Математические вычисления

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА Контрольная работа по курсу «Математика»

Выполнил студент В. В. Тюрин Тула 2010

1. Задача 1

Для заданных двух множеств найти произведения и, изобразить их графически и найти пересечение

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:

3.Определяем пересечение множеств:

{O}

4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.

Рис. 1. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств

Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.

2. Задача 2

Вычислить предел функции с использованием основных теорем Решение

3. Задача 3

Раскрытие неопределенности вида и с использованием правила Лопиталя Решение Неопределенность

4. Задача 4

Найти производную простой функции

Решение Итак,

5. Задача 5

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале Решение

1. Находим первую производную заданной функции

2. Определяем критические точки первого рода:

или ,

Отсюда ,

3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси:

Таблица 1

Итак, В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.

6. Задача 6

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки

Решение Выполним подстановку:

Продифференцируем обе части уравнения:

=

7. Задача 7

Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Решение

1. Найдем производную знаменателя:

2. Выделим в числителе выражение, для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на, чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем за знак интеграла.

3. Запишем число, как, получим:

4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:

5. Вычислим интеграл, для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:

6. Вычислим интеграл, для этого выделим в знаменателе полный квадрат.

Интеграл принимает табличный вид:

7. Записываем решение:

8. Задача 8

Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

Решение

9. Задача 9

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А (-5; -5; 3);В (-4; 1; 1);С (1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):

Рис. 2 Схема треугольника

2 Вычисляем длины сторон:

3. Определяем углы треугольника,

следовательно, =23.3^o

следовательно, 25,4^о

Угол по формуле .

Следовательно, ,

4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:

10. Задача 10

Найти для заданной матрицы присоединенную и обратную матрицы Решение

1. Вычисляем определитель матрицы Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы алгебраические дополнения:

3. Записываем присоединенную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу

5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу

=

Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.

11. Задача 11

Найти произведения и квадратных матриц и

Решение Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

1. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)

12. Задача 12

Найти произведение прямоугольных матриц Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц

устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3×1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

13. Задача 13

Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

так как определитель системы, следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители:

4. Вычисляем значения неизвестных:

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:

.

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

,

2. Вычисляем определитель матрицы :

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:

5. Вычисляем обратную матрицу :

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:

или (1, 2, 1).

3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:

Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:

Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.

Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:

Итак, решение системы уравнений имеет вид:

,

или в краткой форме: (1,2,1).

14. Задача 14

Определить число элементарных событий и простых соединений Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные:

15. Задача 15

Вычислить вероятность события по классической схеме Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.

2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:

3. Вероятность искомого события:

16. Задача 16

Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

Решение Пусть

P (A) — вероятность попадания 3 раза,

P (B) — вероятность попадания в 1-й раз,

P (C) — вероятность попадания во 2-й раз,

P (D) — вероятность попадания в 3-й раз.

Тогда

P (B)=0,8

P (C)= P (B)-0,1=0,8−0,1=0,7

P (D)= P (C)-0,1=0,7−0,1=0,6

P (A)=P (B) •P© •P (D)=0,8•0,7•0,6=0,336

17. Задача 17

Вычисление вероятности повторных независимых испытаний Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение Используем формулу Я. Бернулли:

1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:

n=5, k=3, p=0,5, q=1−0,5=0,5

2. Вычисление вероятности искомого события:

18. Задача 18

Найти законы распределения случайных величин и, если законы распределения случайных величин и имеют вид

Решение Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.

1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.

Таблица 2.

2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.

Таблица 3

2. Проверяем достоверность вычислений:

0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0

4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины (произведения тех же случайных величин), используя табл.4.

Таблица 4

5. Записываем закон распределения случайной величины в табл. 5.

Таблица 5

6. Проверяем достоверность вычислений:

0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0

19. Задача 19

Вычислить основные характеристики вариационного ряда Таблица 6

Решение

1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7).

Таблица 7

2. По итоговым данным табл.7, получаем:

— среднюю производительность труда

3. Вычисляем характеристики вариации:

— дисперсию

— среднее квадратическое отклонение

— коэффициент вариации

4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис. 3.

Рис. 3. Результаты вычислений

20. Задача 20

Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных

Таблица 8

Решение

1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:

.

Таблица 9

2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:

Отсюда получаем: ,

а из первого уравнения

3. Записываем корреляционное уравнение

4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9

Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами и слабая.

5. Графически результаты вычислений показаны на рис. 4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости (сплошная черная линия).

Рис. 4. Результаты вычислений