Методика обучения математике в начальной школе: становление и развитие

В результате изучения материала данной главы студент должен:

знать

• • цели и задачи предмета «Методика обучения математике в начальной школе»;
• • историю, логику и тенденции развития курса математики в начальной школе;
• • современные представления о предмете «Математика» в начальной школе;

уметь

• осознанно выбирать учебно-методический комплекс (УМК) по математике из входящих в Федеральный перечень учебно-методических изданий, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательных организациях, в соответствии с личными профессиональными предпочтениями;

владеть

• • навыками поиска необходимой для профессиональной деятельности информации;
• • навыками системного анализа специальной литературы.

Зарождение методики обучения математике

Вопросы для обсуждения.

• 1. В чем дидактические особенности папируса Ринда? Почему этот исторический документ представляет интерес для современного педагога? Как вы можете объяснить, почему задачи, похожие на практические задачи, которые должен был уметь решать писец фараона, встречаются в обучении арифметике современных школьников?
• 2. Почему система счисления египтян вызывала трудности осуществления действий умножения и деления? В чем суть операции удвоения и ее связи с действием умножения?
• 3. В чем состоит обобщение в трактовке понятия «умножение», например, в учебнике, но математике для 2-го класса УМК «Школа России»^[1] но сравнению с операцией удвоения в египетской арифметике?
• 4. В чем существенное отличие математического образования в Древней Греции от египетского? Каковы взгляды Платона и Аристотеля на сущность математики?
• 5. Что представляет собой одна из самых знаменитых в мире книг «Начала» Евклида?
• 6. В чем значение трудов Аль-Хорезми для математического образования? Каково происхождение слов «алгоритм» (алгорифм) и «алгебра»?
• 7. Каковы предпосылки появления понятия «учебный предмет»? Каково дидактическое отношение между понятиями «содержание образования» и «учебный предмет»? Что в этой паре понятий является целью обучения, а что — средством?
• 8. В чем суть концепции Г. Песталоцци?
• 9. Как вы понимаете сущность концентрического построения содержания обучения арифметике?
• 10. В чем суть монографического метода? О чем свидетельствуют примеры его использования в учебниках «Математика» для 1-го класса УМК «Школа России» и УМК «Перспектива»?
• 11. В чем суть метода изучения действий? Как можно объяснить то, что метод изучения действий является доминирующим в современном начальном математическом образовании?
• 12. В чем прогрессивность методических взглядов П. С. Гурьева? Можно ли утверждать, что предложения К. Д. Ушинского по обучению детей арифметике не противоречат взглядам II. С. Гурьева?
• 13. В чем значение устных вычислений для усвоения арифметики?

Одним из первых дошедших до нас учебных трактатов по математике является папирус Ринда, написанный Ахмесом около 2000 г. до н.э. По мнению историков математики, он предназначен для обучения писцов и является копией с более древнего источника. Папирус начинается с объяснения техники счета. Техника сложения была очень проста, аддитивный принцип записи чисел сводил сложение к приписыванию одной записи к другой. Если сложение и вычитание были вполне освоенными действиями, то умножения как особой операции не было.

Так как в круг обязанностей писцов входило умение определить, сколько человек нужно, чтобы выкопать ров, сколько кирпичей необходимо для постройки, какова площадь земельного участка, каков объем зернового амбара и т. п., то в папирусе приводится решение задач прикладного характера. Приводятся задачи на определение площадей прямоугольника, треугольника, трапеции и круга и даются их решения. Высшую ступень составляли задачи, которые решались методом ложного положения: «Количество и его четвертая часть дают вместе 15». Египетское решение: считай с 4, от них возьми четверть, а именно 1, вместе 5. Затем 15 делится на 5 и умножается результат на 4. Требуемое количество 12. Подобные задачи не были вызваны практическими нуждами, а, по-видимому, были придуманы людьми, которым нравилась арифметика, для упражнения в трудном искусстве счета. Для решения задач не дается никаких общих правил, тем более теоретических обобщений. Этим определялись способы учебной деятельности: запоминание, воспроизведение, действие, но образцу, что вызывало значительные трудности, несмотря на то что образование предназначалось узкому кругу избранных.

В начале папируса приведена таблица частных вида 2/п для чисел от 3 до 101. С помощью этой таблицы решалась задача удвоения дробей, исключительно важная для египтян, гак как умножение всегда сводилось к удвоению. Например, произведение 12×12 египетский счетчик находил так:

• 1 12
• 2 24

/4 48.

/8 96 сумма 144.

