Основы теории k-фильтров

Из параграфа 4.10 известно, что если нагрузка Z_H согласована с характеристическим сопротивлением Z_c четырехполюсника, то напряжение й₂ и ток в нагрузке 1₂ связаны с напряжением й₁ и током Д на входе четырехполюсника следующими соотношениями:

где g = 1п (А + ТВС) = а + jb.

Тогда.

Множитель е~^а определяет, во сколько раз модуль напряжения (тока) на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на его входе.

Если а = 0, то е~^а = е° = 1 и фильтр пропускает колебания без затухания. Таким образом, в полосе прозрачности а = 0.

В полосе затухания а > 0. Множитель e~J^b, по модулю равный 1, свидетельствует о том, что напряжение й₂ и ток /₂ отстают соответственно от Ui и i₁ на угол Ъ.

Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим, сравнивая выражения для коэффициента А четырехполюсника с равным ему выражением гиперболического косинуса от аргумента a +jb:

Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учетом того, что chjb = cosb и shjb = jsinb) можно представить следующим образом:

Для любого фильтра, собранного по Т-схеме (см. параграф 4.5), А = 1 + Z₁/Z₃.

Для фильтра, собранного по П-схеме (см. параграф 4.5), Л = 1 +Z₄/Z₅. Из каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр, отношения Z₁/Z₃ в Т-схеме и Z₄/Z₅ в П-схеме всегда будут действительными (не мнимыми и не комплексными) числами — отношение двух мнимых чисел всегда есть число действительное. Следовательно, всегда будет действительным и коэффициент А. Но если коэффициент А действителен, то действительным должно быть и выражение равного ему ch (a +jb):

Это выражение действительно, если.

При этом.

Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения границ полосы прозрачности и характера изменения утла b в этой полосе, а также характера изменения коэффициента затухания в полосе (полосах) затухания.

Равенство (5.1) для полосы прозрачности (а = 0) удовлетворяется, так как sha = shO = 0. В силу того что chO = 1, уравнение (5.2) для полосы прозрачности переходит в следующее:

Круговой косинус (cos b) может изменяться в пределах от +1 до -1. Поэтому крайние значения коэффициента А (являющегося функцией частоты —A (w)) в полосе прозрачности равны ±1. Полоса прозрачности в общем случае лежит в диапазоне частот от tOj до оо₂. Значения и ш₂ Д^ля фильтров НЧ и ВЧ (подробнее см. параграф 5.3) определяют решением уравнений.

Для полосовых и заграждающих фильтров (см. параграф 5.3) cjOj и ш₂ находят как корни уравнения А(ш) = -1.

Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачности и полосой затухания, называют частотой среза.

Характер изменения угла b в функции ш для полосы прозрачности определяют в соответствии с уравнением (5.3) следующим образом:

Определим, а и Ъ для полосы затухания. В полосе затухания а > 0. Уравнение (5.1) удовлетворяется при условии

т. е. при и (или) при.

Согласно уравнению (5.2) при Ъ = О а при b = ±п

Уравнения (5.9) и (5.10) позволяют по значениям А как функции со рассчитать cha в полосе затухания, а по cha определить а и, таким образом, построить кривую а =/(оо). Из уравнений (5.7) и (5.8) следует, что в полосе затухания напряжение 0₂ на выходе фильтра находится либо в фазе (при b = 0), либо в противофазе (при b = ±л) с напряжением й_г на входе фильтра.

В заключение необходимо отметить два важных положения:

• 1) с изменением частоты ш меняются коэффициенты В и С четырехполюсника, поэтому изменяется и характеристическое сопротивление Z_c = yjB/C. Для того чтобы фильтр работал на согласованную нагрузку (только в этом случае справедлива изложенная теория фильтров), при изменении частоты необходимо менять и сопротивление нагрузки;
• 2) в полосе прозрачности характеристическое сопротивление к-фильтров (параграф 5.3) активное, а в полосе затухания — чисто реактивное (индуктивное или емкостное).

Если нагрузка фильтра не чисто активная или не согласована с характеристическим сопротивлением фильтра и если требуется учесть влияние активного сопротивления индуктивных катушек на работу фильтра (что существенно для низких частот), то для построения зависимости и_г/и₂ =/(со) и зависимости сдвига фаз между й₁ий₂в функции частоты можно воспользоваться, например, методом пропорциональных величин (см. пример 57). Характеристическое сопротивление фильтра берут равным внутреннему сопротивлению источника сигнала (генератора). При этом и генератор, и фильтр работают в режиме согласования.