Энергетические методы определения перемещения

Цель: сформировать представление об энергетическом методе определения перемещений.

Упругая энергия стержня при различных видах нагружения

Помимо расчетов на прочность, при которых определяется связь между приложенными к конструкции нагрузками и напряжениями в точках конструкции, в ряде случаев возникает необходимость выполнения расчетов на жесткость — определения перемещений точек конструкции при заданных нагрузках. Необходимость в таких расчетах возникает в двух случаях: во-первых, когда по условиям работы перемещения элемента конструкции должны быть ограничены; во-вторых, когда элементы конструкции работают совместно и смещения (прогибы) одного из них приводят к перераспределению нагрузки на другие элементы.

Так, упругие элементы подвески автомобиля (пружины или рессоры) должны обладать заданной жесткостью — при слишком мягкой подвеске удары от неровностей дороги будут передаваться на корпус, а при слишком жесткой подвеске езда станет некомфортной. Здесь, в отличие от предыдущих случаев, ограничения являются двухсторонними: перемещения при заданной нагрузке должны быть не просто меньше определенной величины, а должны лежать в заданном диапазоне. При этом жесткость одних элементов подвески влияет как на работу других ее элементов, так и на напряжения в корпусе автомобиля.

При расчете вала на жесткость при кручении, ограничивают углы поворота поперечных сечений вокруг его продольной оси. Расчет на жесткость при изгибе требует предварительного изучения вопроса о перемещениях поперечных сечений балок.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную посередине силой F линия действия которой совпадает с одной из главных осей поперечного сечения балки (рис. 67).

При деформации балки центры тяжести ее поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущение о малости перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса. Эти перемещения принято называть прогибами. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, т. е. ось изогнутого бруса, условно называют изогнутой осью или упругой линией. Эта линия — плоская кривая, лежащая в силовой плоскости. Совпадение плоскости деформации с плоскостью действия нагрузки является характерной особенностью прямого изгиба.

Рис. 67. Схема балки и ее упругая линия.

При повороте поперечные сечения остаются перпендикулярными изогнутой оси бруса, что следует из справедливости гипотезы Бернулли.

Следовательно, угол поворота поперечного сечения равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.

Таким образом, ордината упругой линии и угол наклона касательной, проведенной к ней в данной точке, полностью определяют линейное и угловое перемещения соответствующего поперечного сечения балки; следовательно, отыскание этих перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.

Для обеспечения нормальной работы конструкции проводят расчет на жесткость. Условие жесткости выражается неравенством:

где у «ах — максимальный расчетный прогиб; [у] — допускаемый прогиб.

Иногда проверяется жесткость конструкции по углу поворота:

Наиболее общий метод определения перемещений в упругих системах — энергетический. В основу этого метода положено условие равенства работы внешних сил, приложенных к линейно-деформируемой системе, и энергии деформации системы.

Работа статически приложенной внешней силы, как известно, равна половине произведения конечного значения силы на конечное значение соответствующего перемещения (теорема Клапейрона).

Работа произвольной системы внешних сил равна полусумме произведений конечного значения каждой из сил f на конечное значение соответствующего перемещения Д:

В дальнейшем будем всегда считать, не оговаривая этого специально, что речь идет именно о конечных значениях статически приложенных сил и соответствующих перемещений. При применении энергетического метода как линейные, так и угловые перемещения обозначают Д с тем или иным индексом.

Формула (89) представляет собой общее выражение теоремы Клапейрона для произвольной системы сил. Было бы ошибочным считать эту зависимость составленной на основе принципа независимости действия сил — здесь каждая из сил умножается на перемещение, которое зависит от всех приложенных сил.

При изгибе и при других видах деформации, в балке накапливается потенциальная энергия, численно равная работе, совершаемой внешними силами. При статическом приложении внешних сил они увеличиваются медленно от нуля до полного значения, и, согласно закону Гука, соответственно увеличивается деформация. Работа внешнего момента w=A/-0/ 2, где 0 — угол поворота сечения, в котором приложен изгибающий момент.

Выделим из балки, находящейся в состоянии чистого изгиба, бесконечно малый участок длиной dz = pdO (рис. 68).

Рис. 68. Схема к определению величины потенциальной энергии выделенного элемента.

Работа, совершаемая изгибающими моментами:

Длина нейтрального слоя не изменяется и равна начальной длине элемента dz:

откуда.

Учитывая выражение 1/р = М_х /Е J_xy для кривизны нейтрального слоя получим

Тогда работа, совершаемая изгибающими моментами, будет равна.

Работа, совершаемая при изгибе моментами, численно равна потенциальной энергии деформации, накапливаемой элементом:

Проинтегрировав последнее выражение, получим выражение для потенциальной энергии, накапливаемой балкой длиной ( при изгибе:

С учетом поперечных сил формула для вычисления энергии деформации при прямом поперечном изгибе:

Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами F величина энергии U равняется.

а при кручении Тогда полная энергия внутренних сил стержня (внутренних силовых факторов) длиной I равна сумме элементарных работ:

где М_х, М_уу Т, Q_x, Q_y и N — есть функции соответствующего внутреннего силового фактора отz; а к_х, к_у- безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, например, для прямоугольника к_х — ку= 1,2, а для двутавра при изгибе в плоскости его стенки к = AfA_cm, где А — площадь всего сечения двутавра, А_ст — площадь стенки.