора прослеживается вся динамика последовательных действий учителя и ученика.

Компьютер, как ни одно техническое средство, точно, наглядно и увлекательно открывает перед учеником идеальные математические модели, т. е. то, к чему должен стремиться ребенок в своих практических действиях.

Сколько трудностей приходится испытывать учителю математики для того, чтобы убедить учеников в том, что касательная к графику квадратичной функции в точке касания практически сливается с графиком функции. На компьютере этот факт продемонстрировать очень простодостаточно сузить интервал по оси Ох и обнаружить, что в очень маленькой окрестности точки касания график функции и касательная совпадают. Все эти действия происходят на глазах у учеников. Этот пример дает толчок к активным размышлениям на уроке.

Для активизации познавательной деятельности использование ИКТ может происходить на всех этапах и при разных типах уроков.

На вводных уроках важно заинтересовать ребят яркими, запоминающимися образами, которые можно создать с помощью библиотеки электронных наглядных пособий или образовательных ресурсов сети Интернет. Увеличения доли информации, представляемой в визуальной форме, открывает принципиально новые возможности для усвоения нового материала, развития внимания и сообразительности.

При формировании новых знаний может быть использовано электронное сопровождение в виде презентации, на которой отражены основные понятия, схемы, алгоритм применения правил.

На уроках закрепления можно использовать электронный тренажер или возможности цифрового образовательного ресурса, с помощью которых обучающиеся не только могут применить свои знания в процессе практической деятельности, но и увидеть личный результат.

Использование цифровых образовательных ресурсов на уроке контроля позволяет организовать проверочную работу, при которой ученик не только получает отметку и оценку своих знаний, но и анализ всего хода выполнения работы (количество правильных и неправильных ответов, на какие правила была допущена ошибка, какой материал необходимо повторить и т. д.)

Тем самым использование компьютера возможно как в ходе объяснения нового материала на уроке, так и на этапе контроля. При помощи программ, например «My Test», ученик самостоятельно может проверить свой уровень знаний по теории, выполнить теоретико-практические задания. Программа удобна своей универсальностью. Она может быть использована и для самоконтроля, и для контроля со стороны учителя.

Разумная интеграция математики и компьютерных технологий позволит богаче и глубже взглянуть на процесс решения задачи, ход осмысления математических закономерностей. Кроме того, компьютер поможет сформировать графическую, математическую и мыслительную культуру учеников, а также с помощью компьютера можно подготовить дидактические материалы: карточки, листы опроса, тесты и др. При этом давать возможность ребятам самостоятельно разрабатывать тесты по теме, в ходе чего развивается интерес и творческий подход.

Грамотное спользование ИКТ дает возможность:

повысить мотивацию обучения;

увеличить индивидуальную активность учащихся;

сформировать информационную компетенцию;

для свободного творчества;

для интерактивность обучения;

активизировать познавательную деятельность и повысить качество успеваемости школьников;

для развития навыков самообразования и самоконтроля;

повышения уровня комфортности обучения;

снизить дидактически затруднений у учащихся;

развивать информационное мышление;

проводить уроки на высоком эстетическом уровне;

индивидуально подойти к ученику, применяя разноуровневые задания.

А для учителя, информационные технологии способны решать многие педагогические задачи, предоставляя новые возможности для творчества, приобретения и закрепления профессиональных навыков, позволяют реализовывать принципиально новые формы и методы обучения.

Таким образом ИКТ становятся неотъемлемой частью современного учебного процесса, способствующей повышению качества образования. А значат есть необходимость и возможности применения компьютера на уроках математики достаточно широко. Использование информационных технологий будет способствовать повышению качества знаний, расширит горизонты изучения квадратичной функции, следовательно, поможет найти новые перспективы для поддержания интереса учащихся к предмету и к теме.

1.2 Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7−9 классов

Анализ содержания темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках. (учебники по алгебре под редакцией Г. В. Дорофеева, Ш. Ф. Алимова, А. Г. Мордковича) Обязательной и неотъемлемой частью учебного процесса, а также изучения линий второго порядка является тематическое планирование и учебники. Из анализа комплектов учебников по алгебре 7−9 классов таких авторов, как: А. Г. Мордкович, Ш. А. Алимов и Г. В. Дорофеев выяснили содержание темы «Линии 2го порядка». (Приложение 2. Таблица № 3.)

