Структурный синтез статической характеристики измерительного устройства

Погрешность приближения (6.4) (в том числе и та, которая имеет место при оптимальных значениях параметров ИУ) может превышать допустимую погрешность. В этом случае для достижения заданной точности измерений используют включение дополнительного корректирующего звена

(КЗ), нужным образом изменяющего общую статическую характеристику ИУ, или применяют специальный вычислитель результата измерений.

В первом случае функцию преобразования, схему, параметры и место включения КЗ подбирают так, чтобы общая статическая характеристика скорректированного ИУ совпадала с его желаемой характеристикой у = /_ж(х) (обычно у = х) или была достаточно близка к ней. Во втором случае результат измерений вычисляют с учетом нелинейности функции преобразования аналоговой части ИУ.

Оба способа коррекции не имеют принципиальных отличий, так как при использовании вычислителя меняется лишь способ реализации КЗ. Однако второй способ является более прогрессивным и универсальным, так как, перепрограммируй вычислитель, можно (при выходе из строя каких-либо элементов прибора) использовать новые элементы с другими характеристиками.

Расчет статической характеристики КЗ не вызывает трудностей, если это звено подключается к корректируемому ИУ одним из типовых способов: последовательно, параллельно, или встречно-параллельно (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Типовые способы включения корректирующего звена:

а, б — последовательное; в, г — параллельное; д_уе — встречно-параллельное с положительной обратной связью; ж, з — встречно-параллельное с отрицательной обратной связью; /— статическая характеристика корректируемого ИУ;

Ф — статическая характеристика КЗ Если КЗ включается последовательно (так, как показано на рис. 6.8, а) то его функция преобразования определяется, но формуле.

где /_ж — желаемая статическая характеристика (скорректированного) ИУ; ЧК — обратная статическая характеристика корректируемого ИУ.

В частности, если/_ж(х) = х, то 0(z) = |/(z). В этом случае статические характеристики КЗ и корректируемого ИУ должны быть обратны друг другу. При последовательном включении КЗ имеет значение порядок включения. Если КЗ включается перед корректируемым ИУ (см. рис. 6.8, б), то вместо (6.15) нужно записать.

Такой способ коррекции используется чаще остальных.

Если КЗ включается параллельно согласно (рис. 6.8, в), то.

При параллельном встречном включении (рис. 6.8, г)

Наконец, если КЗ включается встречно-параллельно в цепь обратной связи, то, в случае положительной обратной связи (рис. 6.8, д)

где }/_ж(г/) ^— обратная статическая характеристика скорректированного И У, а в случае отрицательной обратной связи (рис. 6.8, ж) —

Если КЗ включается в прямую цепь (рис. 6.8, е, з), то вместо (6.19) и (6.20) нужно записать соответственно.

где — обратная статическая характеристика КЗ.

Для определения оптимального способа включения КЗ можно, учитывая возможность технической реализации КЗ и сравнивая результаты расчетов для представленных вариантов, выбрать наилучший вариант.

В общем случае расчет статической характеристики КЗ выполняется поэтапным методом, или методом исключения промежуточных переменных, как это описано в параграфе 4.2. Отличие состоит только в том, что в систему уравнений, описывающих структурную схему скорректированного ИУ, включается желаемая статическая характеристика ИУ и в результате решения этой системы уравнений определяется статическая характеристика КЗ, а не общая статическая характеристика ИУ. Покажем пример такого расчета.

Пример 6.4.

Определить статическую характеристику КЗ у_ъ = /₃(г/) (звена 3 на рис. 6.9) так, чтобы в диапазоне |дг|<5 прибор имел заданную линейную статическую характеристику у-х_у если известны статические характеристики двух других его звеньев (звеньев 7, 2)

Рис. 6.9. Структурная схема ИУ.

Решение

Способ 1. Покажем сначала решение задачи методом исключения промежуточных переменных. Для этого составим систему уравнений, описывающих структурную схему ИУ (см. рис. 6.9):

В эту систему уравнений включены уравнения двух звеньев И У (см. условие задачи), два уравнения связей (уравнение сравнивающего устройства х_{ = х — у₃ и уравнение сумматора у = у_{ + у₂), а также уравнение желаемой общей статической характеристики ИУ у = х. Исключая промежуточные переменные, можно получить зависимость между входным и выходным сигналами КЗ, т. е. зависимость у₃ = f₃(y).

Система уравнений (6.21) имеет два решения:

Из них выбираем первое решение у₃ = у_3[(у), так как в этом случае нулевому сигналу на входе КЗ соответствует нулевой выходной сигнал. Таким образом, ответом к данной задаче является функция вида.

На рис. 6.10 график этой функции изображен сплошной кривой. Пунктирной кривой показано второе (неверное) решение задачи.

Рис. 6.10. Статическая характеристика корректирующего звена:

Уз (У) ~ верное решение; у₃₂(у) ~ неверное решение.

Способ 2. Структурная схема рассматриваемого И У допускает поэтапное решение задачи. На первом этапе определим статическую характеристику группы звеньев 7,2, имеющих типовое параллельное соединение.

где функция В результате структурная схема И У приводится к типовому встречно-параллельному соединению группы звеньев 1 и звена 3 с отрицательной обратной связью, для которого, согласно (6.20), можно записать.

обратна характеристике (6.23) и удовлетворяет условию 0 = xj/^O). В результате получим.

что совпадает с прежним решением (6.22).

Весьма эффективным является приближенный графический способ расчета статической характеристики КЗ. Построение этой характеристики аналогично построению статической характеристики ИУ, описанному в параграфе 4.2 (см. рис. 4.4). Отличие состоит только в том, что в это построение вовлекается график желаемой статической характеристики ИУ.

