Методика изучения темы «Параллельность прямых и плоскостей»

Содержание Введение

1. Логико-математический анализ темы «Параллельность прямых и плоскостей в курсе геометрии 7 — 11 классах»

1.1 Сравнительный, содержательно-методический анализ темы

1.2 Общий анализ содержания теоретического материала

1.3 Анализ понятийного аппарата темы

1.4 Анализ утверждений темы

1.5 Анализ алгоритмов и правил темы

1.6. Анализ задачного материала темы

2. Описание методики обучения учащихся темы «Параллельность прямых и плоскостей в курсе геометрии 7 — 11 классах»

2.1 Анализ методической литературы темы

2.2 Тематическое планирование изучения темы

2.3 Методика обучения базовому теоретическому материалу темы

2.4 Методика обучения учащихся решению задач по теме

2.5 Описание приложения Заключение Литература Приложение

Введение

Мотивом изучения темы «Параллельность прямых и плоскостей» является развитие абстрактного мышления и развитие кругозора школьников. Данную тему рассматривают в 10 классе в главе «параллельность прямых и плоскостей», так как учащиеся уже обладают некоторыми навыками и знаниями основной школы.

Тема содержит широкие возможности для научного образования, развития и воспитания учащихся. При изучении темы, учащиеся знакомятся с новыми понятиями, например, параллельные прямые в пространстве, скрещивающиеся прямые в пространстве, углы с сонаправленными сторонами, параллельные плоскости, тетраэдр, параллелепипед; научатся решать стандартные задачи, строить сечения; при решении задач на построение фигур и сечений у учащихся развивается абстрактное мышление, умение анализировать, а также речь; воспитывается аккуратность ведения записей и чертежей в тетради.

Ожидаемые результаты включают в себя:

· Знать какие прямые в пространстве называются параллельными, скрещивающимися, признак параллельности прямых, признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей;

· Уметь решать стандартные задачи на нахождение и построение;

· Владеть терминологией;

· Иметь представление о параллельных прямых в пространстве, о существовании плоскости параллельной данной плоскости, об изображении пространственных фигур на плоскости.

Целью исследования является разработка методики обучения учащихся. Задача исследования — анализ учебной и методической литературы, тематическое планирование.

В процессе исследования нам необходимо:

1. Изучить учебную, методическую литературу.

2. Разработать пакет дидактического материала.

3. Провести логико-математический анализ содержания темы.

Работа состоит из двух глав. В первой главе мы проанализируем учебную литературу, теоретический материал и понятийный аппарат темы, а также утверждения, правила, алгоритмы и задачный материал. Сделаем вывод.

Во второй главе опишем методику обучения учащихся теме: «Параллельные прямые в пространстве», а также методику обучения учащихся решению задач по этой теме, в том числе и тех, которые не имеют алгоритмов решения.

1. Логико-математический анализ темы «Параллельность прямых и плоскостей в курсе геометрии 7 — 11 классах»

1.1 Сравнительный, содержательно-методический анализ темы

Итак, сравнительный анализ показал, что все три учебника являются учебниками-задачниками. Учебники Атанасяна и Александрова посвящены курсу геометрии 10−11, а учебник Погорелова — курсу геометрии 7−11. Теме «Параллельность прямых и плоскостей» в учебнике Атанасяна посвящена целая глава, а в учебниках Погорелова и Александрова по одному §, хотя в целом разбираются одни и те же вопросы. Материал темы во всех учебниках изложен индуктивным методом.

Из трёх учебников я выбрала для работы учебник Атанасяна, так как, по-моему, он более наглядный, красочный, весь материал в нём чётко разделён по главам, он является самым современным из всех учебников.

1.2 Общий анализ содержания теоретического материала Блок-схема по последовательности предъявления тории темы в учебнике

Логический анализ:

Понятийный аппарат:

1. Параллельные прямые;

2. Параллельность прямой и плоскости;

3. Скрещивающиеся прямые;

4. Параллельные плоскости.

Утверждения темы:

1. Теорема единственности существования параллельной прямой;

2. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми;

3. Теорема о параллельности двух прямых относительно третьей;

4. Теорема о параллельности прямой и плоскости;

5. Теорема о скрещивающихся прямых;

6. Теорема единственности прохождения плоскости через каждую из двух скрещивающихся прямых;

7. Теорема равенства углов сонаправленных сторон;

8. Теорема параллельности плоскостей относительно пересекающихся прямых.

Правила и алгоритмы: будут введены в разработанной далее методике.