Таблица 2 — Содержание темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках

Проанализировав содержание темы «Линии второго порядка» в школьном курсе алгебры трех авторов, таких как Александра Григорьевича Мордкович, Шавката Арифджановича Алимова, Георгия Владимировича Дорофеева, было выявлено, что изложение теоретического материала наиболее полно раскрыто у Дорофеева. Автор придерживается определенного алгоритма для каждой функциональной линии:

пример и запись функции;

определение (как множество точек);

построение графика функции (по точкам, с использованием свойств, методом преобразований);

исследование его свойств.

При этом Георгий Владимирович плавно подводит под изучение нового материала, за счет повторения узученного. Изложенный материал подкреплен соответствующими рисунками. По завершению главы «квадратичная функция» автор отдельной главой выделяет изучение линий второго порядка:

История изучения плоских кривых;

Способы образования линий второго порядка;

Эллипс;

Гипербола;

Парабола.

Изучение данной главы идет при непосредственной опоре и сравнении с изученными ранее квадратичными и дробнорациональной функциями.

В учебниках А. Г. Мордкович и Ш. А. Алимова теоретическая часть представлена в меньшем объеме. Изучения новой функции не предпологает повторение изученного материала, но при этом изучение каждой функциональной линии начинается с примера (осуществляется межпредметная связь).

Рассматривая степень наглядности теоретического материала, является необходимым отметить, что у Александра Григорьевича теоретическая часть сопровождается большим количеством наглядности при:

приведении примеров (отмечание точек на одной координатной плоскости и построение линии на другой координатной плоскости);

исследовании свойств (некоторые свойства отображены на разных рисунках);

рассмотрение построения частей одной функции в разных четвертях (при построении графика функции).

При это рисунки представлены на разлинованном поле, что дает возможность легко находить координаты точек.

В учебниках Дорофеева графики отображены в меньшем количестве (изображение нескольких функциий в одной системе координат), но при этом, как и у Мордковича, прямоугольная система координат представлена в разлиновоном виде.

У Шавката Арифджановича наглядность очень мала, и по данным черчежам затруднительно вести исследования (т.к ни одна точка линии не имеет точной координаты).

При сравнении практической части комплектов учебников, заключаем, что в учебниках Александра Григорьевича Мордковича в практической части представлены задания на закрепление изученного теоретического материала, как на построение функций в явной форме, так и построение по заданным значениям, свойствам. Практические задания разбиты по уровню сложности, а также имеются задания на исследование уже построенных функций по рисункам.

У Алимова практическая часть следует сразу после теоретической и содержит задания, разбитые на три уровня сложности, каждый из которых в среднем содержит по четыре задачи.

Рассматривая комплект учебников по алгебре 7−9 классов под редакцией Георгия Владимировича Дорофеева, можно сказать, что содержащаяся для каждого параграфа практическая часть разделена на две части по уровню сложности. Первую часть обозначают буквой, А и в неё помещены упражнения, требующие от учеников о основном умения решать по алгоритму. А во вторую часть, обозначаемой буквой В, включены упражнения, при решении которых требуется умение мыслить и анализировать. В основном в каждой части В (в конце) содержится задача — исследование. При этом формулировки упражнений интересны, разнообразны, и местами прослеживается непосредственная связь с другими предметами (физика, геометрия). Каждый параграф заканчивается контрольными вопросвми и заданиями. Учебники содержат не только разнообразные упражнения, но и дополнительный материал в рублике «Для тех, кому интересно», «Вопросы для повторения», Задачи для самопроверки"

Особенности изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры Изучение линий второго порядка в школьном курсе алгебры начинается с 8−9 класса. Где данной теме уделяется 16 часов. (приложение 2.)

Линии второго порядка представлены квадратичной и дробно — рациональной функциями. Дробно — рациональная функция изучается в 8 классе, в течении 3 часов. Понятие функции учащиеся усваивают, начиная с 7 класса средней школы; идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции.

В данной работе подробно рассмотрим особенности изучения учащимися квадратичной функции и функции выражающей обратно пропорциональную зависимость.

К изучению класса квадратичных функций учащиеся знают, как строить график линейной функции:

метод «загущения» точек на графике;

построение по двум точкам;

Однако для построения параболы нужны новые приёмы:

приём, основанный на преобразованиях, приводящих функцию к виду, и использования геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного вида — графика функции ;

построение по характеристическим точкам и с учетом свойств симметрии. При построении графика функции по характеристическим точкам и с учетом свойств симметрии необходимо использовать следующий алгоритм:

Выяснить направление ветвей. Если, то ветви параболы направлены вверх, если, то ветви направлены вниз.

Вычислить координаты вершины параболы по формулам и .

