Различные трактовки понятия функции

Различные трактовки понятия функции можно разделить на два блока. Первый блок объединяет определения, которые можно отнести к классическим, традиционным, опирающимся на понятие переменной величины. Эти определения используются и в школе при первом знакомстве с функцией, повторяя исторический путь развития понятия функции (рис. 13.1).

Такого рода определения появились ранее второго блока определений, которые относят к современным, имеющим теоретикомножественную основу (рис. 13.2).

Рис. 13.1. Классические определения функции.

Рис. 13.2. Современные определения функции.

Этапы изучения функций в школе и методические особенности этой работы на разных этапах.

Исторический подход к понятию функции в школьном курсе предполагает повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло в науке.

Это нашло отражение в школьном курсе математики при знакомстве с понятием функции. Но в школе рассматривают только зависимости между числами, поэтому рассматриваются только числовые функции. Изучение этого понятия можно разделить на шесть этапов.

Этап 1 — пропедевтический, имеет место в начальной школе. При изучении разных тем учащимся разъясняется, что такое зависимости между величинами. Например, уже при изучении арифметических действий учащиеся наблюдают, что происходит со значением суммы при изменении одного из слагаемых. При решении задач учащиеся рассматривают зависимости изменения одной величины от другой, например стоимости от цены. Ученики знакомятся с диаграммами, таблицами, которые отражают функциональные зависимости.

По окончании начальной школы у учащихся есть все знания, необходимые для решения уравнения типа 2 + (3 (х — 3) — 7) = 10. Они решают их на основе связи между компонентами и результатами арифметических действий. Сначала определяют, какое действие выполняется последним, затем находят, какой компонент этого действия содержит неизвестное, выражают этот компонент через остальные и т. д. до тех пор, пока в качестве компонента не окажется неизвестное. В данном примере последнее действие — сложение, неизвестное во втором слагаемом, следовательно, выражаем это слагаемое через разность суммы и другого слагаемого.

Этап 2 (5—6-й классы) также является пропедевтическим, так как понятие функции явно нс вводится. Но этот этап отличается от предыдущего содержанием деятельности учащихся: ученики самостоятельно составляют таблицы значений переменных, наглядно представленных зависимостей; изображают диаграммы, в которых наглядно представлены зависимости между дискретными величинами, графики температур и т. д.

Этап 3 изучения функций реализуется в 7—8-м классах на содержательной основе. Функция рассматривается как связь, закон («Алгебра-7», под ред. С. А. Теляковского) или как зависимая переменная («Алгебра-7», Ш. А. Алимов и др.). Вводится понятийный аппарат (независимая и зависимая переменные, график, область определения, область значения). Рассматриваются различные способы задания функции (формулой, таблицей, графически, описанием). В разных учебниках перечисленные понятия вводятся либо через примеры, либо явно. В качестве задач предлагаются задачи на движение, на нахождение площади. Большое внимание функциональной линии уделяется в учебниках А. Г. Мордковича, в которых сначала формируется объем понятия функции и уже на этой основе вводится определение понятия.

Этот этап является очень важным в освоении понятия функции. Можно выделить следующие задачи третьего этапа.

1. Сформировать общее представление о функции в математике.

Ученики должны понимать, что функции бывают разрывные, графики функций на разных участках могут быть разными кривыми, прямыми линиями. Учитывая, что семиклассники находятся на стадии перехода к понятийному мышлению, а значит, для них значимы образы, целесообразно знакомить учащихся с функциями на наглядной основе, используя графики. Это можно сделать уже на подготовительном этапе до введения определения понятия функции.

Также у учеников должно быть понимание того, что задание функции требует определения трех объектов — двух множеств и правила (закона, соответствия) связи между ними, при этом каждому элементу из первого множества соответствует единственный элемент из второго множества.

Эту задачу можно достичь, предложив ученикам выполнить серию заданий типа следующих^[1].

1. В начале недели Настя залила бочку водой до уровня 100 см. Заметив, что бочка протекает, стала замерять уровень каждый день в одно время. Оказалось, что уровень понижался каждый день на 10 см. Сколько воды будет в бочке во вторник? В субботу? Заполните таблицу. Могли ли быть разные уровни воды в бочке при одном и том же замере?