Аппроксимация статической характеристики КЗ. На практике редко удается так подобрать КЗ, чтобы его статическая характеристика полностью совпадала с требуемой характеристикой или была достаточно близка к ней. Поэтому получение нужной функции преобразования часто достигается путем кусочно-линейной аппроксимации статической характеристики КЗ.

Например, гладкую кривую (6.22), найденную в рассмотренном выше примере, можно заменить ломаной, состоящей из трех прямолинейных отрезков. При этом, конечно, появляется погрешность аппроксимации, которая тем меньше, чем большим числом линейных отрезков заменяется эта кривая.

В общем случае кусочно-линейной аппроксимацией (КЛА) называют замену гладкой кривой у-/(х), заданной на интервале [х_н, х_в], ломаной у ⁼ /кла (^х)" состоящей из N отрезков прямых (рис. 6.11, а).

При этом интервал [х_н, х_ъ] разбивается на N участков в общем случае неравной длины L_k = p_k -Рь~> k = 1,2,…, N и на каждом из них нелинейная функция y-f (х) заменяется линейной функцией.

где А_к, В_к — постоянные коэффициенты, которые вычисляются по формулам.

gk'8k-1 ^— ординаты аппроксимирующей прямой на границах А'-го участка р_к__х<�х<�р_к (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Кусочно-линейная аппроксимация статической характеристики:

а — неоптимальная; 6 — оптимальная Формулы (6.25) определяют параметры А_к и В_к каждой прямой (6.24) так, чтобы она проходила через две точки с координатами (р_к__ь g_k__x =.

= ^Ak- + В к Pk-) ^и (Рь Sit ~ ^Ак + Bip_k).

Число таких точек и их координаты (p_k, g_k) влияют на степень приближения ломаной г/ = /клл (Х) к графику функции у = f (x). Ее оценивают по величине максимальной приведенной погрешности аппроксимации (МППА)

где 8_тах — максимальная абсолютная погрешность (5_max ⁼ maxра (х)); ра (х) — погрешность аппроксимации, вычисляемая по формуле (см. (4.9)).

Если точки излома ломаной /_K-_[A(.r) вместо располагать строго на графике функции уf{x), подвергаемой КЛА, как это показано на рис. 6.11, а, то в формулах (6.25) нужно принять.

Такой способ аппроксимации не является оптимальным. Отступая от него, можно, сохраняя заданное значение погрешности аппроксимации, получить меньшее число линейных участков N. Например, кривую у = f (x), показанную на рис. 6.11, а, можно аппроксимировать не тремя, а двумя линейными отрезками (см. рис. 6.11, б). Для этого нужно подобрать соответствующие координаты (p_k, g_k) точек изломов КЛА-функции у = /клд (т).

Рис. 6.12. Схема расчета параметров КЛА.

В общем случае расчет этих координат выполняется так, как показано на рис. 6.12 в следующем порядке:

1) задавшись числом линейных участков N> 2, выбирают равномерное (неоптимальное) размещение абсцисс р_к точек изломов, вычисляя их по формуле.

Ординаты точек изломов g_k вычисляют по формулам (6.28);

• 2) по формулам (6.25) вычисляют параметры А_к и В_к аппроксимирующих прямых для каждого участка КЛА;
• 3) уточняют координаты точек изломов. Для этого строят график погрешности аппроксимации (6.27) Г_ра(_Ху с помощью которого оценивают выполнение условий равномерного приближения (см. (6.7)) и определяют максимальное значение погрешности аппроксимации 8_шах. Если УРГТ (нет в списке сокращений) не выполняются, то, руководствуясь правилом Новодворского, изменяют координаты точек изломов (т.е. изменяют значения величин р_к и g_k) до тех пор, пока они не будут выполнены. В этом случае значение максимальной погрешности аппроксимации 8_шах для выбранного значения N является минимальным;
• 4) но формуле (6.26) вычисляют максимальную приведенную погрешность аппроксимации у_а. Если эта погрешность превышает допустимую погрешность у_д, то увеличивают число линейных участков N и, возвращаясь кп. 1, повторяют вычисления. Процесс завершается при выполнении условия у_а < у_д.

Для создания КЗ с кусочно-линейной статической характеристикой можно использовать операционный усилитель и набор типовых диоднорезисторных ячеек 1281.

Кусочно-линейная аппроксимация имеет два существенных недостатка. Во-первых, производная КЛА-функции у-/кла (^х) ^имеет разрывы, что в некоторых случаях недопустимо; во-вторых, при высоких требованиях к точности аппроксимации, а также в случае сложной характеристики КЗ может потребоваться большое число линейных участков N, что усложняет схему КЗ.

Оба этих недостатка практически устраняются при переходе к сплайнаппроксимации статической характеристики КЗ. В этом случае статическая характеристика КЗ на каждом участке аппроксимации р_к__х <�х< р_к заменяется полиномом степени п > 1, например кубическим полиномом.

В работе [28] даны формулы для расчета коэффициентов этого полинома. На рис. 6.13 показаны соответствующие графики желаемой и фактических характеристик прибора для случаев кусочно-линейной аппроксимации (рис. 6.13, а) и сплайн-аппроксимации (рис. 6.13, 6) статической характеристики КЗ (6.22). Для наглядности погрешность аппроксимации на этих рисунках увеличена в 10 раз.

Рис. 6.13. Статическая характеристика скорректированного прибора:

а — при кусочно-линейной аппроксимации статической характеристики КЗ; б — при сплайн-аппроксимации статической характеристики КЗ Видно, что в результате сплайн-аппроксимации помимо снижения минимально необходимого числа участков достигается гладкость статической характеристики скорректированного прибора.