Статистическая интерпретация волн де Бройля

Экспериментальное подтверждение существования волновых свойств электронов и других микрочастиц привело на первых порах к предположению, что электрон представляет собой волновой пакет.

Основания для этого были такие: волновой пакет — пространственно локализованное образование — и область локализации можно отождествить с размерами частицы; групповая скорость волны де Бройля для частицы совпадает со скоростью ее движения.

Однако имеются серьезные возражения против этих аргументов.

• Волновой пакет перемещается как целое, без изменения своей первоначальной формы, лишь при отсутствии дисперсии. Это отражается, например, в формуле (1.54) в том, что при ее выводе в (1.53) отбрасывался третий член разложения, который описывает дисперсию волн. Если учесть этот отброшенный член, то окажется, что волновой пакет не сохраняет своей формы. Он расплывается со временем: амплитуда его непрерывно уменьшается, а ширина — увеличивается. Физически это связано с тем, что при наличии дисперсии плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с разными скоростями, поэтому более быстрые составляющие волны убегают вперед, а более медленные — отстают. В итоге происходит искажение волнового пакета и его расплывание. Нетрудно убедиться, что волна де Бройля обладает дисперсией. Например, в случае нерелятивистской частицы фазовая скорость волны де Бройля равна.

= — (А.). Учет третьего члена разложения в форму ле (1.53) приводит к появлению в фазе волны (1.54) дополнительного.

(к-к₀) ^(о члена, зависящего от времени: ———/. Если центр пакета в.

2 dk²

начальный момент времени находится в точке х = 0, то изменение формы пакета произойдет за время т, когда дополнительная фаза.

(М)² d²со. .

станет порядка л:—-т%л. Учитывая соотношения (1.55), от;

2 dk²

сюда получаем оценку для времени расплывания волнового пакета де Бройля:

В случае макроскопической частицы (например, т— 1 г, Дх=0,1 см) время расплывания пакета т~ 10¹⁸лет. Это фантастически большое время. Для электрона (т ~ КГ²⁷ г, Дх ~ 310″¹³ см) получаем т * КГ²⁶ с. Отсюда следует, что если бы электрон был волновым пакетом, то он практически мгновенно бы расплылся. Это противоречит многочисленным фактам устойчивого существования электрона (и других микрочастиц).

• Волны обладают тем свойством, что при падении на границу раздела двух сред волна частично отражается, а частично преломляется. В отношении же электрона нет ни одного эксперимента, в котором бы проявлялась его часть, например какая-то дробная величина заряда. Во всех опытах всегда электрон выступает как целое со своим зарядом, массой. Так же, как целое, выступает фотон, например, в фотоэффекте, эффекте Комптона и др. Другими словами, в отличие от волн электрон, фотон и другие элементарные частицы обладают свойством неделимости.

Таким образом, приведенные возражения вынуждают отказаться от представления о том, что электрон (и другие микрочастицы) является волновым пакетом, составленным из плоских волн де Бройля.

Неправильным оказалось также другое предположение, что волновыми свойствами обладает только ансамбль — система большого числа электронов. Опыты Л. Бибермана, Н. Сушкина и В. Фабриканта (1949) показали, что волновые свойства присущи отдельному электрону. В этих экспериментах средний промежуток времени, разделяющий прохождение отдельных электронов через дифракционную систему, был примерно в 30 000 раз больше времени движения электрона внутри всего прибора. Ясно, что в таких условиях картина попадания отдельных электронов на регистрирующую фотопластинку никак не зависит от взаимодействия между ними. При достаточно длительной экспозиции возникает дифракционная картина, которая оказывается такой же, как в опытах по дифракции интенсивных электронных пучков. Аналогичные опыты провел венгерский физик Яноши (1957) с фотонами. Он показал, что отдельный фотон обладает волновыми свойствами. Эти опыты, собственно, можно считать подтверждением известного в оптике факта, что характер дифракционной картины не зависит от интенсивности падающего излучения.

Рассмотрим теперь мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном. Пусть электроны падают на непрозрачный экран с двумя узкими параллельными щелями. Если расстояние между щелями порядка длины волны де Бройля, то за экраном на фотопластинке возникает дифракционная картина. Она состоит из ряда параллельных светлых и темных полос. Такая картина образуется и при последовательном прохождении сквозь щели отдельных электронов. Как частица, электрон может проходить только сквозь одну из щелей. Но на фотопластинке образуется дифракционная картина, характерная именно для двух щелей. Тогда возникает вопрос: откуда электрон «знает» о существовании второй щели? Ответ был дан Н. Бором: при взаимодействии с экраном электрон ведет себя как волна. Поэтому он проходит одновременно через обе щели, так что невозможно указать, через какую именно он прошел. Когда же электрон сталкивается с фотопластинкой, то он ведет себя как частица. В этом и проявляется корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц.

