Исследование функций. 
Производные

Задание 1

Исследовать функцию на непрерывность:

Решение:

Функция f (x) — непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие условия:

1 при х = а функция f (x) имеет определенное значение b;

2 при х > а функция имеет предел, тоже равный b;

При нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в т х = а.

— значит в т х = 0 функция имеет разрыв.

— значит в т х = 1 функция имеет разрыв.

Покажем это на графике:

Задание 2

Найти производные функций:

Решение:

Производная показательной функции вычисляется по формуле:

(а^х)? = а^х •lna

Задание 3

Найти производные первого и второго порядков функций

Решение:

Задание 4

Материальная точка движется прямолинейно по закону. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 2c. (S — выражено в метрах).

Решение:

Найдем скорость:

Найдем ускорение Ответ: ,

Задание 5

Найти экстремальные значения функции.

Решение:

Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума).

(-1; 7) и (1; 3) — точка подозрительная на экстремум.

Рассчитаем значение производной справа и слева от критических точек.

Значит на промежутке (; -1) и (1;) функция возрастает, на промежутке [-1; 1] функция убывает.

Занесем для ясности полученные значения в таблицу:

(-1; 7) — точка максимума.

(1; 3) — точка минимума.

Задание 6

Исследовать функции и построить их графики.

;

Решение:

1) Область определения:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. f (x) — многочлен.

2) Точки пересечения с осями координат: с осью ОХ т. е. у=0:

с осью ОХ точек пересечения нет.

С осью ОУ т. е. х=0:

— точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f (-x) = f (x), то функция четная, если f (-x) = -f (x), то функция нечетная, при хD (y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная. функция производная график точка Функция четная

4) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.

Наклонные асимптоты:

y = kx + b — уравнение наклонной асимптоты.

тогда Значит и наклонных асимптот тоже нет.

5) Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

(0; 3) — точки подозрительные на экстремум.

Исследуем поведение функции справа и слева от каждой критической точки.

Значит на промежутке (; 0) функция убывает, а на промежутке [0;) функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу:

(0; 3) — точки минимума.

6) Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Точек перегиба нет.

1. Область определения Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, — т. е. операции сложения и возведения в натуральную степень — выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если, т. е. если. Таким образом, .

2) Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т. е.

у=0:

— точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т. е.

х=0:

— точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f (-x) = f (x), то функция четная, если f (-x) = -f (x), то функция нечетная, при хD (y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная

4) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .

— вертикальная асимптота.

Покажем это:

— точка разрыва 2-го, значит — вертикальная асимптота.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид ,

где; .

В частности, получается, что если, а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

— уравнение наклонной асимптоты.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

Таким образом, у нашей функции две критические точки:

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и от точки разрыва х=-4.

Найдем знак производной на каждом из интервалов. Для этого на интервале мы можем выбрать удобную для вычислений точку и найти в ней знак производной; тот же знак будет у нее на всем этом интервале.

Значит на промежутке [-8; -4) и (-4; 0] функция убывает, а на промежутке (; -8) и (0;) функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу:

Найдем координаты точки максимума:

(-8; -16) — точка максимума.

Найдем координаты точки минимума:

(0; 0) — точка минимума.

6. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого поступаем так.

Вычислим вторую производную данной функции:

Точек перегиба нет.

Исследуем поведение функции справа и слева от точки х=-4

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006 — 991 с.

2. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 — 368 с.

3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509 с.

4. Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464 с.