Оценка погрешностей измерений

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

Кафедра «Электронные приборы и устройства»

Курсовая работа на тему:

«Оценка погрешностей измерений»

Выполнил студент группы ЭПУ-41

Оруджев Р.Ф.

1. Задание к курсовой работе Выборка случайных величин

2. Расчетная часть

2.1 Объем выборки В математической статистике исходная исследуемая случайная величина называется генеральной совокупностью, а полученный из нее набор экспериментальных данных — выборочной совокупностью (выборкой).

Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется ее объемом (и соответственно).

Согласно исходным данным, .

2.2 Интервальные статические ряды Числа, показывающие сколько раз встречаются варианты в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки — частостями:

где .

Для определения оптимального значения интервала в первом приближении используем формулу Стерджеса:

По формуле (2) получаем следующий результат:

Составим интервальный статический ряд, воспользовавшись формулами (1−2).

Таблица 1. Интервальный статический ряд (5 интервалов)

Таблица 2. Интервальный статический ряд (10 интервалов)

Таблица 3. Интервальный статический ряд (15 интервалов)

Таблица 4. Интервальный статический ряд (20 интервалов)

а б

в г Рис. 4. Диаграммы частоты в выбранных интервалах: а — для 5 интервалов, б — для 10 интервалов, в — для 15 интервалов, г — для 20 интервалов

2.3 Медиана вариационного ряда Медиана вариационного ряда — это значение признака, приходящееся на середину ряда. Получаем:

Значение медианы не зависит от выбора количества интервалов ().

2.4 Размах вариации Размах вариации называется число, где — наибольший, — наименьший вариант ряда.

Размах вариации не зависит от выбора количества интервалов ().

2.5 Выборочное среднее Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

Для интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а — соответствующие им частости.

Для 5 интервалов; для 10, для 15 интервалов, для 20 .

2.6 Выборочная дисперсия Выборочная дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней:

Для 5 интервалов, для 10, для 15 интервалов, для 20 .

2.7 Выборочное среднеквадратическое отклонение выборки Этот параметр определяется как:

Для 5 интервалов, для 10, для 15 интервалов, для 20 .

2.8 Эмпирическая (статистическая) функция распределения Эта функция, определяет для каждого значения частость события. Для нахождения эмпирической функции ее записывают в виде:

где — объем выборки, — число наблюдений, меньших. Найдем по (8) значения эмпирической функции распределения с 5, 10, 15, 20 интервалами:

* в скобках обозначен номер интервала

а б

в г Рис. 5. График эмпирической функции распределения: а — для 5 интервалов, б — для 10 интервалов, в — для 15 интервалов, г — для 20 интервалов

2.9 Мода Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. По следующей формуле вычислим значение моды:

где — минимальная граница модульного интервала;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Таблица 5. Параметры для вычисления моды и значения моды

2.10 Медиана Медиана интервального статистического ряда вычисляется по следующей формуле:

где — начальное значение медианного интервала;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

— частота медианного интервала.

Таблица 6. Параметры для вычисления медианы и значения медианы

2.11 Кривая распределения Кривая распределения (считаем, что закон распределения нормальный) для упорядоченных значений случайных величин выглядит следующим образом:

Рис. 6. Кривая распределения для упорядоченных значений случайных величин

2.12 Степень сродства к нормальному распределению Степень сродства к нормальному распределению (здесь — для диаграммы частоты) — отношение числа точек, для которых отклонение от гауссовой функции составляет менее 0.05 по модулю к числу интервалов.

Для определения этого параметра воспользуемся формулами (11).

погрешность вариационный выборочный распределение

где ;

— множитель амплитуды гауссовой функции (подбираемая для ее сравнения с диаграммой частот); - дисперсия; - математическое ожидание; - нормированное к максимуму значения частот в каждом интервале; - число точек, для которых отклонение от гауссовой функции составляет менее 0.05; - число интервалов, — степень сродства к нормальному распределению (%).

а б

в г Рис. 7. Сравнение функции Гаусса с диаграммой частоты: а — для 5 интервалов (), б — для 10 интервалов (), в — для 15 интервалов (), г — для 20 интервалов ()

2.13 Сравнение параметров случайных величин Сравним с помощью таблиц и графиков найденные параметры случайных величин.

Таблица 7. Параметры случайных величин

Вывод В ходе выполнения данной курсовой работы были изучены методы статистической оценки распределения случайной величины. Были осуществлены расчеты по представленной выборке, рассмотрены основные числовые характеристики случайной величины: объем выборки, медиана вариационного и статистического ряда, размах вариации, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана. Выявлено, что выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое отклонение выборки имеет максимальное значение при 5 интервалах. Обнаружено, что медиана интервального статистического ряда растет при увеличении числа интервалов.

Построены диаграммы частоты в выбранных интервалах, кривая распределения, эмпирическая функция распределения, определяющая частость события для каждого значения случайной величины, а также графики сравнения функции Гаусса с диаграммой частоты. Диаграммы частоты при увеличении числа интервалов становятся неравномерными, а эмпирическая функция распределения, наоборот, становится более гладкой.

Был установлен теоретический закон распределения случайной величины — данная случайная величина имеет нормальное распределение со степенью сродства к нормальному распределению не менее 45% в выбранных интервалах. Замечено, что при увеличении числа интервалов степень сродства уменьшается вследствие большей неравномерности диаграммы частоты.