1.3 Анализ понятийного аппарата темы

Рассмотрено 4 понятия темы. Все понятия темы определены формальнологически, эквивалентных определений нет, опорными знаниями является понятия плоскости и прямой.

1.4. Анализ утверждений темы

В данной теме рассмотрено 7 теорем и одна лемма; все утверждения приведены с доказательством; две теоремы доказаны методом от противного. Две теоремы в теме рассматриваются как признаки подобия треугольников, выражают достаточные условия, а остальные как свойства и рассмотрены как необходимые условия. Эти теоремы являются основой при обучении учащихся теме «Параллельность прямых и плоскостей».

1.5 Анализ алгоритмов и правил темы Алгоритмы.

Параллельность прямой и плоскости

Опорные знания: определения взаиморасположение прямой и плоскости в пространстве.

параллельность прямая плоскость методика Скрещивающиеся прямые Опорные знания: определения взаиморасположение прямых в пространстве.

1.6 Анализ задачного материала темы

Вывод: Основная часть задачного материала рассчитана на отработку понятий и утверждений, по конструкции преобладают прямые задачи, задачи обучающего и исследовательского типа присутствуют примерно в равном отношении, значительно меньше задач стандартного типа и проблемных.

2. Описание методики обучения учащихся темы «Параллельность прямых и плоскостей в курсе геометрии 7 — 11 классах»

2.1 Анализ методической литературы тем

· Первое сентября. Математика № 9, 2009, стр. 12.

Представлена разработка урока: «Параллельные прямые», в помощь учителю представлены тест, лото (таблица с заданиями и карточки с ответами), кроссворд, вопросы для блиц-опроса, а также вопросы для фронтальной работы с классом.

· Первое сентября. Математика № 18, 2008, стр. 48.

Представлено решение задачи «Шесть отрезков и тетраэдр». Данную задачу можно использовать на факультативных занятиях.

· Математика в школе № 1, 2008, стр. 15.

Статья о некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Рассматриваются несколько способов решения данной задачи. Материал можно использовать для разработки урока одной задачи.

· Геометрия 10 класс: поурочные планы по учебнику Л. С. Атанасяна авт.-сост. Г. И. Ковалева — Волгоград: Учитель, 2005.

2.2Тематическое планирование изучения темы

Вывод: таким образом было рассмотрено примерное тематическое планирование темы, направленное на усвоение и отработку свойств параллельности прямых и плоскости.

2.3 Методика обучения базовому теоретическому материалу темы

1. Урок: «Параллельность прямые в пространстве».

Объяснение нового материала.

У: Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, являются параллельными)?

У: Дайте определение параллельных прямых на плоскости.

у: (

либо a не пересекает b).

У: Определение прямых в пространстве — то же.

У: Дан куб. Все грани — квадраты. Являются ли параллельные прямые АА₁ и DD₁, АА₁ и СС₁? Ответ обоснуйте. А прямые АА₁ и DС параллельны? Они пересекаются?

Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются, но не являются параллельными, т. к. не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися ().

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

У: Назовите скрещивающиеся прямые, которые встречаются у нас в классе. Рассмотрим алгоритм взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Решение задач.

1. Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельы? (Устно).

2. Какие две прямые называются параллельными? (Устно).

3. Все грани — квадраты. Установите взаимное расположение прямых:

AD…A₁D₁; AB₁… B₁C₁; AB₁… DC₁;

A₁ D₁ AD… B₁C₁; B₁C₁… DC₁; BB₁…DC.

Домашнее задание: Пункт 4, № 16.

2. Урок: «Параллельность прямой и плоскости».

Объяснение нового материала.

У: Давайте ответим вместе на следующие вопросы:

· Назовите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости. (Прямая принадлежит плоскости, прямая пересекает плоскость, прямая не лежит в плоскости).

· Сколько точек пересечения может иметь прямая и плоскость? (Одну, более одной, не иметь вообще). Обосновать ответ.

· Посмотрите вокруг. Назовите все варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве в нашем классе, и как называется такое расположение?

У: Теперь рассмотрим алгоритм взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

· Рассмотрим прямую и плоскость.

· Рассмотрим расположение относительно точки

· Если пряма и плоскость в пространстве не имеют хотя бы одну общую точку, то они параллельны

· Если прямая и плоскость в пространстве имеют одну общую точку, то возможны два случая: либо более одной общей точки, либо только одна.

· Если точка только одна, то прямая и плоскость пересекаются

· Если более одной, то прямая принадлежит плоскости.

Да Нет

Да Нет

У: Запишите этот алгоритм в тетрадь. Итак, так какие прямая и плоскость называются параллельными?

