Модель межотраслевого баланса

Сбалансированное развитие отраслей народного хозяйства страны (района) осуществляется на основе разработки межотраслевого баланса производства и распределения продукции. Модель межотраслевого баланса (МОБ), представленная в матричной (табличной) форме, отражает производство и распределение общественного продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Математическая модель МОБ (на основе учета межотраслевых материальных связей в статической форме) выглядит как.

где - валовой выпуск продукции i-й отраслью в данном году; - коэффициент прямых затрат продукции i-й отрасли на единицу выпуска j-й отрасли; - валовой выпуск продукции j-й отраслью; yi — конечный продукт i-й отрасли.

Модель межотраслевых материальных связей используется в краткои среднесрочном прогнозировании для многовариантных расчетов сбалансированного развития экономики страны (региона). Можно выделить три типовые задачи:

• 1) определение сбалансированных выпусков отраслей, обеспечивающих задаваемые варианты конечного спроса;
• 2) определение объемов конечного спроса исходя из заданных выпусков отраслей;
• 3) расчеты сбалансированных объемов выпуска и конечного спроса со смешанным составом неизвестных.

Среди математических моделей широкое применение при размещении производительных сил получили оптимизационные, в первую очередь модели линейного программирования: транспортная, транспортно-производственная и распределительная задачи. Базовой среди названных выше моделей является транспортная задача линейного программирования, две другие — ее обобщения.

Модель транспортной задачи линейного программирования

Эта модель позволяет определить оптимальную схему перевозок между производителями и потребителями продукции. В общем виде ее можно сформулировать следующим образом.

В пунктах производится некий однородный продукт. Объемы производства соответственно равны . Указанный продукт потребляется в п пунктах (). Спрос на продукт в пунктах соответственно равен . Предполагается, что общий объем производства равен общему потреблению продукта:

Транспортировка продукта возможна из каждого пункта производства в любой пункт потребления. Известны также транспортные затраты на перевозку единицы продукта из 2-го пункта производства в j-й пункт потребления (сij).

Необходимо определить такое прикрепление поставщиков к потребителям, которое обеспечило бы минимальные транспортные затраты, связанные с доставкой продукции из пунктов производства в пункты потребления.

Если обозначить величину потока из i-го пункта производства в j-й пункт потребления через xij, то краткая запись транспортной задачи линейного програ? ммирования будет иметь следующий вид.

Требуется определить набор X величин (, ), удовлетворяющих условиям.

и минимизирующих линейную форму.

Аналитических методов решения транспортной задачи много. Рассмотрим один из них — метод потенциалов. Решение транспортной задачи методом потенциалов осуществляется поэтапно, постепенным приближением к оптимальному варианту (плану). Расчет и анализ вариантов удобно проводить по таблице (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Анализ вариантов решения транспортной задачи

Шаг 1. Построение исходного опорного плана (метод минимального элемента). Решение начинается с определения первоначального базисного варианта поставок. Составляется исходный опорный план рассматриваемой задачи. Для этого во множестве удельных транспортных издержек (матрице транспортных затрат С) выбирается наименьшая себестоимость перевозок (минимальный элемент). В соответствующую клетку расчетной таблицы записывается поставка .

Возможны два варианта: и . В первом случае определяются элементы i-й строки матрицы (плана) , которые кроме элемента равны нулю. Во втором — элементы j-го столбца, которые кроме элемента равны нулю. Вычеркивается из матрицы С либо i-я строка, либо j-й столбец, получается матрица С1. Далее проводятся уже описанные операции применительно к матрице С, и величинам . В результате заполняется еще одна линия (строка или столбец) матрицы X и т. д. Процесс продолжается до полного заполнения матрицы . Всего должно быть заполнено клеток.

Если число прикреплений не равно , то план называется вырожденным. Чтобы этого не произошло, необходимо искусственно загрузить недостающее количество клеток матрицы, для чего в них записывается 0. В последующих расчетах с этой клеткой оперируют как с загруженной. Нуль следует ставить в ту клетку, которая лежит на пересечении строки или столбца, не имеющих потенциалов, со строкой или столбцом, для которых потенциалы уже определены.

Шаг 2. Проверка оптимальности плана перевозок. Допустимый план прикрепления тогда и только тогда является оптимальным, когда каждому пункту производства и потребления можно сопоставить оценки (потенциалы), удовлетворяющие условиям:

а) для пунктов потребления и производства, между которыми запланированы перевозки, разность потенциалов должна совпадать с удельными транспортными затратами между этими пунктами:

б) для всех остальных пар пунктов эти же разности не должны превосходить удельных транспортных затрат между ними:

где - потенциал столбца; - потенциал строки.

По?тенциалы определяются по следующему правилу. Для одной из строк (отправителей) принимают потенциал Ui, равный 0. Остальные потенциалы определяются по загруженным клеткам исходя из следующих формул:

• для строк.

• для столбцов.

В заключение шага рассчитываются характеристики незагруженных клеток по формуле.

Если имеется хотя бы одна отрицательная характеристика, то переходят к шагу 3.

Шаг 3. Составление нового плана перевозок. 1. Выбирается клетка с наибольшей отрицательной характеристикой, и для нее строится замкнутая цепь. Цепь строят следующим образом. От выбранной незагруженной клетки проводят прямую линию по строке либо по столбцу до загруженной клетки, которой, в свою очередь, должна соответствовать еще одна загруженная клетка под прямым углом. И так до тех пор, пока линия не замкнется в исходной клетке. Вид цепи может быть разнообразным, однако все углы цепи должны быть прямыми, число вершин цепи — обязательно четное. Клетки, где горизонтальные и вертикальные линии цени пересекаются, не являются вершинами цепи. Вершиной цепи является лишь та загруженная клетка, где эти линии образуют один прямой угол.

• 2. Всем вершинам цепи поочередно, начиная с клетки, для которой строится цепь, присваиваются знаки «+» и «-». Из всех клеток, обозначенных знаком «-», выбирается наименьшая цифра загрузки.
• 3. Эта величина перераспределяется по цепи (прибавляется к загрузкам положительных клеток и вычитается из загрузок отрицательных клеток), составляется новый план перевозок.

Шаги 2 и 3 последовательно повторяются до получения во всех клетках положительных характеристик. Последнее говорит об оптимальности полученного плана перевозок.