Египетский способ умножения удержался до эллинистической эпохи и назывался в греческих школах «египетским счетом». Даже и в Средние века удвоение dupltatio, так же как и деление пополам meditatio, считалось самостоятельным действием. Когда деление не выходило, египтяне прибегали к дробям. Существовала ограниченная область дробей, для которых имелись специальные названия: ½, 1/3, 2/3, ¼, ¾, 1/6, 1/8. Правила счета с половинами, третями и шестыми египетский счетчик должен был знать наизусть.

Основу античной (греко-римской) и средневековой систем образования составляли семь свободных искусств. На низшей ступени школьного образования изучался тривиум: грамматика, диалектика, риторика. На высшей ступени — квадривиум: арифметика, геометрия, астрономия, музыка. Основным учебником арифметики была книга Никомаха из Геразы (I в. н.э.) «Введение в арифметику», где главной задачей автор, следуя пифагорейской традиции, ставит цель изложить в доступной форме чудесные и божественные свойства чисел. В «Арифметике» излагалось, например, учение о совершенных числах, таких, что они равнялись сумме всех делителей числа, кроме него самого. Например, 6 = 1+ 2 + 3 — совершенное число. В настоящее время с помощью компьютера найдено более 30 совершенных чисел.

Пифагор, проповедовавший, что бог положил числа в основу мирового порядка, был одним из тех, кто освободил математику от всяких практических приложений. Математика — это форма свободного развития свободного человека, в противоположность выучке ремесленника. Свободные эллины имели много времени, чтобы заниматься наукой и искусством. Около середины V в. до н.э. софисты — учителя мудрости — ценились очень высоко. Среди богатых считалось обязательным умение вести философские беседы, поэтому они отдавали своих сыновей в науку софистам. В центре научной жизни стояла фигура Платона. Платон требовал от всех своих учеников основательного знания математики. Только математика, считал Платон, может научить рассуждать о вещах, которые невидимы и неслышимы, но существуют в идеальном мире и открываются интеллектуальными усилиями человека. Иного взгляда на сущность математики придерживался Аристотель. Математика, считал Аристотель, создается познающим человеком в процессе деятельности в реальном мире.

Освобождение науки от практических потребностей, провозглашение, что ее главная цель — свободный поиск истины, позволили греческим ученым сделать качественно новый шаг в постижении окружающего мира, что поставило античную науку на такую высоту, которая до сих пор вызывает восхищение и удивление. Арифметика у греков стала не наукой о вычислениях, связанных с постижением некоторых фрагментов реального мира, а наукой, предметом которой стали сами правила вычислений — метатеорией, изучающей уже имеющиеся знания, их отношение к действительности, создавая новую систему, более высокого уровня абстракции. Метатеория греков игнорировала практические приложения, а правила действий с идеальными объектами, существующими, по Платону, вне видимого мира, могут быть обоснованы только формально-логически. Существенная часть математических знаний греков была изложена в виде стройной логико-дедуктивной теории Евклидом (III в. до н.э.) в труде, получившем название «Начала». Здесь все математические утверждения либо принимаются в качестве аксиом (постулатов), либо доказываются как логические следствия аксиом и ранее доказанных фактов.

На рубеже Античности и Средневековья Боэцием (480—524) было дано развернутое теоретическое обоснование и подробное изложение квадривиума (сам этот термин был введен им), где главное место занимала арифметика, содержание которой составлял перевод арифметики Никомаха. Геометрия в труде Боэция представляла собой изложение первых трех книг Евклидовых «Начал» без доказательств. Вплоть до XII в. эта книга была главным источником математических знаний на Западе. В римских школах вычисления с дробями были главным предметом при преподавании арифметики. Дроби, которым отдавали предпочтение римляне, были двенадцатеричными. Римская медная монета as разделялась на 12 унций^[2], дроби 1/12, 5/12, 7/12, 11/12 носили специальные названия.

Сохранился сборник «задач для изощрения ума». Например, предлагалась задача: «Собака гонится за кроликом, который находится в 150 футах от нее. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Определить, сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика». Сборник свидетельствует о том, что и тогда признавалось значение математики для интеллектуального развития.

Герберт, к концу жизни ставший папой Сильвестром (1003), написал два арифметических сочинения: «Правила вычислений с помощью абака» и «Небольшая книга о делении чисел». Приемы сложения, вычитания и умножения были, по существу, теми же, что употребляются теперь, но выполнялись с помощью предметного манипулирования на абаке. Процесс деления сильно отличался и был настолько трудным, что получил название divisio fenea (железное деление), в то время как арабский способ деления, когда он стал известен в Европе, стали называть divisio аигеа (золотое деление).

