Уравнения электрического равновесия цепей

Основные понятия.

Для построения математических моделей реальных устройств используются схемы замещения, или эквивалентные схемы, составленные в виде электрической цепи из базисных элементов. На схеме замещения отображаются все элементы цепи и порядок их соединения, указываются направления протекающих через них токов и полярность напряжения. Возможно два основных способа соединения (включения) элементов:

• • параллельное соединение, при котором на элементы действует одно и то же напряжение;
• • последовательное соединение, при котором через элементы протекает один и тот же ток.

В качестве примера на рис. 1.3.1 показаны оба способа соединения пассивных двухполюсников с источниками тока и напряжения. В сложной по структуре цепи используются смешанные (комбинированные) соединения отдельных ее участков.

При математическом описании цепей помимо компонентных уравнений, описывающих отдельных ее элементы, используется описание топологии цепи (topology — конфигурация, структура цепи; схема соединений, взаимосвязь элементов).

К основным понятиям, характеризующим топологию цепи, относятся:

• • ветвь, под которой в общем случае понимают участок цепи с двумя выводами. В качестве ветви может быть выбран как отдельный элемент цепи, так и несколько последовательно или параллельно соединенных элементов;
• • узел, являющийся точкой соединения элементов цепи (рис. 1.3.2, а). Различают два вида узлов: устранимые и неустранимые. Устранимым узлом является точка соединения двух элементов R и L на рис. 1.3.1, б. Устранение узлов достигается путем замены нескольких последовательно включенных элементов одним эквивалентным двухполюсником;

Рис. 13.1. Узел (а) и контур (б) электрической цепи

контур, представляющий собой замкнутую цепь из последовательно соединенных элементов (см. рис. 1.3.2, б). Простейшим контуром является цепь из двух элементов G-С (см. рис. 1.3.1, а).

Для топологического описания цепи используются законы Кирхгофа. На их основе составляют уравнения соединений, или топологические уравнения.

Первый закон Кирхгофа связывает токи элементов (ветвей), сходящихся в узле (см. рис. 1.3.1, а):

Рис. 13.2. Параллельное (а) и последовательное (б) соединения базисных элементов.

• • алгебраическая сумма токов в каждом узле равна нулю или
• • алгебраическая сумма токов, притекающих к узлу от источников (активных элементов), равна сумме токов, исходящих из него в пассивные элементы:

где N_y — общее число элементов, подключенных к узлу; М, К — число источников тока и число пассивных элементов, подключенных к узлу (М + К = N_y).

Знак тока определяется выбором положительных направлений токов ветвей: например, токам, вытекающим из узла, условно приписывается знак «+», а токам, втекающим в узел, — знак «-».

Второй закон Кирхгофа связывает напряжения ветвей, входящих в контур (см. рис. 1.3.1, б):

• • алгебраическая сумма напряжений на элементах (ветвях) контура равна нулю или
• • сумма ЭДС, действующих в контуре, равна сумме напряжений на пассивных элементах контура:

где JV_K — общее число элементов в контуре; М, К — число источников ЭДС и число пассивных элементов в контуре (М + К = N_K).

При составлении схем замещения реальных устройств соединение элементов не должно противоречить законам Кирхгофа и характеристикам самих элементов. Например, не допускается:

• • параллельное включение независимых источников напряжения, поскольку они задают напряжение на полюсах цени, и последовательное включение независимых источников тока, задающих значение тока в цепи;
• • контур, составленный только из источников напряжения, и узел, к которому подключены только источники тока. В этом случае могут не выполняться законы Кирхгофа, т. е. суммарное напряжение вдоль контура и суммарный ток в узле могут быть не равны нулю;
• • замыкание накоротко полюсов идеального источника напряжения (ЭДС) и размыкание полюсов идеального источника тока, так как источники наделены бесконечной мощностью.

В узел не должен входить источник напряжения, а в контур — источник тока. Отметим также, что источник напряжения следует включать последовательно с пассивной ветвью цепи, а источник тока — параллельно ей (как показано на рис. 1.3.2). В противном случае, когда, например, источник тока подключен к последовательной RCL-цепи на рис. 1.3.2, б, проведение анализа теряет смысл, так как ток, протекающий через отдельные элементы этой цепи, известен.

Задача анализа электрической цепи заключается в составлении и решении системы уравнений, число которых должно быть равно числу неизвестных. Неизвестными могут быть напряжения и токи пассивных элементов, токи источников напряжения (ЭДС) и напряжения на полюсах источников тока. Уравнения, позволяющие однозначно решить задачу анализа, называют уравнениями электрического равновесия цепи [51].