Найти нули функции и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

Вычисляем координаты точки пересечения параболы с осью ординат: и строим точку, симметричную ей относительно оси параболы.

Через построенные точки проводим параболу.

Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи квадратичными уравнениями и неравенствами, что дает возможность активно использовать график функции в их решении.

На подготовительном этапе к изучению линий второго порядка, рассматривается функция. По своим свойствам, прежде всего, эта функция немонотонна, в отличие от линейной функции. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: Функция задана формулой на промежутке. Найти множество значений этой функции.

Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на, учащиеся могут допустить ошибку, именно поэтому следует рассмотреть график функции и его построение:

методом «загущения точек;

по характеристическим точкам.

Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на промежутке, другой-в мелком масштабе на промежутке, например,. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы — симметричность относительно оси абсцисс. В дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция будет ведущим примером функции этого класса.

Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а, путем построения и сравнения нескольких графиков функции в одной системе координат: .После чего рассматриваются свойства функции при, вводится понятие области определения. При этом сначала рассуждения проводятся с использованием геометрической терминологии и с опорой на график, а затем те же самые факты формулируются на алгебраическом языке. Таким образом, формирование таких понятий, как наименьшее (или наибольшее) значение квадратичной функции, неограниченность сверху (или снизу) происходит с опорой на наглядные представления. Школьники должны знать и о симметрии графиков функции относительно оси OX при противоположных значениях a, и об изменении «крутизны» параболы при изменении a.

Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид. И здесь также коэффициент получает ясную геометрическую интерпретацию. При этом справедливо следующее утверждение: чтобы построить график функции, где cзаданное положительное число, надо сдвинуть график функции вдоль оси OY на c единиц масштаба вверх; чтобы построить график функции, где cзаданное положительное число, надо сдвинуть график функции вдоль оси OY на c единиц масштаба вниз.

Пример 1. Задан график функции. Построить на этом чертеже график функции .

Заметим, что при заданном значении аргумента Х0 значения функции на одно и то же число, равное 1, больше значений функции. Поэтому для построения соответствующей точки второй функции на графике достаточно поднять на одну единицу график первой функции с абсциссой Х0. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 единицу весь график первой функции. Доказывается теорема о том, что график любой функции вида может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы .

После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность: коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции достаточно простого геометрического смысла. Именно поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям, которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида. Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида, однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, так как требует дополнительных геометрических преобразований, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.

Отметим здесь один частный, но полезный прием, который состоит в использовании системы заданий, имеющих цель — дать представление о тех или иных чертах данной функции или целого класса без указания точного значения величин, связанных с рассматриваемым вопросом. Его можно назвать качественным или оценочным исследованием функции. Приведем два примера применения приема, связанные с изучением квадратичных функций.

Пример 2. На рисунке изображены графики функций и. Как относительно их пройдет график функции ;;? Это задание не предполагает «точного» построения искомого графика; достаточно лишь указание на область, где он расположен, или его эскизное построение.

Пример 3. На рисунке изображен график функции, пользуясь этим чертежом, изобразить от руки график функции. Проверить правильность сделанного эскиза, вычислить значения функции при и отметить точки графика. Каким преобразованием можно перевести график функции в график функции ?

Рис. 1 — График функции

Теперь учащиеся по коэффициентам квадратного трехчлена могут представить общий вид соответствующей параболы и вычислить координаты её вершины, путём выделения полного квадрата в данном трёхчлене. В результате выполнения практических заданий, на построение графика квадратичной функции необходимо в строгой последовательности проговорить и зафиксировать алгоритм построения функции .

В системе упражнений, учебников по алгебре, значительное место отводится задачам прикладного характера. Завершается тема рассмотрением вопроса о решении квадратных неравенств, выбор решения основан на использовании графиков.

При работе с теоретической частью и выполнении заданий учащиеся должны будут проводить наблюдение, выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, переходить от одной системы терминов к другой.

Затем отмечается, что график любой квадратичной функции — это парабола и приведены различные виды парабол.

В восьмом классе идет изучение функции, изложение материала начинается с анализа примеров реальных зависимостей. Учащимся предлагается рассмотреть зависимость времени движения пешехода от его скорости, длины стороны прямоугольника заданной площади от длины другой его стороны, количества товара, которое можно купить на определенную сумму денег, от цены этого товара. Обобщая эти примеры постепенно приходим к определению функции (называемой обратной пропорциональностью).