В России первая дошедшая до нас книга по математике восходит к началу XII в.: «Кирика диакона и доместика Антониева монастыря учение, им же ведати человеку числа всех лет» (1136). Это средневековый научный трактат, посвященный применению математических знаний к составлению церковной хронологии и средневековой вычислительной математике, в котором излагаются вопросы о единицах календарного времени и теоретические основы календаря. Числа в этой рукописи записывались в алфавитной системе нумерации, представляющей собой развитие византийской системы. Как производил свои вычисления, доходя в них до чисел порядка десятков миллионов, Кирик не объясняет. Исследователи трактата считают, что в этом не было нужды, так как свои подсчеты он делал на привычном всем абаке, что свидетельствует о распространенности арифметических знаний в Древней Руси¹.

Арифметическое образование в домонгольский период содержало изучение «числовой азбуки», операций удвоения, раздвоения и утроения, а также решение задач, представленных, в частности, в дополнительных статьях Русской Правды на пересчет натуры на деньги, которые тем не менее не имели практического значения. Указанные данные свидетельствуют о том, что приемы вычислений основывались на действиях с предметными заместителями чисел^[3][4].

Таким образом, математическое образование в раннем Средневековье включало практически все известное в то время математическое знание, ограничивавшееся почти одной арифметикой. Геометрия изучалась по Евклиду только в некоторых возникших тогда же университетах.

В VIII в. центром умственного движения стали арабы. Из всех арабских сочинений по арифметике первое место по времени и исторической важности занимает сочинение Мухаммеда ибн Муссы Аль-Хорезми. Сохранился ее латинский перевод, обнаруженный в 1857 г. в библиотеке Кембриджского университета. В этой арифметике числа обозначаются индусскими цифрами в десятичной позиционной системе счисления и приводятся индусские способы вычислений, приспособленные автором к вычислениям на бумаге, практически без изменения сохранившиеся до наших дней. Правила вычислений стали называться алгоритмами (алгорифмами) от имени Аль-Хорезми, а само имя означало «из Хорезма» — города в Средней Азии. Аль-Хорезми написал также книгу «Альджебр аль мукабала», что означает восстановление и противоположение. Под восстановлением понималось перенесение отрицательных членов в другую часть уравнения, под противоположением — отбрасывание от обеих частей уравнения равных членов. При переводе на латинский язык арабское название было сохранено, но с течением времени второе слово было отброшено, а первое превратилось в algebra. Историками математики предполагается, что и арифметика, и алгебра были написаны Аль-Хорезми для обучения.

В XII в. арабские сочинения стали проникать в Европу, и вместе с ними индусские методы вычислений. В 1202 г. Леонардо Фибоначчи издает книгу «Liber Abaci», в которой содержится почти вся совокупность математических знаний арабов, в течение нескольких столетий служившая для авторов математических сочинений источником, из которого черпались математические знания.

Но уже в XIII в. в связи с развитием торговли знание арифметики стало насущной потребностью, а обучение ей приняло сугубо утилитарный характер. В арифметические книги были включены задачи на простые и сложные проценты, двойное и тройное правило, учет и т. п. Тем нс менее долгое время в Европе существовали две арифметические школы: абацистов — не дававшая правил вычислений, но изучавшая свойства чисел и отношений, и алгоритмическая — обучавшая правилам вычислений и коммерческой арифметике.

В Англии школа абацистов не имела последователей, так как английским купцам не были нужны свойства чисел, никакого практического значения не имевшие. Появляется большое число различных книг по арифметике, в которых теоретические рассуждения исчезают. Арифметику стали изучать, как и в древности, в виде правил. С этого времени ученики стали спрашивать, к какому правилу относится тот или иной вопрос.

В России математические знания до XVII в. передавались из поколения в поколение в математических рукописях, в которых сообщаемые знания отвечали в основном потребностям торгового люда. Их назначение определяло и способ изложения преподносимых в них истин: правила давались в форме предписания или рецепта. Математическое образование имело не общеобразовательный, а чисто практический утилитарный характер.

Открытие в XVII в. аналитической геометрии и анализа бесконечно малых отразилось на преподавании математики. Так, при обучении арифметике стали обращать внимание на вычисления в уме. Однако традиции обучения инструментальным и письменным вычислениям и решению задач определенных видов по указываемым рецептам были чрезвычайно устойчивы. В то же время все более обозначается отрыв школьного обучения от математической науки.

