Дисперсия суммы двух переменных

Нередко мы заинтересованы в сложении результатов, полученных по двум разным тестам. Здесь важно понять, что при этом происходит с дисперсией. Мы рассмотрели это на примере наших тестов по арифметике (X) и алгебре (У) — Отметим, что среднее значение новой переменной (X + У) равно 8,0 (табл. 2.4).

Дисперсия переменной (X + У) равна.

Важным аспектом является соотношение между дисперсией суммы двух переменных и дисперсией переменных X и У. Вначале приведем само соотношение, а затем уже выведем его. Это соотношение имеет вид:

Результаты вычисления для переменной (X + У).

Таблица 2.4

Доказательство этого соотношения состоит в следующем. Рассмотрим сумму квадратов отклонений объединенной переменной от ее среднего значения.

Последний член выражения SP_X+Y представляет собой сумму произведений отклонений значений переменных X и Y от их средних значений. Если каждое слагаемое разделить на N — 1, то мы получим дисперсии из сумм квадратов и ковариацию из суммы произведений:

Отсюда следует важный вывод, что дисперсия суммы баллов, полученных из разных тестов, равна сумме дисперсий баллов исходных тестов только тогда, когда ковариация между исходными тестами равна нулю.