Характер дифракционной картины определяется дифракционной системой. Например, дифракция на двух шелях отличается от дифракции на одной. Однако в любом случае дифракционная картина состоит из ряда темных и светлых полос. Это значит, что на фотопластинке имеются места, куда электроны в основном попадают, и места, в которые они не могут попасть никогда. Возьмем произвольную точку на фотопластинке и зададим вопрос — попадет ли в эту точку электрон после прохождения дифракционной системы? Определенного ответа дать нельзя, так как известно, что на фотопластинке должна возникнуть дифракционная картина. Можно лишь утверждать, что электрон либо попадет, либо не попадет в выбранную точку. Это значит, что предсказание о попадании дифрагировавшего электрона на фотопластинку носит вероятностный характер. На этом основании говорят, что волна де Бройля является волной вероятности. Она определяет вероятность того, что электрон находится в некоторой области пространства вблизи рассматриваемой точки. Функция, описывающая вероятное местоположение электрона, называется волновой, или ф-функцией. Ее называют также амплитудой вероятности. Идею о вероятностном толковании волновой функции выдвинул Макс Борн (1926). Эта идея позволяет сочетать волновые свойства электронов с их свойством неделимости. Например, в опытах Бибермана, Сушкина и Фабриканта вероятностный характер попадания электронов на фотопластинку проявляется в том, что вначале фотопластинка напоминает мишень с хаотически распределенными следами. Затем возникает упорядоченная дифракционная картина. И чем больше электронов попадает на фотопластинку (чем больше экспозиция), тем более четкой становится эта картина.

Таким образом, волновая функция не описывает структуру электрона, т. е. она не дает ответа на вопрос — «как устроен электрон», а описывает возможные состояния его движения. Совершенно аналогично и в классической механике рассматривают движение материальной точки, которой может быть, например, планета, обращающаяся вокруг Солнца. Изучение структуры «материальной точки» составляет предмет других разделов физики.

Как уже отмечалось, дифракционная картина наблюдается также в опытах с отдельными фотонами. Число фотонов, попадающих в некоторую точку регистрирующей фотопластинки, пропорционально интенсивности электромагнитной волны, которая определяет вероятность нахождения фотонов вблизи выбранной точки. Точно так же вероятность найти электрон вблизи некоторой точки пропорциональна интенсивности волны де Бройля, которая в свою очередь пропорциональна квадрату модуля волновой функции. Таким образом, можно считать, что величина |ф (г,/)|² представляет собой плотность вероятности того, что частица находится вблизи точки г в момент времени /. Вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV = dxdydz вблизи этой точки равна:

где ф* (г,/) — комплексно-сопряженная волновая функция.

Из соотношения (1.86) следует, что волновая функция определена с точностью до постоянного фазового множителя типа е'*, где Р — любое действительное число. Однако эта неоднозначность никак не влияет на физические результаты.

Согласно формуле полной вероятности:

Эта формула означает, что электрон (частица) обязательно где-то находится. В математическом отношении формула (1.87) представляет собой условие нормировки волновой функции. Для существования интеграла (1.87) волновая функция должна удовлетворять необходимым условиям. Если интегрирование проводится по всему пространству, то волновая функция должна достаточно быстро убывать при удалении от начала координат:

Это — естественное граничное условие. Волновая функция описывается фундаментальным уравнением Шредингера, которое рассмотрено в § 2.1. Ясно, что волновая функция должна быть однозначной, так как при обходе по любому замкнутому контуру нахождение вероятного местоположения частицы в рассматриваемой точке пространства должно быть однозначным. Другие свойства волновой функции изложены в § 2.1.

Рассмотрим снова опыт по дифракции электронов на двух щелях. Состояние электрона, пролетевшего через верхнюю щель (при закрытой нижней), описывается волновой функцией ф, (г,/), а пролетевшего через нижнюю щель (при закрытой верхней) — функцией ф₂ (г,/). Если открыты обе шели, то состояние электрона описывается волновой функцией ф = iJjj +ф₂. Это отражает принцип суперпозиции состояний. Вероятность того, что электрон, прошедший через верхнюю шель (при закрытой нижней), попадает в некоторую точку на экране (или фотопластинке) за шелями (назовем это — событием /),.

определяется как |ф,|². Аналогично, вероятность попадания в ту же точку электрона, прошедшего через нижнюю щель при закрытой верхней (событие 2), — |ф₂|². Вероятность попадания электрона в эту точку на экране при обеих открытых щелях (событие 1 + 2) определяется как |ф|²=|ф₁+ф₂|²⁼|^||²+|Ф2|²⁺^1^2+гК^г1^,2* Отсюда видно, что вероятность события 1 + 2 не равна сумме вероятностей событий 1 и 2, т. е. при попадании на фотопластинку складываются не интенсивности волн де Бройля, а их амплитуды — волновые функции. Это и приводит к картине интерференции: в некоторых местах волны усиливают, а в других — гасят друг друга.

