Современный взгляд на соотношение логической сферы ребенка и его математического развития

Взаимозависимость формирования и развития математических способностей детей младшего школьного возраста и формирования логической сферы младших школьников является одной из популярных методических проблем последних десятилетий. Наиболее значительным исследованием в этой области явилась работа Ж. Пиаже «Генезис числа у ребенка» (1941), в которой автор достаточно убедительно доказывает, что формирование понятия о числе у ребенка (а так же и понимания смысла арифметических операций) коррелятивно развитию самой логики (формированию логических структур, в частности, формированию иерархии логических классов, т. е. классификации, и формированию асимметричных отношений, т. е. качественных операций). Данная работа послужила толчком для генерирования целого рода методических идей в младшем школьном математическом образовании последнего двадцатилетия. К вопросу развития логической сферы младших школьников обращались, в частности, З. А. Михайлов, Л. А. Венгер, А. А. Столяр, A 3. Зак.

Необходимость и возможность развития логической сферы ребенка младшего школьного возраста неоспоримы, как и то, что это проблема более всего именно математического развития. Вопрос лишь в том, на каком содержании наиболее оптимально развитие логических умений младших школьников: на традиционном арифметическом содержании или менее традиционном — геометрическом. В методических работах упомянутых авторов в большей мере используется геометрическое содержание, нежели арифметическое.

Суть проблемы состоит в том, чтобы через систему специальных заданий и упражнений организовать ситуацию, позволяющую формировать и развивать у ребенка именно логические структуры, в процессе знакомства с математическим содержанием. Сочетание такой работы с системой заданий, активно развивающих мелкую моторику, т. е. заданий логико — конструктивного характера, является фактором, активно влияющим на формирование и развитие математических способностей младшего школьника.

В методике под формированием и развитием логической сферы ребенка понимается формирование логических приемов мыслительной деятельности, а также умение понимать и прослеживать причинно — следственные связи явлений и умение выстраивать на их основе простейшие умозаключения.

Умозаключение — два или более высказываний, объединенных причинно-следственной связью. Понятие «высказывание» имеет специфический смысл. Под высказыванием в логике понимают утверждение, несущее в себе какую-то информацию.

Пример. Все кошки любят рыбу. Вчера шел дождь. Ваня — хороший мальчик, Это высказывания.

Дети, пойдемте гулять! Ой! Никогда! Какую книгу вам почитать? Это не высказывания.

Каждому высказыванию может быть приписано только одно из двух значений истинности: они могут быть либо истиной, либо ложью, Одновременно быть и тем, и другим высказывание не может.

В структуре различных высказываний есть специальные слова, показывающие уровень общности высказываний. Например, «все» «некоторые», «любые», «каждый».

Данные слова и их синонимы называют кванторами. Квантор показывает о скольких объектах говорится в том или ином высказывании.

Различают два вида кванторов: общности и существования. Квантор общности выражается с помощью слов каждый, всякий, любой, Высказывания с этим квантором называются общими. Например, «Все кошки любят молоко» — общее высказывание. Квантор существования выражается словами существует. единственный. некоторые, бывают, найдется. Эта слова используются в частных высказываниях. Например, «Эта кошка не любит молоко», «Некоторые кошки не любят сыр»,.

В математике для определения истинности высказываний с квантором общности проводят доказательство. Для установления их ложности достаточно привести пример.

Например: «Все птицы летают» — ложь, поскольку страус не летает.

Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

Например: «Бывают деревья, на которых не растут листья» — истина, поскольку на елке растет хвоя, а не листья.

Отрицание — это предложение (высказывание), которое начинается словами «неверно, что» или частицей «не». При этом, отрицая истинное высказывание" получаем ложное, а отрицая ложное высказывание, получаем истинное.

Например: Высказывание:"Лиственные деревья сбрасывают листву на зиму" — истина.

Его отрицание: 'Неверно, что лиственные деревья сбрасывают листву на зиму" — ложь, Другой вариант отрицания: «Лиственные деревья не сбрасывают листву на зиму» — ложь.

Из этих двух вариантов отрицания «технически» кажется более простым первым вариант (неверно, что). Однако школьниками понятнее второй, хотя он и не может осознанно выбирать именно сказуемое, чтобы поставить перед ним частицу.

«не» (поскольку он не знаком с этим морфологическим понятием).

На практике данная ситуация даже полезна тем, что позволяет развивать у ребенка интуитивно верное «чувство правильного выбора», ведь поставить частицу «не» можно было и перед другим словом в предложении: «сбрасывают не листву», «не деревья сбрасывают листву», однако это не будут верные способы построения отрицания.

Обучение ребенка правильному выбору нужного высказывания является первым шагом в формировании и развитии логического мышления.

Например: Выбери верное высказывание: «Утром шел дождь», «Мыши живут на дереве» и т. п.

Или в более сложной форме:

«Наступило утро, на небе высыпали звезды».

«День был морозный, солнце не грело».

Поскольку ребенку приходится работать с такими заданиями «на слух», высказывания не должны быть длинными и их не должно быть больше, чем ребенок может удержать в памяти на слух с одного раза. Объем слуховой памяти ребенка легко определить, пользуясь стандартной методикой. Учитель может просто попросить ребенка воспроизвести обе фразы в памяти. Если ребенок помнит их точно, значит, можно постепенно предлагать больше высказываний иди более длинные их формы. Если ребенок путает фразы, значит, с ним нужно начинать работать, предлагая по одному высказыванию и сразу анализируя его.

Задания такого вида будут формировать в перспективе критичность мышления, рефлексию (т.е. умение думать над своими действиями и оценивать их). Такие задания легко ввести в практику общения с ребенком на любом содержании.

