Дифференциальные уравнения. 
Химическая технология: научные основы процессов ректификации. 
Часть 2

Решением уравнений (10.9) и (10.12), приведенных выше, является множество дискретных точек в пространстве составов. При переходе к аппаратам с непрерывным изменением состава фаз вместо дискретного набора точек получим непрерывную линию, соответствующую сопряженным составам жидкой и паровой фаз. Такой переход можно оценить, рассматривая вместо уравнений в конечных разностях систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (Приложение 5). Дифференциальная модель имеет то преимущество, что для ее анализа, а, следовательно, для выявления закономерностей присущих процессу, который она представляет, существует хорошо разработанный аппарат — метод качественного исследования дифференциальных уравнений. Данная модель, таким образом, может быть использована для установления предельных ограничений на реакционно-ректификационный процесс, для. разработки метода расчета минимального флегмового числа, а также для решения еще целого ряда задач.

Вывод соответствующих уравнений провести довольно просто: вычтем из обеих частей уравнения (10.9) величину Х,._п:

Величина X, _я+, -Х,_п (т.е. АХ,") — это просто разность или изменение состава жидкой фазы между тарелками с номером п и (и+1), она идентична прямой разности АХ,/АИ, которая определена при расчете конечных разностей. В этом случае Ah — (пЛ) п = 1. Когда АХ, мало или п велико, мы можем заменить первую разность АХ,/Ah первой производной (АХ,/Ah |") и записать уравнение (10.24):

При написании этого уравнения мы опустили индекс ступени п, поскольку он одинаков для обоих его частей. Верхний индекс S указывает на то, что данное уравнение относится к исчерпывающей части колонны. Распределение компонентов по колонне в исчерпывающей части может быть получено при интегрировании уравнений (10.25) с начальным условием.

Дифференциальное уравнение для укрепляющей секции может быть получено аналогичным образом: вычтем из обеих частей уравнения (Л7)Х_т., получим:

Заменяя первую прямую разность AXjAh соответствую щей первой производной dXjdh |_я, можем записать.

Мы снова опустили индекс т-1 и ввели верхний индекс г для того, чтобы указать, что уравнение относится к укрепляющей секции колонны. Отметим, что индекс тарелки при Я* был /я, вместо т-1. Все же мы можем опустить этот индекс у Л*, поскольку при заданном внешнем флегмовом числе и составе дистиллята, модифицированное флегмовое число для тарелки с номером т зависит только от состава пара, покидающего ступень с номером т 1 (см. уравнение. 10.17). Распределение компонентов по высоте колонны может быть получено посредством интегрирования уравнения (10.26) с начальным условием.

где X/ - состав жидкости на тарелке питания, который отличается от состава питания.

Поскольку мы не знаем заранее состава на тарелке питания, то удобнее получить профиль для укрепляющей секции путем изменения направления интегрирования уравнения (10.26), т. е.

и использовать в качестве начального условия при интегрировании этой системы уравнений состав дистиллята: