Элементы теории вероятностей и математической статистики

Излагаемый ниже материал дополняет ранее рассмотренный, но уже применительно к тем часто встречающимся событиям и величинам, которые характеризуются неполной определенностью в смысле появления и измерения. К первым из них относятся, например, отказы и происшествия, а ко вторым — время их возникновения и ущерб от них. Вот почему без усвоения данной главы невозможно разобраться с вопросами моделирования, прогнозирования и менеджмента соответствующего риска, рассматриваемыми в других главах этой книги.

Аксиоматика теории вероятностей и теории возможностей

Предметом математической науки — теории вероятностей — являются те закономерности сложных явлений, которые характеризуются как случайные (заранее точно неизвестно какие) события и величины, а также их различные системы. При этом под случайным событием (возникновением специфического набора обстоятельств) подразумевается такое событие, которое в конкретном опыте может произойти или не произойти; под случайной величиной — переменная, способная принимать любое значение из области определения, и с которой связано распределение вероятностей; под вероятностью — действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию и отражающее меру возможности его наступления или степень соответствующей уверенности [24].

Среди случайных событий выделяют: а) практически достоверные, вероятность которых весьма близка к единице; б) практически невозможные, если их вероятность близка к нулю; в) независимые, когда появление одного из событий не изменяет вероятности возникновения других; г) противоположные, если одно из них обязательно произойдет в каких-либо конкретных условиях; д) совместные и несовместные, когда для первых возможно одновременное появление в каких-либо конкретных условиях, а для вторых это невозможно. Что касается случайных величин, то их принято делить на дискретные (способные принимать только отдельные значения) и непрерывные — с любыми значениями из конечного или бесконечного интервала.

В основе современной теории вероятностей лежат три аксиомы, определяющие область значений вероятности Р (*) появления случайного события (*), а также ее соотношения для двух противоположных событий и произведения двух совместных:

1) вероятность появления случайного события X представляет собой действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

(2.1).

2) вероятность невозникновения (обозначается х) случайного события X рассчитывается путем дополнения до единицы вероятности его возникновения:

(2 .2).

3) вероятность одновременного (записывается как XY или , или ) появления двух совместных случайных событий X и 7 определяется перемножением вероятности одного на условную (обозначают */*) вероятность другого:

(2.3).

Кроме этих трех аксиом целесообразно знать порядок определения вероятности суммы (записывается или или ) двух совместных независимых событий, понимая под суммой возможность одновременного появления и обоих вместе, и каждого в отдельности. Так как из выражения в п. 3 вытекает следующее условие их независимости: P (XY) = P (X)P (Y), то очевидно и приводимое ниже соотношение для искомой вероятности:

(2.4).

Рис. 2.1. Диаграммы пересечения (а) и объединения (б) двух событий Используя геометрическую интерпретацию двух последних операций со случайными событиями, поясним условия их перемножения (пересечения) и сложения (объединения) с помощью рис. 2.1, на котором затемненными областями изображены результаты: а) перемножения двух случайных событий X и Y; б) их сложения.

Что касается сравнительно нового раздела математики, названного теорией возможностей [26], то она рассматривает предметы с плохо определенной (размытой, расплывчатой, нечеткой) границей, а также их совокупности — так называемые размытые множества (fuzzy sets) и расплывчатые понятия типа лингвистическая переменная, нечеткая величина и нечеткое число. Для задания и измерения последних категорий используются функции принадлежности ?(Х), степени ?(Х) совместимости и меры Poss (Х) возможности их проявления в конкретных условиях.

Лингвистические, т. е. вербальные или словесные, переменные обычно применяются для характеристики таких предметов или их свойств, для которых переход от принадлежности к какому-то классу к непринадлежности наблюдается не скачкообразно, а непрерывно. Их примерами являются следующие слова или высказывания на естественном для человека языке: «хорошая погода», «красивая машина», «удобное место» и т. п.

Функции принадлежности лингвистических переменных представляют собой множества, количественно выражающие степень субъективного доверия к приведенным выше и другим подобным высказываниям или их совместимость с точными (количественными) признаками. Пример одной из таких функций для высказывания «молодой человек» (в смысле возраста) показан на рис. 2.2 графиком и аналитическим выражением.

Под нечеткой величиной подразумевается нечеткое подмножество, определяемое на множестве действительных чисел и характеризуемое соответствием между их конкретными величинами и степенью принадлежности к интервалу значений [0; 1]. В свою очередь нечетким числом считается компактный нечеткий интервал с единственным модальным значением. Иначе говоря, последнее понятие обычно выражается словами «приблизительно, примерно, около, порядка т» , «сорокалетний мужчина», «стотонный автомобиль» и т. п.

Рис. 2.2. Функция принадлежности понятия «молодой человек» .

Согласно сформулированному профессором Лотфи Заде принципу обобщения (обычные множества являются частным случаем нечетких, а теория вероятностей — теории возможностей) на нечеткие числа распространяются правила, аналогичные правилам оперирования с числовыми характеристиками случайных величин. Основные правила алгебраических преобразований нечетких чисел с непрерывными функциями принадлежности, аппроксимированных наиболее удобным способом, систематизированы в табл. В.4 приложения.

Плодотворность использования нечеткого подхода к представлению данных при решении ряда практически важных задач системного анализа и синтеза техносферной безопасности будет проиллюстрирована при формализации нечетко определенных свойств человеко-машинных систем и определения их количественных характеристик. Конкретные приложения приведенных здесь сведений будут рассмотрены в гл. 10 и 11.