у: Пряма и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

У: На модели куба укажите плоскости, параллельные прямой DC, прямой DD₁. Как установить параллельность прямой и плоскости? В силу бесконечности прямой и плоскости сделать это по определению очень трудно. Нужен признак параллельности прямой и плоскости.

Обратите внимание на модель куба. DC||(AA₁B₁). В плоскости (AA₁B₁) имеется прямая АВ, параллельная DC. DC||(A₁B₁С₁). В плоскости (A₁B₁С₁) имеется прямая D₁C₁, параллельная DC.

У: Попробуйте сформулировать признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой — нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство.

У: Рассмотрим плоскость б и две параллельные прямые, а и b, расположенные так, что прямая b лежит в плоскости б, а прямая, а не лежит в этой плоскости. Докажем, что а|| б. Предположим, что это не так. Тогда в какой плоскости будет лежать прямая а?

у: В плоскости б.

У: Верно. Но по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b тоже пересекает плоскость б. Но что сказано в условии про прямую b и плоскость б?

у: Что прямая b лежит в плоскости б? Поэтому это предположение невозможно.

У: Поэтому прямая, а не пересекает эту плоскость, поэтому как расположены данная прямая к плоскости?

у: она параллельна данной плоскости.

У: теорема доказана.

3. Урок: «Скрещивающиеся прямые»

Опрос:

· Какие прямые называются параллельными?

· Какие прямые в плоскости называются пересекающиеся?

· Сколько общих точек при пересечении имеет плоскость и прямая? (два случая)

· Что значит: пряма и плоскость параллельны?

· Какие плоскости называются перпендикулярными?

· Какие плоскости называются параллельными?

Наглядно-поисковые задачи:

У: Даны рисунки на слайде. Укажите номера рисунков, являющимися ответом на следующие вопросы-задания.

Вопросы (устно):

1. На каких рисунках изображены параллельные прямые? Обосновать ответ.

у: В 1, так как прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек пересечения; во 2, так как прямые хоть и лежат в разных плоскостях, но не имеют общих точек, то есть не пересекаются; в 6 прямые b и c также не имеют точек пересечения.

2. Назовите перпендикулярные прямые? Ответ обосновать.

у: 5-й рисунок, так как угол (аОв) равен 90⁰.

3. На каких рисунках изображены пересекающиеся прямые? Обосновать.

у: 5-й и 6-й рисунки, так как прямые имеют общую точку.

4. Назовите непересекающиеся прямые? Обосновать.

у: Непересекающиеся прямые не имеют общих точек, поэтому 1, 2, 3, 4 и 6 (b и c).

У: Вы прекрасно справились с заданиями. С их помощью мы вспомнили некоторые свойства прямых, которые понадобятся нам для усвоения сегодняшней темы «Скрещивающиеся прямые».

У: На какие группы можно разделить две прямые относительно плоскости?

у: Они могут лежать в одной плоскости, либо в разных плоскостях.

У: Рассмотрим прямые, которые лежат в одной плоскости. Разделим относительно общих точек две прямые.

у: Прямые либо имеют общую точку, либо не имеют.

У: Соответственно, какие названия они носят?

у: Пересекающиеся и параллельные.

У: Рассмотрим теперь прямые, которые не лежат в одной плоскости. Какие рисунки на слайде № 3 можно отнести к этому описанию?

у: 2, 3, 4, 6 (прямые b и c).

У: Почему мы не отнесли к этой категории 5 рисунок?

у: Так как эти прямые лежат в одной плоскости.

У: Но если посмотреть внимательно на рисунки 2 и 6, то можно заметить, что можно провести плоскость через данные прямые, следовательно, они тоже могут лежать в одной плоскости. Чего не скажешь о рисунках 3 и 4.

У: Делаем вывод, что прямые на рисунке 3 и 4 — скрещивающиеся.

У: Рассмотрим решение следующей задачи. Доказать, что все прямые, пересекающие параллельные прямые, лежат в одной плоскости (стр.239)

У: Решение Так как данные прямые a и b параллельны, то через них можно провести плоскость. Смотрим на слайд. Обозначим эту плоскость. Сколько общих точек имеет прямая c с плоскостью, которая пересекает данные параллельные прямые?

у: Две.

У: Верно. Как называются такие точки?

у: Точи пересечения

У: Вспомним теорему, которую мы рассматривали ранее о том, что если две прямые лежат в одной плоскости и третья пересекает их, то эти три прямые лежат в одной плоскости. Какой вывод можно сделать относительно всех прямых, пересекающих a и b в плоскости ?

