«Размытые» множества. 
Педагогика

Для обработки и представления результатов мониторинга сегодня используют новейшие разделы математики: матричный и факторный анализ, теорию игр, массового обслуживания, теорию управления сложными системами, методы динамического программирования, микроанализ. Приведем пример новой математической теории, с которой еще мало знакомы педагоги, но которой, судя по всему, открывается большое будущее именно в педагогике.

Как известно, в нашей науке нет категорических утверждений типа «да» — «нет», нет ярко выраженного «черного» и «белого». Вся ее действительность — тысячи полутонов всех оттенков, характеристики, расположенные между не всегда четкими минимумом и максимумом. Для описания этой реальности требуется особая математика, такая, где бы фигурировали не грубые дискретные переходы, а плавные изменения — «меньше», «чуть меньше», — которые тем не менее можно было описать на строгом языке, чтобы ЭВМ оперировала ими как изменяющимися вел и ч и н, а м и.

Теория «размытых» (нечетких) множеств разработана более полусотни лет назад американским ученым Л. Заде. Па ее языке удается описать довольно аморфные представления, которых так много в педагогике. Например, утверждение «молодой» па языке теории нечетких множеств будет записано так: молодой = 0,1/15 + 0,9/20 + 1/25 + 0,7/30 + + 0,2/40 + 0,1/50. Числа 15, 20, 30, 50 означают возраст. Молодому может быть и 15, и 20, и даже 50 лет. К каждому возрасту «привешены» меры близости. Для 15 лет мера невелика — всего 0,1, так же как и для 50. Зато для 25 лет максимальна — 1. Можно пойти дальше — вычислить утверждение «очень молодой». Оно будет выглядеть так: очень молодой = молодой² (молодой в квадрате). «Не очень молодой и не очень старый = (молодой)² (старый)². Дряхлый — очень-очень старый = (старый у.

Алгебра Л. Заде имеет свои правила, с помощью которых происходит объединение и разъединение множеств, концентрация и разложение элементов, уменьшение или увеличение нечеткости. На ее языке удается количественно описывать различные педагогические утверждения.

Попробуем, пользуясь алгеброй Л. Заде, провести анализ понятий «морально воспитанный» и «морально невоспитанный». Как известно, сформированность этих качеств у человека зависит от многих факторов. Простейшая связь прослеживается между возрастом и сформированностью моральных качеств. При этом большинство педагогов приходит к выводу, что основные моральные качества человека должны быть на надлежащем уровне сформированы уже к 15-летнему возрасту, то есть до 9-го класса общеобразовательной школы.

Так вот, «морально воспитанный» языком теории нечетких множеств будет записан так: «морально воспитанный = 0,1/1 + 0,2/2 + 0,¾ + + 0,4/4 + 0,5/5 + 0,6/10 + 0,7/12 + 0,8/13 + 0,9/14 + 1/15 + 1/20 + + 1/25 + 1/35 + 1/40 + 1/50». Числа 1—50 означают возраст (годы). Числа 0,1 — 1 означают меру близости. Для одного года эта мера незначительная (всего 0,1). Для 15 лет должна быть максимальной (1) и уже не снижается с возрастом. Если этот фактор (возраст) скорректировать всеми другими факторами, влияющими на моральную воспитанность человека, то получим хотя и очень громоздкую, но все же математическую запись процесса. Объем вычислений для современных скоростных ЭВМ не является препятствием. Если мы и в самом деле правильно смоделируем этот процесс, то получим количественные значения моральной воспитанности учеников на разных этапах формирования этого качества в зависимости от интенсивности влияния разных факторов.