Биномиальная модель оценки опциона колл (дискретное рассмотрение выгод инвестирования)

Биномиальная модель оценки справедливой цены опциона в текущий момент времени (t = 0) строится на простейшем допущении о поведении цены базового актива — рост или падение с заданными характеристиками. Представление модели обычно строится для европейского опциона, который может быть исполнен жестко в день исполнения (или погашения). Если в качестве актива рассматривается акция, то для упрощения предполагается, что дивиденд по ней не выплачивается в течение срока действия опциона. Исходные условия модели: для каждого периода существует только две возможности движения цены актива (акции): вверх до значения Su (вверх — up) или вниз до значения Sd (вниз — down). Предполагается известной вероятность изменения цены Цена опциона выводится методом формирования такого замещающего (дублирующего) портфеля из активов, доступных инвестору на рынке, который обеспечивал бы такой же денежный поток инвестору, что и анализируемый опцион колл. Предполагается, что на рынке инвестору доступен базовый актив, на который создается право покупки (рассматривается опцион колл) и безрисковые варианты инвестирования и займа, т. е. инвестору доступны безрисковые ценные бумаги. В результате арбитражных операций на совершенном рынке активы и портфели активов будут оцениваться по прогнозируемым денежным потокам и риску, связанному с получением этих потоков. Строя портфель с денежными потоками, совпадающими с потоками по опциону, можно утверждать, что Справедливая цена опциона = Приведенная оценка потоков дублирующего портфеля.

Требование к дублирующему портфелю: он должен воспроизводить характеристики опциона колл (денежные потоки и риск). В противном случае инвестор получит арбитражный доход, покупая относительно дешевый альтернативный портфель такого же риска и продавая относительно дорогой.

Построить этот портфель можно, в частности, из некоторого количества базового актива и безрисковых ценных бумаг (например, государственных облигаций).

Цена колл зависит от цены базового актива. Пусть при цене актива цена опциона равна в момент времени t, а при цене актива справедливая цена опциона равна

Построение дублирующего портфеля включает: 1) операции с безрисковыми облигациями в денежном выражении В (В = Цена облигации х Количество облигаций в портфеле); 2) покупку базовых активов в количестве R. Это количество покупаемых активов определяется из соотношения.

Для однопериодного действия опциона, когда известны цены актива будущего периода, можно рассчитать цену опциона на конец периода t = 1. Также может быть найден портфель (определено число покупаемых для построения портфеля базовых активов и число безрисковых облигаций). Портфель создается для каждого временно? го периода (т.е. для каждого периода в модели определяются значения и ), что позволяет рассчитать его оценку и соответственно оценку опциона (текущую оценку опциона как актива, генерирующего денежные потоки на каждом временно? м промежутке). Конечным результатом итеративного процесса расчета оценки опциона будет оценка дублирующего портфеля для t = 0, составленного из R базовых активов и денежной оценки В безрисковых ценных бумаг. Если полученное значение отрицательно (R < 0), это означает продажу активов и ссужение денег. Если сумма безрисковых облигаций отрицательна (В < 0), это означает продажу безрисковой облигации или получение ссуды (заимствование) по безрисковой процентной ставке.

Цепа колл (оценка опциона) = С = Текущая цена актива х R- Привлечение денежных средств для покупки активов = SR — В.

Пример^[1]

Рассмотрим опцион колл на акцию с ценой исполнения 50 долл. и сроком опциона два года. Текущая цена акции — 50 долл. Дивиденды не выплачиваются, и исполнить опцион можно только в конце второго года (рассматривается европейский опцион).

Прогнозируются следующие значения цены акции по двум годам:

Для каждого года построим дублирующий портфель, комбинируя шт. акций и привлекая денежных средств для получения такого же денежного потока, какой генерирует опцион колл с целой исполнения 50 долл. Итеративный процесс начинается с последнего года до исполнения опциона и доходит до года 1. Денежные потоки получают в зависимости от нахождения по «ветвям событий» обозначения «21» «22», что соответствует году 2 ветви 1 и году 2 ветви 2.

Построим портфель года 2, если цена акции в году 1 поднимется до 70 долл. (это ветвь 1). Денежные потоки по опциону колл примут следующий вид.

Оценка колл совпадает с оценкой портфеля при равенстве денежных потоков по году 2 на ветви 1:

При решение системы уравнений относительно R21 и B21 дает следующие значения: R21 = 1, В21 = 45. Если цена акции в году 1 равна 70 долл., то при займе 45 долл. и покупке одной акции инвестор получит такой же денежный поток, что и при покупке опциона колл. Цена колл на момент времени t= 1, при цене акции 70 долл. равна (70)(/221) — В2 = 25 (долл.).

Если в момент времени t = 1 цена акции равна 35 долл. (это ветвь 2), то денежные потоки, но опциону имеют следующий вид.

Система уравнений имеет решение R22 = 0, В22 = 0.

При цене акции, равной 35 долл. в момент времени ¢=1, опцион колл ничего не стоит.

Построим замещающий портфель для года 1, когда цена акции может подняться с 50 до 70 долл. или опуститься до 35 долл. Денежные потоки по опциону колл имеют следующий вид.

Решая систему уравнений.

находим, что для построения портфеля с таким же потоком, что и опцион колл, нужно купить 0,71 акции и занять 22,5 долл.

Оценка колл проводится по базовому соотношению (S)® — В = (5/7) (50) — 22,5 = 13,2 долл. Таким образом, в опционе колл с ценой исполнения 50 долл. и сроком два года при рассмотренных допущениях о возможных ценах акции справедливая цена опциона равна 13,2 долл.

• [1] Damodaran A. Dainodaran on Valuation: Security Analysis for Investment and Corporate Finance. N. Y.: John Wiley&Sons, Inc., 1994. P. 326−328.