у: Они все лежат в плоскости .

У: Запишем решение на доске. Кто желает к доске?

Усвоение нового.

Работа с формулировкой теоремы

У: Рассмотрим параллельные прямые. Сколько точек достаточно для того, чтобы провести параллельную прямую относительно другой?

у: Одну.

У: Почему?

у: Так как остальные точки данной прямой будут лежать на том же расстоянии, что и данная.

У: Рассмотрим теорему, утверждающая этот факт и рассмотрим ее доказательство. Запишем в тетрадь: «Теорема. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну». (Слайд № 6)

У: Замечание. Утверждение единственности в теореме не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.

У: Проведем доказательство (слайд № 7)

Пусть, а — данная прямая и точка, А — точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через точку, А и прямую, а плоскость. Почему такую плоскость можно провести?

у: Плоскость можно провести через три любые точки. А так как нам дана точка, А и две любые точки на прямой а, поэтому такая плоскость существует.

У: Верно. Теперь проведем а₁, лежащую в и параллельную прямой а. Докажем, что а₁, параллельная а, единственная. Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку, А и параллельная прямой а. Проведем плоскость. Через какие точки она проходит?

у: Через точку, А и две точки, лежащие на прямой а, то есть через точку, А и прямую а.

У: Что мы можем сказать о плоскостях и ?

у: совпадает с, так как проходят через точку, А и прямую а.

У: Верно. Теперь по аксиоме параллельных прямые а₁ и а₂ совпадают. Теорема доказана.

4. Урок: «Параллельность плоскостей»

Объяснение нового материала.

У: Посмотрите на стены и пол в нашем классе. Каково взаимное расположение стены и потолка?

у: Они пересекаются по прямой.

У: Каково взаимное расположение пола и потолка?

у: Они не пересекаются, т. е. параллельны.

У: Делаем вывод: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой — это нам известно. Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой, либо на пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки. Исходя из этих фактов, какие прямые мы будем называть параллельными?

в

а б

а) б) у: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

У: Есть специальное обозначение: б||в.

У: В силу бесконечности плоскостей, довольно трудно определить практически являются ли они параллельными. Поэтому рассмотрим признак параллельности плоскостей.

Теорема. Если две пересекающихся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано: плоскости б и в,

в a₁ ,

b₁ ,

б М, а a||a₁, b||b₁.

b Доказать: б||в Доказательство.

У: Какое замечание можно сделать по признаку параллельности прямой и плоскости относительно прямых a и b и плоскости в?

у: а||в, b||в.

У: Допустим, что плоскости б и в не параллельны. Тогда какие они?

у: Пересекающиеся по некоторой прямой, назовем ее с.

У: Тогда мы получим, что плоскость б проходит через прямую а, а||в, и пересекает плоскость в по прямой с. Какой вывод можно сделать о прямых, а и с?

у: a||c.

У: Но плоскость б проходит также через прямую b, b||в. Что мы можем тогда сказать о b и c?

у: Они также параллельны.

У: Таким образом, через точку М проходит две прямые a и b, параллельные прямой с. Возможно ли такое, и почему?

у: Нет, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с.

У: Значит наше допущение не верно и, следовательно, б||в. Теорема доказана.

5. Урок: «Тетраэдр»

Объяснение нового материала.

У: Что мы понимаем под многоугольником в планиметрии? Посмотрите на рисунки, чем они отличаются?

у: На рисунке а) многоугольник АBCDE — фигура, составленная из отрезков, а на рисунке б) многоугольник АBCDE — часть плоскости, ограниченная линией АBCDE.

У: При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться вторым толкованием многоугольника. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

У: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника.

Соединим точку D отрезками с вершинами треугольника АВС. Какие треугольники мы получим?

у:

У: Поверхность, составленная из четырех треугольников, называется тетраэдром и обозначается так: DABC.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Сколько граней, ребер и вершин содержит тетраэдр?

у: 4 грани, 6 ребер, 4 вершины.

У: Посмотрите внимательно на рисунок. Все ли ребра имеют общие вершины?

у: Нет. Например, ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB не имеют общих вершин.

У: Такие ребра называются противоположными. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие — боковыми гранями. Почему на рисунке 2 одна прямая заштрихована?

у: Потому что мы ее не видим, так как она находится за плоскостями.

У: Верно. Тетраэдр изображается обычно так, т. е. в виде выпуклого четырехугольника, но не будет считаться ошибкой, если вы изобразите его как на рисунке 3.

