Вынужденные колебания. 
Резонанс

Большими потенциальными возможностями располагает учитель при создании оптимальных условий для развития творческого мышления учащихся при изучении различных типов колебаний. Изучение вынужденных колебаний начинается с повторения сущности свободных колебаний и условий их существования. Далее дополняется, что в большинстве случаев на колебательную систему кроме внутренней действует внешняя сила. Колебания, возникающие при этом, называют вынужденными.

После такого вводного сообщения с целью создания посильного затруднения уместно перед учащимися поставить вопрос: всегда ли действие внешней силы приводит к возникновению вынужденных колебаний в системе? Возникает проблемная ситуация, которая порождает у учащихся противоречие между известными знаниями: колебательное движение — движение с переменной скоростью, а следовательно, происходящее под действием силы. Повседневный опыт и жизненные наблюдения убеждают их также в том, что действующая на тело сила приводит его необязательно в колебательное движение, например: переменное поступательное движение под действием постоянной по направлению силы или вращательное движение под действием постоянной по значению, но меняющейся по направлению силы. Это четвертый тип проблемной ситуации.

Условия анализа наталкивают учащихся к поисковой работе. В итоге они приходят к выводу о необходимости проведения эксперимента. Некоторые варианты его подсказываются самими школьниками.

Наиболее удобный опыт: на демонстрационном столе помещаются нитяной маятник и груз на пружине. Демонстрируем возникновение вынужденных колебаний тела под действием повторяющихся толчков, получаемых от руки демонстратора. Здесь же показываем отсутствие колебаний под действием силы, постоянной по направлению (воспользовавшись динамометром, можно продемонстрировать постоянство силы и по значению).

На основе подобных наблюдений приходим к выводу: вынужденные колебания тела могут существовать под действием силы, сообщающей ему повторяющиеся кратковременные импульсы, или силы, значение и направление которой меняются с течением времени.

После этого совместно с учащимися анализируем место и значение для практики вынужденных колебаний, поддерживаемых силой, изменяющейся периодически (например, по гармоническому закону).

Поисковая работа учащихся продолжается при раскрытии вопроса: какую роль играет вынуждающая сила при вынужденных колебаниях тела? На основе исследовательской работы школьников, сопровождаемой демонстрационными опытами, приходим к умозаключению: для возникновения и свободных, и вынужденных колебаний необходима внешняя сила, которая выводит систему из положения устойчивого равновесия. Свободные колебания после этого происходят без внешнего воздействия; то же самое нельзя сказать о вынужденных колебаниях. Следовательно, в случае вынужденных колебаний внешняя сила играет двоякую роль: во-первых, она раскачивает тело, т. е. за счет работы этой силы системе сообщается первоначальный запас энергии; во-вторых, работа этой силы идет впоследствии на пополнение расходуемой механической энергии, поддерживая тем самым колебательное движение. Следует подчеркнуть, что колебания в системе под действием вынуждающей силы будут происходить с частотой изменения этой силы. Однако установление этой частоты произойдет только по истечении некоторого промежутка времени, называемого временем установления вынужденных колебаний. В начале же процесса вынужденные колебания в системе будут накладываться на ее свободные колебания — режим установления вынужденных колебаний.

Далее делается вывод о том, что выявленные особенности вынужденных колебаний относятся как к механическим, так и к электромагнитным колебательным системам. В подтверждение этому демонстрируется осциллограмма колебаний, даваемых звуковым генератором (показывается тем самым характер вынуждающей силы). Затем к осциллографу подключается колебательный контур, в котором возникают вынужденные колебания под действием ЭДС того же звукового генератора.

После разбора нескольких примеров вынужденных колебаний в механических колебательных системах говорим учащимся, что примером вынужденных колебаний в электрических системах является используемый нами в промышленности и быту переменный электрический ток. После такого введения начинаем рассматривать законы переменного тока. С точки зрения развиваемой нами концепции наибольший интерес представляет вопрос о резонансе.