До XVII в. не существовало понятия «учебный предмет», так как обучали либо тому, что было известно в самой математике, либо утилитарным знаниям, необходимость которых диктовалась практическими нуждами. В XVII в. возрастают потребности общества в образованных представителях, обусловленные развитием капитализма. С одной стороны, это привело к возникновению массовой школы, но с другой — бурное развитие математики не позволяло включать все математическое знание в школьное обучение. Теоретической основой массового образования стал сенсуализм, согласно которому чувственность является главной формой достоверного знания (II. Гассенди, Д. Юм, II. Д. Локк), оставаясь на прагматических, функционально-утилитарных позициях.

В первом русском печатном учебнике Л. Ф. Магницкого «Арифметика сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык переведенная. В лето от сотворения мира 7211, от рождения Бога слова 1703. Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого» сохранилось много правил и статей из математических рукописей, однако значительно расширен круг изучаемых вопросов. Обозначения страниц в этой книге древнерусские, но все вычисления в тексте производятся исключительно с арабскими (индусскими) числами. Книга Л. Ф. Магницкого была не только арифметикой, а целым курсом математики с приложениями ее к мореплаванию. «Арифметика» Магницкого имела непреходящее значение для становления русской методико-математической школы. Тем не менее следует отметить, что учебник Л. Ф. Магницкого и его многочисленные переделки отличались догматизмом изложения. От учащихся требовалось заучивать наизусть правила и теоремы, уметь приложить их к решению задач определенного вида.

Подъем школьного математического образования в конце XVIII в. привел к разработке содержания и структуры курса математики как учебного предмета, что выразилось в создании нового типа учебных руководств по арифметике, геометрии, алгебре, в которых появились рассуждения и доказательства. В начале XIX столетия в Германии и Швейцарии была произведена реформа преподавания математики на начальной ступени образования, которой в основном и ограничивалась массовая школа. Одним из виднейших реформаторов был Г. Песталоцци (1776—1827). Опираясь на «Великую дидактику» Я. А. Коменского и идеи Ж.-Ж. Руссо, он настаивал на необходимости наглядного преподавания арифметики. Г. Песталоцци стал основоположником новой науки — методики преподавания математики.

В его школе дети с большой быстротой считали в уме и решали сложные задачи. Вычисления в уме вели к определенному повороту в методике, к обучению оперировать образом числа, создаваемым наглядными средствами. Свой метод преподавания Песталоцци основывал на том, что каждый отдельный человек должен прийти к знанию тем же путем, каким следовало человечество при создании науки.

Выделив в особый концентр первую сотню как подготовительную ступень к изучению многозначных чисел, Песталоцци значительно облегчил изучение арифметики. До того было общепринято изучение арифметики начинать с нумерации многозначных чисел и механического заучивания «четырех правил». В пределах первой сотни Песталоцци учил детей выражать любое число, пользуясь целыми и дробными числами. Например, так: 8 раз по 3 и 2 раза третья часть 3 — это 6 раз по 4 и 2 раза одна четверть четырех (можно сравнить с современными способами: 6 это 4 да 2, 3 да 3 и др.). Способы обучения, предложенные Г. Песталоцци, привели к появлению методов преподавания арифметики, сохранивших определенное значение до настоящего времени.

В 1842 г. в Германии появилось руководство А. Грубе «Leitfaden».

А. Грубе рекомендовал вначале исключать из обучения большие числа, а изучать числа по десятичным концентрам. В каждом концентре числа представлялись наглядно с помощью штрихов так, что дети заучивали все возможные представления чисел, так называемый состав числа, до изучения арифметических действий. Этот метод получил название монографического. Арифметические действия и способы вычислений дети осваивали только на третьем году обучения.

Иную позицию занял в Германии А. Дистервег (1829). Он также расположил арифметический материал, но концентрам: первый десяток, второй десяток, первая сотня, многозначные числа. Но в пределах каждого концентра рекомендовал изучать арифметические действия. Это и составило суть метода изучения действий.

В России с догматизмом старой школы решительно порывает П. С. Гурьев (1807—1884), развивая то положительное, что содержалось в методике Г. Песталоцци. Гурьев настаивал на постепенном переходе детей от конкретного к отвлеченному мышлению посредством представления в каждой части сообщенного знания идеи науки. В 1839 г. выходит его «Руководство к преподаванию арифметики», в котором автор, обосновывая приемы вычислений законами действий, стремится придать обучению арифметике общеобразовательный характер.