Все свойства и график функции в учебнике рассматриваются на примере конкретных функций (Например,). По точкам строится график данной функции и вводится его название (гипербола). Здесь из свойств выделяются только область определения, промежутки убывания и возрастания функции и делается замечание, что график данной функции не пересекает координатные оси. Исследование проводится подробно для первого случая, когда, а для второго случая () приведены только конечные выводы и результаты.

Традиционно построение графика обратной пропорциональности вызывает у учащихся трудности. Многие строят его небрежно, не соблюдая симметрии ветвей, ветви бывают очень короткие, очень часто в работах учащихся одна из ветвей гиперболы сначала приближается, например, к оси х, а затем удаляется от нее. Для предупреждения подобных ошибок очень важно проанализировать особенности графика, обратив внимание учащихся на то, что график состоит из двух ветвей, симметричных друг другу относительно начала координат. Каждая ветвь гиперболы по мере удаления от начала координат становится все ближе и ближе к осям, но не пересекает их. Бесконечное приближение ветвей к осям координат можно проиллюстрировать в ходе небольшого числового опыта: например, подставить в формулу вместо х несколько достаточно больших чисел в порядке их возрастания и понаблюдать, как изменяется при этом значение .

Глава 2. Практическое применение ИКТ при изучении линий второго порядка учащимися

2.1 Систематизация ЦОР, содержащих линии второго порядка

Анализируя компьютерные программы, рассмотрим те, которые помогают решать задачи, изучать свойства линий второго порядка, а также строить графики функций, задающих данные линии. К этим программам относятся: математический пакет «MathCAD», программы «Maple» и «Живая геометрия», а также такая программа, как «Advanced Grapher».

Математический пакет «MathCAD» — универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета — естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Имеет операторы для построения двухмерных графиков. Для построения линий второго порядка в MathCAD необходимо:

задать диапазон значений аргумента;

задать функцию;

установить курсор в то место, где должен быть построен график.

Главным достоинством пакета являются:

простота в использовании;

проведение численных и аналитических математических расчетов;

получение различной справочной информации из области математики и многое другое.

Недостатки программы:

не задает направление системы координат;

не задаёт название осей системы координат. [8.С.543]

Программа «Maple" — система компьютерной математики, способная выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Maple позволяет:

строить графики многих функций, также и графики линий второго порядка с различными типами осей (с линейным и логарифмическим масштабом);

строить графики функций в декартовой и полярной системах координат;

задание пользователем окраски графиков.

Недостатки программы:

не задает направление системы координат;

не задаёт название осей системы координат;

необходимо знать много названий, помогающий задать функцию, цвет линии, толщину линии и т. д. [11.С.3−16]

Программа «Живая геометрия» — электронный альбом для геометрических чертежей. При помощи этой программы выполняются построения линий второго порядка. Программа позволяет:

Создавать хорошие чертежи, проще, чем на бумаге;

" Оживлять" их, плавно изменяя положение исходных точек («мышкой» илиавтоматически.). Дает возможность:

создавать десятки обучающих и исследовательских «живых» чертежей;

использовать архивы чертежей;

обозначать каждую построенную прямую или отмеченную точку буквой английского или русского алфавита. [8.С.359−360]

Программа «Advanced Grapher» — мощная и простая в использовании программа для построения графиков и их анализа. Дает возможность строить графики линий второго порядка. Поддерживает построение графиков функций вида Y (x), X (y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями.

Вычислительные возможности: нахождение нулей и экстремумов функций, точек пересечения графиков, уравнений касательных и нормалей. Большое количество параметров графиков и координатной плоскости. Имеет возможности печати, сохранения и копирования графиков в виде рисунков, многодокументный настраиваемый интерфейс. Поддерживает интерфейс на русском языке и при его выборе может использоваться в некоммерческих целях бесплатно.

Программа позволяет:

строить разнообразные графики на плоскости, а также проводить исследование функций;

одновременно на чертеже изобразить до 100 геометрических объектов (это могут быть графики функций, заданных явно или неявно в декартовых координатах, параметрически, в полярных координатах, а также заштрихованные области, лежащие между двумя графиками функций).

в начале работы выбрать готовый шаблон с системой координат или создать новый;

изменить систему координат и ее настройки в любой момент работы с данным чертежом;

фиксировать построенные объекты в списке функций в левой части окна программы;

скрывать отдельные функции на плоскости чертежа, отмеченные «галочкой» (это удобно для объяснения учебного материала).

Программа «MyTest» — программа тестирования учащихся, редактор тестов для создания и проведения компьютерного тестирования, сбора и анализа результатов, выставления оценки по указанной в тесте шкале.