Изучение резонанса мы отводим к концу изучения темы «Переменный ток» и рассматриваем его как явление, наблюдаемое и в механических, и в электрических колебательных системах. В данном случае имеется возможность показать и использовать в качестве методического приема плодотворность единого подхода к изучению колебаний разной физической природы. В связи с этим уместно привести высказывание академика Л. И. Мандельштама о том, что «каждая из областей физики — оптика, механика, акустика — говорит на своем „национальном“ языке. Но есть „интернациональный“ язык — это язык теории колебаний. Она вырабатывает свои специфические понятия, свои методы, свой универсальный язык. „Интернационализм“ теории колебаний придает ей колоссальное значение. Изучая одну область, вы получаете тем самым интуицию и знание совсем в другой области. Темные места оптики освещаются как прожектором при изучении колебаний в механике и т. д.» [15, с. 203]. Необходимость использования результатов, полученных в одной области, в других областях знаний появляется в том случае, когда проведение точных экспериментов или количественных расчетов в одной из этих областей затруднено.

Подобная же ситуация складывается и при изучении резонанса в средней школе. Известно, что вынужденные колебания в механических системах изучаются в школе на качественном уровне, а при изучении переменного тока учащиеся в итоге подводятся к количественной закономерности изменения значения тока в зависимости от вынуждающей силы (10 и от параметров колебательной системы R, L, С, которая называется законом Ома для электрической цепи переменного тока. Следовательно, появляется возможность получения условий резонанса теоретически в противовес существующему эмпирическому подходу. Полученные при этом условия резонанса в электрических колебательных системах обобщаются далее на случай механических колебаний. Использование единого подхода к изучению резонанса в средней школе расширяет возможности глубокого и всестороннего анализа явления, особенно если оно изучается проблемно.

Рассмотрим методику проблемного изучения явления резонанса.

Подготовка к усвоению темы начинается с повторения основных вопросов, относящихся к возникновению вынужденных колебаний. Выясняется, что любая колебательная система характеризуется параметрами, которые однозначно определяют частоту собственных колебаний в системе. Действие на систему периодической внешней силы ведет к изменению характеристик колебаний: частоты, амплитуды и др. При вынужденных колебаниях одна из важных характеристик — амплитуда — зависит от параметров не только вынуждающей силы, но и от самой системы. Интересным является случай, когда при определенном соотношении параметров самой системы и вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает.

После этого на столе собираются установки, с помощью которых демонстрируется резонанс в механической и электрической колебательных системах. При этом выясняется сущность явления: резкое увеличение (при соблюдении определенных условий в десятки и сотни раз) значения наблюдаемой величины — в механических системах амплитуды юз смещения (и связанных с ним величин), а в электрических — значения тока и напряжения. Обращаем внимание учащихся на то, что условия возникновения резонанса одинаковы для механических и электрических колебательных систем. Поэтому выводы, полученные для одних, могут быть распространены на другие колебательные системы.

Затем перед учащимися ставится вопрос: каковы условия возникновения резонанса? Возникает проблемная ситуация. Учитель в этом случае может требовать от учащихся не только перечисления предполагаемых условий возникновения резонанса, но также названия метода, с помощью которого можно проверить гипотезу. Большинство учащихся склонны к экспериментальной проверке условий. Однако учитель, не отрицая такой возможности, предлагает путь теоретического решения проблемы.

Вспоминаем и записываем на доске закон Ома для амплитудных значений переменного напряжения и тока:

Записанной формуле даем комментарии с точки зрения теории вынужденных колебаний (переменный ток — пример вынужденных колебаний). Выясняется, что значение тока 1_т в цепи зависит от значения напряжения U_m, за счет которого происходит изменение тока в цепи, от частоты оэ изменения напряжения и от параметров цепи R, !, С. Амплитудное значение тока при фиксированных значениях параметров цепи будет зависеть только от параметров вынуждающей силы, т. е. от напряжения. Учащимся предлагается исследовать эту зависимость. При этом они высказывают свои гипотезы и пути их доказательства. Из множества предложений выбирается следующий план исследования зависимости:

• 1) предполагаем, что частота напряжения не меняется. В таком случае во сколько раз увеличивается амплитуда напряжения, во столько же раз увеличивается амплитуда тока;
• 2) предполагаем, что амплитуда напряжения не меняется, а меняется его частота.