На следующем этапе предлагаем ребенку самому составить высказывание так, чтобы оно было истиной или ложью.

Далее (третий этап) учим ребенка трансформировать высказывание по заданию. Например:

— Переделай это высказывание так, чтобы оно стало истиной; «Все птицы умеют плавать» и т. п.

Для трансформации высказываний можно полностью менять их структуру: «Водоплавающие птицы умеют плавать» (истина), а можно пользоваться отрицанием или введением кванторов.

Чтобы ребенок хорошо освоил логический прием отрицания, для начала можно играть с ним в простую игру — педагог говорит слово, ребенок дает его отрицание: красный — не красный, вкусный — не вкусный, бежит — не бежит, быстро — небыстро и т. п. Игра идет в быстром темпе «до первого сбоя», затем играющие меняются ролями" задача ведущего — подбирать разные морфологические формы, не зацикливаясь на прилагательных или глаголах. Затем можно переходить к построению отрицания коротких высказываний: «солнце светит» — «солнце не светит» — «светит не солнце».

При обсуждении с ребенком правильности выбора варианта целесообразно опираться на внешние условия, которые помогут правильно выбрать верную форму отрицания. В приведенном примере последняя форма построения отрицания не является правильной, поскольку и первое и третье высказывания одновременно могут быть ложью, например, вечером, когда солнца уже нет, а луна еще не вышла (напоминаем, что при правильном построении отрицания значения истинности и ложности должны быть противоположными).

Пример: является ли данная пара высказываний отрицанием друг друга?

«Это яблоко сладкое «.

«Это яблоко кислое».

Поскольку рассматриваемое яблоко может оказаться безвкусным, оба высказывания могут одновременно оказаться ложью, значит, отрицание построено неверно. Верный вариант для первого: «Это яблоко не сладкое «.

Рассмотрим другой способ трансформации высказываний. Это замена квантора общности на квантор существования и наоборот.

Например: «Некоторые дети любят манную кашу» (истина).

«Все дети любят манную кашу» (ложь).

Задания на замену кванторов в высказываниях легко добавлять в ежедневное общение с ребенком на любую тему. Полезны задания на осознанную замену и сопоставление кванторов.

Например: Из трех высказываний выбери два, в которых разными словами говориться об одном и том же:

«Bсе кошки любят сыр».

«Некоторые кошки любит сыр».

«Бывают кошки, которые любят сыр».

Составь похожее высказывание со словом «любые». На какое оно будет больше похоже? Будет оно истиной или ложью?

Для построения отрицания высказывания с кванторами можно воспользоваться общим приемом: поставить перед квантором слова «неверно, что»: «Неверно, что все кошки любят сыр».

Другой способ более сложен, квантор общности меняется на квантор существования (и наоборот)" а предложение, стоящее после квантора, — на его отрицание:"некоторые кошки не любит сыр" (отрицание высказывания «все кошки любят сыр»). При работе с дошкольниками достаточно использовать первый способ.

В логике рассматривают элементарные высказывания и составные. Все рассмотренные выше примеры являлись элементарными высказываниям. Составные высказывания образуются из элементарных с помощью слов «и», «или», «если, то…». Эти слова называют логическими связками.

Например:

«Это яблоко сладкое и красное» (может быть разделено на два элементарных высказывания «это яблоко красное» и «это яблоко сладкое»).

«Из этих деталей можно сложить квадрат или прямоугольник» (можно разделить на два высказывании: «Из этих деталей можно сложить квадрат», «Из этих деталей можно сложить прямоугольник»).

«Если весна будет теплая» то снег быстро растает" (можно разделить на два высказывания: «Весна будет теплая», «Снег быстро растает»).

Вопрос об истинности составных высказываний зависит не только от истинности входящих в него элементарных высказываний" но и от смысла самой логической связки, образующей его. В логике для определения их истинности составляют специальные таблицы (таблицы истинности), заниматься исследованием которых нет смысла с дошкольниками, поскольку эта работа значительно формализована.

Для составных высказываний достаточно, чтобы ребенок понимал суть заложенной в них структуры, т. е. при употреблении связки «и» имеется и виду, что выполняться должны одновременно обе части высказывании (для его истинности необходима истинность обоих элементарных высказываний), например: «Сегодня пасмурно и идет дождь» — для истинности всего составного высказывания необходимо, чтобы истинны были обе части.

При употреблении связки «или» достаточно выполнения хотя бы одной части высказывания.

Например: «Летняя ночь может быть теплой или холодной» — для истинности всего составного высказывания достаточно истинности хотя бы одной его части.

Полезно формировать у ребенка умение понимать смысл связок «и», «или».

Задания могут быть такими:

Кружки и квадраты закрась синим цветом, остальные — зеленым цветом.

Принеси мне, пожалуйста, ручку или карандаш и т. п.

Важно, чтобы ребенок понимал, что в первом случае следует закрасить синим цветом обе указанные формы, а во втором случае можно принести ручку, можно карандаш, а можно и то и другое.

Важную роль для развития логической сферы и, в частности, для развития доказательности мышления играет понимание ребенком высказывательной конструкции со связкой «если, то…». Правильному пониманию и употреблению этой связки учат задания на построение причинно-следственной связи в событиях житейского плана (здесь чаще употребляется связка «поэтому», «потому, что…»). Постепенно можно вводить в словарь ребенка и конструкцию «если, то…».

Например: «Если цветок не поливать, то он завянет», «Если рыбок не кормить они могут погибнуть» и т. п. Цель всех приведенных выше заданий с различными высказывательными конструкциями состоит в том, чтобы постепенно приучатъ ребенка правильному их пониманию на слух, освоению правильных форм употребления их в речи и узнаванию других людей.