ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ², ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ (ΡΠΈΡ. 5). ΠΡΡΠΌΡΠ΅ Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π° Π½ΠΈΡ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π° ΠΈΡ
ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° — Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π° Π΄Π²Π° Π»ΡΡΠ°. ΠΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΡΡ, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π»ΡΡ — ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΡΡ.
Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ρ
, Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ — ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ρ, ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° — Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΠΉ, Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ z. ΠΡΠ»ΠΈ Π (x; y; z) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Oxyz. ΠΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Ρ. Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· iΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· j— Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· k — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡΠΈ Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ i, j, k Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
a=xi+yj+zk
ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ. Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ x, y ΠΈ z Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΈΠ³ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ
ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: a{x; y; z}.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 0=0i+0j+0k, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΈΡ
ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ:
- 1) ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ
ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
- 2) ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
- 3) ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.