В общем принцип суперпозиции состоит в следующем: если в данных условиях существуют квантовые состояния, которые описываются волновыми функциями ф, ф₂,…, то существует также состояние, описываемое волновой функцией ф = ^с_лф_л.

к

Рассмотрим две системы. Пусть вероятности одной из них описываются волновой функцией Ф,(г,/), а другойФ₂(г,/). Если эти системы независимы, то распределение вероятностей для всей системы в целом равно произведению вероятностей отдельных систем. Это значит, что в данном случае волновая функция системы в целом равна произведению волновых функций этих систем:

4*12 (г, г₂,/)= Ф, (г"/)Ф₂ (г₂,/).

Наличие у микрочастиц волновых свойств приводит к необходимости описания их состояний с помощью волновой функции, имеющей вероятностный смысл. Вероятностный характер приобретают также предсказания квантовой теории. При этом в отличие от кинетической теории газов, где вероятностное описание обусловлено огромным числом частиц, для которых начальные значения их динамических переменных не известны, в квантовой теории вероятностное описание объективно связано с тем, что отдельной микрочастице присущи волновые свойства.

Если задана некоторая функция Fx, y, z)= /'(г) для микрочастицы, состояния которой описываются волновой функцией ф (г), то среднее значение этой функции при условии нормировки (1.87) по общим правилам теории вероятностей определяется формулой.

Например, среднее значение координаты частицы вдоль оси х вычисляется по формуле.

Аналогично можно определить дисперсию координаты.

Для явного вычисления средних значений нужно знать волновую функцию, уравнение для которой будет рассмотрено в гл. 2.

Функцию ф (г) называют волновой функцией в координатном представлении. С ее помощью определяют вероятное местоположение частицы. Если известна функция ф (г), то можно вычислить волновую функцию Ф (р), определяющую вероятность значений импульса в интервале р, р + dp. Действительно, волновую функцию ф (г), представляющую собой, в общем, волновой пакет, можно представить в виде разложения по плоским волнам. Согласно теореме Фурье: ф (г)= JJJ A (k_x, k_y, k_z^>)e^{, kr}dk_xdk_ydk_z. Фурье-амплитуды Л (к) определяют обращенной формулой Фурье: Л (к)=(2л) ³ fff ф (г)e~^ikrdxdydz. Для волн де Бройля к = р/h, поэтому для фурье-амплитуды волновой функции получаем формулу.

где, а — некоторая постоянная. Выражение.

(1.93).

можно рассматривать, как вероятность того, что проекции вектора импульса частицы находятся в интервале р_х, р_х +dp_x; р_уУр_у +dp_y; p_v p_z —dp_z. Функцию Ф (р) называют волновой функцией в импульсном представлении, или в р-представлении. Постоянная, а в формуле (1.92) определяется из условия нормировки:

С помощью (1.93) аналогично (1.89) можно определить среднее значение функции G (р), зависящей от импульса:

Например, р_х = f Р_Х<�ЧР_Х)(dp_x; (P_x-P_x'f=f (p_x-P_x'f^(p_xfdp_x.

В квантовой механике используют также энергетическое и другие представления^[1].

ЗАДАЧИ.

1. Найти постоянную нормировки, среднее значение и дисперсию координаты частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией |>Ы = Лехр (/Ах-х²/2л²).

Решение. Плотность вероятностей представляется гауссовой кривой оо с шириной а. Условие нормировки A² J е~^ах dx = A²yjn/a = 1, где, а = 1/а².

Отсюда А = (ял²) ^ • Среднее значение х = 0. Дисперсия (хх)² = л²/2.

2. Частица находится на отрезке 0 ^ х < х, в состоянии ф (х) = у4л: (х, — х).

Найти среднее местоположение частицы и показать, что оно отвечает максимуму плотности вероятности. w₂

Решение. Постоянная нормировки А = (зо/х₍⁵). Среднее значение Х|.

координаты x = A²Jх³(х,-х) dx-xjl. Максимум плотности вероятно;

дЫх)

сти определяется условием: —¹—*- = (). Он отвечает найденному среднему значению величины х. ***.

3. Используя соотношение (1.72), убедиться, что электрон в атоме не может рассматриваться как частица.

Решение. Действительно, согласно (1.72) в основном состоянии размер атома определяется радиусом первой боровской орбиты г, = Х,/2л. Если считать, что длина волны де Бройля характеризует размер области локализации электрона, то получается, что этот размер превосходит размеры атома. Это значит, что атом не может состоять из электронов, как частиц, так как часть не может быть больше целого.

4. Задана волновая функция Jj (x)= Лехр (-х²/2). Найти волновую функцию в импульсном представлении.

ос Решение. По формуле (1.92) ф (^)=а J ф (х)ехр (- ip_xx /й)= / / «00 = В txp-pl/2h²). Постоянная Я определяется из условия нормировки.

• [1] См., например: Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 2.— М.: Наука, 1984.