ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΡΡ (ΠΠ Π‘), ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡ. 1. Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ n-ΡΠ°Π·ΡΡΠ΄Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° (Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠΈ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ), ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠΎΡΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ ?, ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ 2 Π² ΡΠ΅ΠΏΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠΈ (ΠΎΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ) Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΡ (Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΠΠ’Π ΠΠΠ¬ΠΠΠ― Π ΠΠΠΠ’Π
«ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ»
Π¦Π΅Π»ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΡ Π΅ΠΌΡ, Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ, ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π₯ΡΠΌΠΌΠΈΠ½Π³Π° ΠΈ ΠΏΠΎ Π°ΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ:
ΠΠ΄Π΅ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ:
ΠΠ Π‘ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ f(x)
ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π₯ΡΠΌΠΌΠΈΠ½Π³Π° ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π°ΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΠΠ€
1. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ
1.1 ΠΠΠ‘Π Π½Π° ΠΠ Π‘
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π°ΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π΅ΠΌΠΌΠΈΠ½Π³
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ GF (2) Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ N ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ GF (2).
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΡΡ (ΠΠ Π‘), ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡ. 1. Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ n-ΡΠ°Π·ΡΡΠ΄Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° (Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠΈ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ), ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠΎΡΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ ?, ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ 2 Π² ΡΠ΅ΠΏΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠΈ (ΠΎΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ) Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΡ (Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ) ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ i-Π³ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΡΠ΄Π° ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΠΈ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ i-Π³ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠΎΡΠ° ?. Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ 0 ΠΈΠ»ΠΈ 1. Π‘Ρ Π΅ΠΌΡ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡ. 1., ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ ΠΠ Π‘1.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π>0, ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ .Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° X (0) ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ (Π·Π°ΠΏΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅), Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ n ΡΠ°Π²Π½ΠΎ .
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΌ (Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ (L=1))
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ GF (2), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ X (t+1)= ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ — M-ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΠ Π ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ GF (2) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ :
ΠΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (, Π³Π΄Π΅ E-Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° n. ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° f (x) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΡΠ»ΠΈ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ GF (2) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΠ Π ΡΠ°Π²Π΅Π½ .
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π΅ L=., Ρ. Π΅. ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈ
1.2 Π-ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ²
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ° ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΏΡΠΈ .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ h (x) — Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°.
ΠΡΡΡΡ — Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ GF (2), ΡΠΎΠ³Π΄Π° ord (f*g) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½.ΠΎ.ΠΊ. — Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² [9]
ΠΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΠ Π Ρ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², ΡΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΠ Π Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ,
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΠΠΠ‘Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΡΠΈΡ. 2., ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ ΠΠ Π Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ L=3*7=21 ΠΏΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΠ Π, ΡΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ Ρ ΠΏΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΡΠ΄Π° ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ°, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ 100 001 111 101 010 018 304, Π΅ΡΠ»ΠΈ. ΠΡΠΈ. Π. ΠΠ Π ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ L=7 ΠΈ L=3.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΠ Π, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ.
1.3 (Π-1) — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ²
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΠ Π, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡ Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΠΠ‘Π. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡ. 1, ΠΏΡΠΈ .
1. ΠΡΡΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΠΠ‘Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π°, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n ΡΠ°Π²Π΅Π½ (ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ). ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° (Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ) ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ (Π-1) — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ. ΠΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΠΠ‘Π Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2.
2. Π (Π-1) — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄Π²Π° (Π·Π°ΠΏΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ) — ΡΠ°Π·ΡΡΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ°, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ² 0 ΠΈ 1.
3. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ² Π² (Π-1) — ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ² Π² ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π΅ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄, Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠ°Π²Π΅Π½ = 14. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ Π²Π·ΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ, ΡΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2.
1.4 ΠΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ
ΠΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ.
1. - ΠΌΠ°Ρ. ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅.
2. -Π΄ΠΈΡΠΏΠ΅ΡΡΠΈΡ
3. ΠΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ
ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π₯ΡΠΌΠΌΠΈΠ½Π³Ρ
2. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΈΠ½ΡΠ΅Π·Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ
2.1 Π‘ΡΡΡΠΊΡΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΠΠ Π‘
ΠΠ°Π΄Π°Π½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ.
2.2 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π-1) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
β | β | β | |||||||||||||||||||
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ Ρ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π°, ΠΏΡΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄, Π΅Π΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΡΠ°Π²Π΅Π½ .
2.3 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π₯ΡΠΌΠΌΠΈΠ½Π³Π°
1) ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ
2) ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
Π‘ΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ;
ΠΠ΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π»ΠΎ;
2.4 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ
2.5 ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π°ΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΠΠ€
ΠΡΠ°ΠΊ, Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΎΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ 62 ΡΠ°Π³Π°. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ.
β | β | β | |||||||||||||||||||
Π‘ΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ — {0.5}
ΠΠ΅ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ — {61.5}
ΠΠΠ€=(61.5−0.5)/621
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅, Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ» Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ½ΡΡ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΠ Π‘ ΠΈ (Π-1) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ Π₯ΡΠΌΠΌΠΈΠ½Π³Π° ΠΈ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ. Π ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΠΠ€ Π±ΡΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ -1. Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π°ΡΠ΅Π» ΠΠΠ€ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ» ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π°ΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π΅ΠΌΠΌΠΈΠ½Π³
1) Π. Π. ΠΡΡ Π°ΡΠ΅Π², Π. Π. ΠΠ°Ρ Π°ΡΠΎΠ², Π¨. Π . ΠΡΡΡΡΠ΄ΠΈΠ½ΠΎΠ², Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΡΠΈΠ½, Π‘. Π. Π¨Π°Π»Π°Π³ΠΈΠ½. «ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ GF (2)» ΠΠ°Π·Π°Π½Ρ 2006
2) Π’Π΅Π·ΠΈΡΡ ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
3) Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΡΠΈΠ½, Π. Π. ΠΡΠ·Π½Π΅ΡΠΎΠ² «ΠΠ΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ ΠΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°» ΠΠ°Π·Π°Π½Ρ. ΠΠΠ’Π£. 2007 Π³.