Постройте диаграмму зависимости дня недели и уровня воды в бочке при замере в этот день.

Изобразите графически зависимость уровня воды от времени, считая, что вода вытекает равномерно.

2. В 1 ч ночи в магазине «Полушка» обслужили одного покупателя, в 2 ч ночи — двоих, в 3 ч ночи — двоих, в 4 ч утра — троих, в 5 ч утра — четверых. Могло ли в один и тот же час быть разное количество покупателей в магазине?

Изобразите зависимость числа покупателей от времени на графике.

3. Холодильник потребляет 16 Вт-ч. В 12:00 включили новый холодильник, а в 14:00 отключили электричество на три часа. После чего холодильник снова заработал. Могли холодильник в одно и то же время потреблять разное количество электроэнергии?

Постройте график зависимости потребляемой энергии от времени в период с 12 ч дня до 6 ч вечера.

В результате выполнения этих заданий ученики вспоминают табличное представление зависимостей, а также представление с помощью диаграмм. Графическое построение зависимостей, требуемое во всех заданиях, фактически знакомит с разными функциями (точечными, непрерывными, кусочными). Таким образом, формируется объем понятия функции уже на подготовительном этапе и учащиеся подводятся к определению функции, заполняя вместе с учителем табл. 13.1. При этом учащимся целесообразно задать вопросы:

• между какими множествами рассматривается зависимость или соответствие?

• • опишите эту зависимость или правило, или соответствие;
• • сколько элементов второго множества соответствуют каждому элементу первого множества?
• 2. Ввести определение функции и все способы ее представления.

Записать определение функции в алгоритмическом виде, как показано в теме о работе с понятием (гл. 7 раздела II).

В ФГОС ОО выделены такие познавательные логические УУД, как выделение свойств, существенных для понятия, умение определять понятие. Их формированию будут способствовать индуктивный способ введения понятия (описанный выше) и запись определения в виде алгоритма, где четко выделены все свойства, существенные для понятия (как общие, присущие понятиям, соподчиненным межпредметному, так и специфичные).

Функция — 1) соответствие (правило, закон) у =/(х);

• 2) между элементами двух множеств (X и У);
• 3) каждому элементу множества X (х е X) соответствует единственный элемент множества Y (у е У).

Родовое понятие в определении целесообразно подчеркнуть.

3. Рассмотреть свойства конкретных алгебраических функций, сопоставляя аналитическому определению свойства соответствующее графическое изображение, и наоборот.

Этап 4 (9-й класс) — повторение, обобщение и систематизация знаний об алгебраических функциях.

Повторение и обобщение целесообразно организовать, используя принцип иерецентровки, рассмотренный в параграфе 2.5 и предполагающий переструктурирование учебного материала: повторение функций целесообразно структурировать, но их свойствам (областям определения, значений, возрастания и др.). А организовать переструктурирование можно через задачи третьего типа на сложные перекодировки, рассмотренные в параграфе 6.2.

Систематизация учебного материала по теме «Функция» может быть организована с помощью приемов, описанных в параграфе 9.3 раздела II.

Например, с использованием кругов Эйлера может быть предложено учащимся следующее задание.

Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между множествами: А — четные функции, Е — функции вида у = ах² + Ьх + с, F — функции, имеющие не более двух корней, G — квадратичные функции, К — линейные функции.

На этом этапе устанавливаются связи между разными характеристиками понятия функции, используются разные способы представления информации.

Этап 5 (10—11-й классы) — изучение разных видов трансцендентных функций.

На этом этапе рассматриваются свойства конкретных трансцендентных функций, идет сопоставление аналитическому определению свойства соответствующего графического изображения, и наоборот.

Этап 6 (11-й класс) — обобщение и систематизация знаний о видах функций, рассмотренных в 7—11-х классах.

Используются те же приемы, что и на четвертом этапе, но задания строятся на содержании всех функций. Например, учащимся требуется изобразить при помощи кругов Эйлера множества:

А — строго возрастающие функции; В — прогрессии; С — логарифмические функции с основанием больше 1; D — точечные функции, Е — функции вида у = tgx.

• [1] Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и в школе // Математикав школе. 1978. № 4. С. 11—27.