Проблема автокорреляции остатков

Еще одна проблема, приводящая к неэффективным оценкам в регрессии, — это автокорреляция. Она заключается в том, что ошибки в модели могут коррелировать со значениями ошибок на предыдущих наблюдениях. Математически эта проблема записывается как М (еДе^__т) = М (е^__т)^0 при любых т Ф 0.

Так же, как и в случае с гетероскедастичностью, автокорреляция приводит к неэффективным оценкам и может быть истинной (вызванной особенностями процесса) и ложной (вызванной неправильной спецификацией). Обычно автокорреляция остатков сигнализирует о том, что какие-то факторы в модели не учтены (например, в модели нужно учесть лаговые переменные), что, в свою очередь, указывает на проблему пропущенных переменных. Также автокорреляция остатков может говорить о том, что исследователь сталкивается с нестационарными временными рядами, которые по всем канонам эконометрики должны быть предварительно приведены к стационарному виду путем взятия разностей (мы снова приходим к тому, что все эти проблемы опять же сводятся к ошибкам исследователя).

Формально говоря, в самом простом случае автокорреляция остатков выражается в том, что за положительными значениями остатков также следуют положительные значения, что указывает на систематические отклонения модели на некоторых временных промежутках. Более сложные виды автокорреляции могут приводить к более сложным зависимостям, общая черта которых заключается в том, что в остатках образуется некоторая зависимость, что сигнализирует о том, что в ряде данных подобная зависимость не была учтена.

Для идентификации автокорреляции остатков используются тест Дарбина—Уотсона (который, правда, проверяет лишь наличие автокорреляции первого порядка) и тест Бройша—Годфри. В ряде случаев более удобным является графическое изучение коррелограмм по остаткам модели (см. параграф 5.1 второго тома учебника).

Для того чтобы избавиться от автокорреляции ошибок, в модель обычно включают либо лаговые переменные, либо значения у на предыдущих наблюдениях. Определение того, что же именно включить, осуществляется с помощью все тех же коррелограмм.

В прогнозировании автокорреляция остатков выражается в том, что неучтенные или неправильно учтенные факторы приводят к неточным точечным прогнозам. Кроме того, в случае с автокорреляцией ошибок адекватный интервальный прогноз на несколько наблюдений вперед дать не представляется возможным, так как нарушается важное условие независимости распределения ошибок.

Ранее, в параграфе 3.6, мы уже обсуждали смысл коэффициента корреляции и теперь, обратившись к проблеме автокорреляции остатков, понимаем, что отсутствие автокорреляции не указывает на то, что зависимости в остатках модели нет, а значит и сама модель хорошая, с эффективными и несмещенными оценками. Все, о чем говорит отсутствие автокорреляции, — это отсутствие линейной связи между значениями остатков на разных наблюдениях. Возможно, в остатках наблюдается сложная нелинейная зависимость, которая не может быть выявлена стандартными методами, что сигнализирует о все той же проблеме пропущенных переменных. В итоге исследователь будет интерпретировать коэффициенты этой модели, даже не подозревая о том, что его модель далека от истины.

С другой стороны, мы также уже обсуждали такой эффект как «ложная корреляция». Автокорреляция остатков может быть сродни корреляции между температурой на улице и длиной очереди в метро, т. е. сама проблема автокорреляции может быть переоценена исследователем. Возможно, именно поэтому в ряде случаев модели с формально диагностируемой автокорреляцией на практике дают более точные прогнозы, чем модели без нее^[1].

• [1] Makridakis S. The art and science of forecasting: An assessment andfuture directions // International Journal of Forecasting. 1986. № 2. P. 15—39.