D

С

А В

2.4 Методика обучения учащихся решению задач по теме Методика обучения решению задач проходит в пяти этапах:

1. Анализ содержания задачи;

2. Поиск способа решения;

3. Оформление решения задачи;

4. Проверка решения и запись ответа;

5. Исследование задачи.

Четких алгоритмов решения задач по данной теме нет. Для решения задач необходимо знать предыдущую теорию, так как она широко используется при решении, как базовый материал.

Я рассмотрю пример решения задачи 18 (а) и составлю для нее алгоритм решения.

18 (а). Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку, А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если точка С — середина отрезка АВ и ВВ₁=7 см.

Решение.

У: Первое что необходимо доказать, что точки А, С₁ и В₁ лежат на одной прямой. Какую плоскость будем рассматривать?

у: Плоскости (АВВ₁).

У: Обозначим эту плоскость в. (АВВ₁)= в. В какой прямой ?

у: АВ₁.

У: Теперь надо доказать, что. Каким методом мы можем это сделать? Методом от противного возможно? Какие предположения мы тогда сделаем?

у: Пусть .

У: В какой точке прямая СС₁ будет пересекать плоскость в?

у: В точке С.

У: Но в условии нам дано, чтои. Какой вывод можно сделать относительно прямой ВВ₁ и плоскости в?

у:. Но это противоречит условию, что .

У: Следовательно,. Второй этап: найдем СС₁. Каким образом?

у: СС₁ — средняя линия, тогда, пользуясь свойством средней линии, получим, СС₁=3,5.

У: Задача решена. Выделим алгоритм:

1. Доказали, что точки А, С₁ и В₁ лежат на одной прямой.

2. Нашли непосредственно Среднюю линию.

2.5 Описание приложения Приложение 1. Может использоваться учителем как методическое пособие, в котором рассмотрен полностью урок на интерактивной доске. Оно содержит подводящие вопросы, наглядно-поисковые задачи, наглядный алгоритм, пример решения задач на данную тему.

Приложение 2. Контрольная работа, позволяющая оценить уровень усвоения темы. В ней проверяются знания о взаиморасположении прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве. Критерий оценки: Все задания сделаны правильно — отлично, четыре сделаны правильно — хорошо, Три сделаны правильно — удовлетворительно, если менее трех заданий — плохо.

Приложение 3. Домашняя контрольная работа позволяет оценить уровень усвоения и подготовки учащихся по пройденной теме. Учащиеся могут повторить и отметить для себя «пробелы» в пройденном материале, а также задать вопросы учителю, если им что-то не понятно. Данный вид контроля позволяет улучшить качество написания контрольной работы. Критерий оценки: Три задания правильно — отлично, два задания — хорошо, одно задание — удовлетворительно.

Вывод: методический материал, который я подобрала по данной теме можно разделить на две группы: теоретический и методика контрольных работ.

Заключение

В реферате была проведена следующая работа:

1. Анализ методической и учебной литературы, анализ содержания темы «Параллельность прямых и плоскостей».

2. Анализ понятийного аппарата.

3. Анализ утверждений темы.

4. Анализ алгоритмов.

5. Описание методики обучения данной теме.

6. Описание методической литературы.

7. Составлено тематическое планирование изучения темы.

8. Проведен подбор соответствующих дидактических материалов.

9. Описаны приложения к данной теме.

Результаты данного реферата могут быть использованы при обучении теме «Параллельность прямых и плоскостей» в школьном курсе математики в 10 классе.

1. Погарелов А. В. Геометрия 7−9. М: Просвещение, 1990

2. Атанасян Л. С. Геометрия 10−11. М: Просвещение, 2000

3. Александров А. Д, Геометрия 10−11. М: Просвещение, 1998

4. Геометрия 10 класс: поурочные планы по учебнику Л. С. Атанасяна авт.-сост. Г. И. Ковалева — Волгоград: Учитель, 2005.

5. Математика в школе № 1, 2008.

6. Первое сентября. Математика № 18, 2008.

7. Первое сентября. Математика № 9, 2009.

Приложение В данном реферате рассмотрены следующие приложения:

1. Интерактивный урок на тему: «Параллельные прямые в пространстве».

2. Контрольная работа

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей через эти точки?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?

3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли прямые в одной плоскости?

4. Каково взаимное положение прямых: 1) АD₁ и MN;2) АD₁ и BC₁;3)MN и DC?

5. Прямые a и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые a и b пересекаться?

3. Домашняя контрольная работа № 2.

1. Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями б и в, проведены прямые a и b. Прямая, а пересекает плоскость б и в в точках А₁ и А₂ соответственно, b — в точках В₁ и В₂. Найти В₁В₂,