Программа дает возможность:

создавать тесты для промежуточного и итогового контроля знаний по линиям второго порядка;

сохранить параметры тестирования, задания и рисунки в одном файле текста;

для различных заданий выставить разное время для выполнения;

быстро и относительно точно оценить большое количество испытуемых.

Обобщим возможности использования ЭСО в изучении линий второго порядка в таблицу (Таблица № 3).

Таблица 3 — Линии 2го порядка в ЦОР

Вывод: Проанализировав имеющиеся компьютерные программы по математике, позволяющие строить линии второго порядка, заключаем, что данные программы не дают возможность реализовать все дидактические единицы темы «Линии второго порядка в элементарной математике». Рассматривая таблицу, видим, что главной функцией программ является построение графиков, их визуализация и исследование свойств линии по ее уравнению. Программы «MathCAD», «Maple» и «Живая геометрия», интересны тем, что они позволяют исследовать линии, при изменении параметров в их уравнениях. Прогоамма «Advanced Grapher» позволяет не только исследовать линии, но и фиксировать построения в списке функций, а также скрывать отдельные функции на плоскости черчежа.

Программа «MyTest» не дает возможности ни строить, ни исследовать линии второго порядка. Основной функцией «MyTest» является создание тестов для усвоения и закрепления изученного материала.

2.2 Особенности использования ЦОР в изучении линий второго порядка на уроках алгебры

Для того чтобы соответствовать требованиям современного информационного общества школа должна подготовить выпускников, которые являются не только хорошими специалистами в своей области, но и владеют одной из ключевых компетенций — умением применять информационно-коммуникационные технологии. Использование ИКТ в обучении способствует активизации образовательного процесса, развитию познавательного интереса и, как следствие, повышению качества знаний, что приводит к достижению учащимися максимальных результатов в различных областях.

Рассмотрим особенности использования описанных в работе ЦОР на уроках алгебры 7−9 классов. При проведении уроков математики с компьютерным сопровождением лучше использовать электронную версию уроков «Кирилла и Мефодия», разработки компании «Физикон», !Открытая математика. Планиметрия" (7- 9 кл.), «Открытая математика. Графики и функции» (7- 9 кл.), «Интерактивная математика» (5- 9 кл.) издательства «Дрофа», «Алгебра не для отличников» и другие. Они содержат материалы по многим темам программы, по истории математики, видеосюжеты, а иногда сопровождается и звуковым объяснением материала.

В настоящее время существует множество программ, позволяющих рисовать графики функций, выполнять построения, проводить доказательства, проводить исследования и т. д. Они позволяют давать иллюстрацию важнейших понятий, причем сделать это наглядно и быстро, что повышает и активизирует познавательную активность учащихся. Появляется возможность оптимально сочетать практические и аналитические виды деятельности в соответствии с индивидуальными особенностями каждого ученика. К таким программам относятся: «Живая геометрия», «Mathcad», «Maple». Одной из таких программ является ADVANCED GRAPHER. Эта программа давно известна. Использовать ее можно практически на всех уроках при изучении графиков функций. Особенно эффективно применение программы при изучении следующих разделов математики:

взаимное расположение графиков линейных функций (7 класс);

графический способ решения системы линейных уравнений (7 класс);

графический способ решения уравнений (8 класс);

построение графика квадратичной функции (9 класс);

графический способ решения систем уравнений (9 класс);

ADVANCED GRAPHER можно использовать и на внеклассных занятиях, так как программа позволяет строить кривые, заданные параметрическими уравнениями или уравнениями в полярных координатах, изображать на плоскости области, являющиеся решением неравенств.

Проектная деятельность на основе ИКТ позволяет разнообразить учебную деятельность. При этом повышается мотивация учащихся к самостоятельному изучению математики.

Плюсы и минусы при использовании ИКТ на уроках Положительные стороны использования ИКТ:

Конечно же, использование компьютера в учебном процессе способствует:

развитию познавательного интереса;

активизирует речемыслительную деятельность;

позволяет в увлекательной творческой форме продуктивно решать все задачи урока;

индивидуализация обучения, позволяющая ученику развиваться в соответствии с его способностями и особенностями.

Компьютер в школе, особенно в кабинете математики — это не просто атрибут современного урока, это, прежде всего, возможность повышения мотивации к изучению математики, повышения качества обучения и развития творческих способностей учащихся. Создавая презентации, весь материал «как на ладони», наглядность, доступность и т. д. Большая экономия времени на уроке при использовании ИКТ, в этом я убедилась на практике.