В этом случае значение 1_т зависит только от значения разности индуктивного и емкостного сопротивлений. Причем максимум значения тока будет наблюдаться в том случае, когда со! — 1/соС = 0, или.

Иными словами, при равенстве индуктивного сопротивления цепи ее емкостному сопротивлению наблюдается резонанс тока. Из последнего соотношения получаем.

Делаем вывод: условием резонанса в цепи переменного тока при фиксированном значении амплитудного напряжения является равенство частоты изменения напряжения и собственной частоты цепи. Отмечаем сразу, что добиться равенства указанных частот можно, меняя частоту напряжения или параметры цепи L и С (или один из параметров). Далее говорим, что в цепи под действием внешнего напряжения изменяется не только значение тока, но и падение напряжения на каждом элементе электрической цепи. При резонансе падение напряжения на реактивных элементах L и С может во много раз превосходить амплитудное значение внешнего напряжения (этот вопрос также можно изучать проблемно). Отсюда — требование к технике безопасности при работе с цепями переменного тока.

Учащиеся убедились, что увеличение амплитуды вынужденных колебаний наблюдается только при определенном сдвиге фаз между смещением (или скоростью) и вынуждающей силой. Этот факт вновь демонстрируется на примере нитяного маятника. При этом ставится вопрос: чему равна разность фаз между характеристиками вынужденных колебаний и вынуждающей силой при резонансе? Вновь возникает проблемная ситуация. Она вызвана недостаточностью знаний учащихся и незнанием способа решения поставленной задачи (четвертый тип проблемной ситуации). При анализе ситуации предлагаются различные варианты решения. Учебная проблема формулируется следующим образом: как определить существующую разность фаз?

Решить проблему можно на основе анализа колебаний того же маятника. Мы идем по пути теоретического решения проблемы. При этом исходим из известного учащимся факта, что в условиях резонанса разность фаз между соответствующими величинами должна быть такой, чтобы колебательная система имела максимально возможное количество энергии (энергия пропорциональна квадрату амплитуды). Искомую разность фаз можно найти из формулы мощности электрической цепи переменного тока.

Из формулы следует, что мощность имеет максимальное значение при cos ф = 1 или ф = 0.

Отсюда делаем вывод: при резонансе разность фаз между внешним напряжением и силой тока в цепи равна нулю.

Поскольку механическим аналогом силы тока является скорость колебаний, то для механических колебаний условию резонанса соответствует разность фаз между вынуждающей силой и скоростью, равная нулю, или разность фаз между вынуждающей силой и смещением, равная л/2. Этот вывод можно подтвердить демонстрацией колебаний нитяного маятника (в данном случае демонстрация служит подтверждением вывода, а не наоборот). На этом заканчивается первый этап изучения резонанса. На следующем этапе анализируем резонансные кривые. Как показывает практика, анализировать резонансный процесс по представленной кривой не могут не только выпускники школ, но даже многие выпускники педвузов. Поэтому мы уделяем изучению этого вопроса особое внимание. Учащимся сообщаем следующее.

Рис. 3.4. Амплитудные резонансные кривые.

На основе теоретических расчетов и точных экспериментальных данных резонансный процесс можно представить графически на координатной плоскости «циклическая частота — амплитуда». Получаемые таким образом кривые называются амплитудными резонансными кривыми (рис. 3.4). Каждая точка кривой однозначно определяется частотой вынуждающей силы и амплитудой вынужденных колебаний. Другими словами, для данного соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты амплитуда вынужденных колебаний имеет вполне определенное и единственное значение. Для разных колебательных систем и для данного соотношения частот амплитуда колебаний будет разная. В частности, эта амплитуда будет другой для одной и той же колебательной системы при разном затухании. Таким образом, каждый график — это кривая, соединяющая точки, соответствующие амплитуде вынужденных колебаний при фиксированном соотношении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний системы. Максимум кривой, а следовательно, максимальная амплитуда соответствует соотношению частот, которая называется резонансной частотой. Резонансная кривая имеет более высокий и острый максимум при меньшем затухании колебаний в системе. Значением коэффициента затухания ограничивается достижение бесконечно больших амплитуд (например, при R — 0 для условия резонанса в цепи переменного тока имели бы значение I, равное бесконечности).