В 1832 г. Гурьев издает «Арифметические листки», где располагает задания «от легчайших к труднейшим», предполагая, что ученик, решая их последовательно, может освоить арифметику самостоятельно. Система Гурьева — не простая совокупность правил, а первая попытка подвести ученика к усвоению законов арифметических действий на основе конкретно-индуктивного метода путем постепенного перехода от конкретного к абстрактному. Несомненной заслугой Г1. С. Гурьева является также издание совместно с А. Дмитриевым книги «Практические упражнения в геометрии, или собрание геометрических вопросов и задач с ответами и решениями», что показывает понимание русской методической мыслью необходимости начального обучения не только арифметике, но и геометрии. Современники Гурьева не оценили по достоинству его «Руководство».

В школах вместо старого догматического метода стал применяться монографический метод А. Грубе, который в переработке В. А. Евтушевского (1836—1888) закрыл на ряд лет доступ собственно русскому методу, основы которого были заложены П. С. Гурьевым. В переработанном виде В. А. Евтушевский изложил метод А. Грубе в «Методике арифметики» (1872). В то же время написанный им «Сборник арифметических задач» выдержал более 30 изданий. Против монографического метода преподавания арифметики выступал, в частности, Л. Н. Толстой. Взгляд К. Д. Ушинского на обучение арифметике состоял в том, что необходимо как можно раньше учить детей счету группами и знакомить с мерами, придавая обучению практически-наглядный характер, обучать измерению площадей, масс, величин углов^[5].

Задания для самостоятельной работы

• 1. Найдите информацию о фигурных числах (например, в книге: Деза Е. Фигурные числа. М.: МЦНО, 2015). Рассмотрите возможности ознакомления с ними младших школьников. Представьте результат вашего исследования в форме презентации.
• 2. Найдите в учебнике «Математика» для третьего класса УМК «Школа России» описание алгоритма умножения на однозначное число. Выделите умения, которыми должен владеть ребенок, чтобы выполнить требуемые предписанием операции. Сделайте сообщение о полученном результате.
• 3. Приведите определение понятия «учебный предмет», данное И. Я. Лернером^[6]. Подтвердите примерами из учебника «Математика» для 1-го класса УМК «Школа 2100» наличие основных компонентов учебного предмета: предметные научные знания и способы деятельности. Подготовьте выступление на эту тему.
• 4. Подготовьте доклад на тему «Абак как вычислительный инструмент. Его значение в становлении позиционной системы счисления».
• 5. Подготовьте выступление на тему «Кирик Новгородец — ученый XII века».
• 6. Подготовьте сообщения по следующим темам.
• • Врата учености — «Арифметика» Л. Магницкого.
• • Русская алфавитная система нумерации.
• • Число и цифра (подтвердите примерами из учебника «Математика» для 1-го класса УМК «Школа России» факт различения этих понятий в обучении).
• 7. Раскройте суть педагогических взглядов Л. II. Толстого и их влияние на развитие методики обучения арифметике. Подготовьте презентацию.
• 8. Приведите примеры использования различных систем нумерации из учебника «Математика» для 1-го класса по системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова.
• 9. Подготовьте развернутый ответ на вопрос: «Какие качества личности могут формироваться у ребенка в процессе обучения математике?»
• 10. Подготовьте вопросы, выявляющие знания первоклассников о составе чисел первого десятка. Объясните значение знания состава чисел первого десятка для овладения вычислительными приемами сложения и вычитания. Проведите опрос и заполните таблицу:

Сравните результаты опроса с ответами ученика на уроке. Сделайте выводы.

• 11. Проанализировав геометрическое содержание учебников «Математика» для 1-го класса УМК «Школа России» и «Школа 2100», оформите результат в форме доклада.
• 12. Сравните содержание обучения в дочисловой iюриод в учебниках «Математика» УМК «Школа России» и УМК «Перспектива». Выделите темы и виды заданий, которые отличают содержание указанных учебников. Подготовьте презентацию.

• [1] Система учебников «Школа России» в Федеральном перечне учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования (приказ Минобрнауки РФ от 31 марта 2014 г. № 253).
• [2] 1 унция = 0,028 кг; 1 фут = 0,3 м.
• [3] Симонов Р. А. Кирик Новгородец, ученый XII века. М.: Наука, 2013.
• [4] Симонов Р. А. Математическая мысль Древней Руси. М.: Паука, 1977.
• [5] Лачков А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. М.:Учпедгиз, 1951.
• [6] Лернер И. Я. Соотношение общедидактических и частнопредметиых методов обучения: Новые исследования в педагогических науках. М.: Педагогика, 1981.