На третьем этапе рассматриваются энергетические превращения при вынужденных колебаниях и резонанс (как частный случай данных превращений). При этом объяснение опирается на анализ резонансных кривых. Содержанием излагаемого материала является ориентировочно следующее.

Вспоминаем с учащимися, что действующая на систему внешняя периодическая сила выполняет двоякую роль: с одной стороны, она сообщает ей определенный запас энергии, с другой — работа внешней силы идет на пополнение расходуемой энергии, поддерживая колебательное движение. При частоте вынуждающей силы, далекой от частоты собственных колебаний, работа внешней силы может быть как положительной, так и отрицательной. Вблизи резонанса, когда сдвиг фаз между силой и скоростью (напряжением и током для электрической системы) равняется нулю, сила совершает положительную работу в течение всего периода колебаний. Это означает, что достижение бесконечных резонансных амплитуд будет обеспечено только в тех случаях, когда (при равенстве по абсолютному значению всех импульсов) знаки большинства подаваемых импульсов будут совпадать со знаками мгновенных собственных импульсов раскачиваемого тела. Иными словами, резонансные амплитуды достигаются за счет многократного сообщения колебательной системе энергии. В этом случае колебательная система «аккумулирует» передаваемую энергию, за счет которой в дальнейшем наблюдается резкое возрастание энергии системы.

Если вынуждающая сила и скорость колеблются с разностью фаз л/2 (при этом сила и смещение колеблются в противофазе), т. е. когда сила в течение половины периода ускоряет движение, а в течение другой половины периода тормозит его, то работа внешней силы за период равна нулю. Отсюда следует, что вне области резонанса внешняя сила производит лишь незначительную работу по раскачиванию системы. При резонансе же сила и скорость совпадают по фазе, что и приводит к передаче в систему максимальной энергии от внешнего источника и к установлению большой амплитуды колебаний. При резонансе в системе с малым затуханием достаточно малой силы для поддержания большой амплитуды колебаний.

Дома учащимся предлагается разобраться с вопросом: почему в реальных колебательных системах резонансная амплитуда достигается при частоте вынуждающей силы, несколько меньшей частоты собственных колебаний системы? Такое задание творческого характера обеспечивает более глубокое усвоение пройденного материала, закрепляет навыки поисковой работы учащихся.

Таким образом, при проблемном изучении явлений, уже знакомых учащимся из других разделов физики, задача, решаемая учителем, несколько отличается от подобной задачи, которая решается при проблемном изучении новых для учащихся физических явлений. Выше было указано, что для урока, посвященного изучению известного учащимся явления, характерно наличие этапа актуализации знаний.

Контрольные вопросы и задания

• 1. В чем состоит сущность единого подхода к изучению колебаний разной физической природы?
• 2. Назовите основные этапы формирования понятия «колебательная система».
• 3. Дайте сравнительный анализ колебательных процессов в идеальных механических системах и в колебательном контуре.
• 4. Назовите основные типы колебаний, изучаемые в курсе физики общеобразовательных учреждений.
• 5. Назовите основные характеристики колебательного процесса.
• 6. Какие превращения претерпевает энергия в идеальных и реальных колебательных системах?
• 7. Дайте научно-методический анализ содержания основных понятий раздела «Колебания».
• 8. Какова роль аналогий при изучений колебательных процессов разной физической природы?
• 9. Раскройте основные этапы проблемного обучения при изучении темы «Вынужденные колебания. Резонанс».