Закон всемирного тяготения Ньютона

Комплексная цель: Основной целью данного модуля является углубление знания закона всемирного тяготения Ньютона.

Краткое изложение программного материала: Обсуждается проблема точности обратной квадратичности зависимости силы притяжения от расстояния между телами.

Содержание модуля.

Пр: Итак, в начале семнадцатого столетия Кеплер открыл свои знаменитые законы движения планет Солнечной системы, в частности, первый закон, который утверждает, что планеты движутся по эллиптическим траекториям. А как Вы думаете, задавался ли Кеплер вопросом почему планеты движутся именно таким образом, т. е. какова причина существования в природе законов, носящих его имя?

Ст: Нет, мне это совершенно неизвестно, и я безусловно поищу в Интернете информацию об этом. Но сейчас всем хорошо известно, что законы Кеплера можно объяснить на основе закона всемирного тяготения Ньютона.

Пр: Совершенно верно. Сформулируйте, пожалуйста, этот закон.

Ст: Все тела в природе притягиваются друг к другу, причем сила этого притяжения определяется формулой:

(7).

где G — гравитационная постоянная, m и M — массы взаимодействующих тел, а R — расстояние между ними.

Пр: А чему равно R в случае, если в космическом пространстве друг к другу приближаются два астероида достаточно неправильной формы — две каменные глыбы совсем не похожие на шары?

Ст: Очевидно, в данном случае R есть расстояние между центрами масс этих небесных тел.

Пр: К сожалению, Вы неправы и здесь далеко не все так очевидно, как это Вам кажется. Формула (7) описывает притяжение только между материальными точками или шарами (в этом случае R есть расстояние между центрами шаров). Последнее, наверно, Вам кажется очевидным…

Ст: Да, то, что для случая шаров формула (7) справедлива, мне кажется совершенно тривиальным. А вот что касается астероидов неправильной формы, то я, честно говоря, затрудняюсь дать определенный ответ…

Пр: Но ведь мы знаем, что обсуждаемая нами формула Ньютона справедлива для материальных точек…

Ст: Я, кажется, начинаю понимать… Может быть, нужно мысленно разбить астероиды на достаточно большое число столь малых частей, что каждую из них приближенно можно считать материальной точкой. После этого нужно найти геометрическую сумму сил гравитационного взаимодействия между всеми парами таких точек, одна из которых принадлежит первому астероиду, а другая — второму. Наверно, эту задачу можно свести к вычислению некоторых кратных интегралов…

Пр: Прекрасно, Вы действительно на правильном пути — наша задача сводится к некоторому процессу интегрирования. Более того, вероятно Вы знаете, что честь открытия дифференциального и интегрального исчислений одновременно принадлежит двум авторам — Лейбницу и Ньютону. При этом Ньютон пришел к идее интегрального исчисления в результате размышлений именно над задачей о силе притяжения двух тел произвольной формы.

Замечу, что Вы вряд ли сумеете вычислить силу гравитационного притяжения двух трехмерных тел произвольной формы, но вот выполнить эту операцию в простейшем случае с помощью прямого компьютерного моделирования, весьма поучительно. Попробуйте сами сформулировать простейшую задачу из этого класса.

Ст: Может быть, рассмотреть гравитационное взаимодействие двух тонких спиц, находящихся на одной прямой? В этом одномерном случае, пожалуй, я бы смог с помощью компьютерного моделирования найти силу притяжения при любом расстоянии между спицами.

Пр: Отлично. Обязательно проведите такое вычисление дома и убедитесь, что, если Ваши спицы находятся достаточно близко друг к другу, формула где R — расстояние между их центрами, совершенно некорректна.

Аналогичным образом можно проверить, что притяжение кубиков, находящихся на близком расстоянии друг от друга (тогда их нельзя считать материальными точками), также невозможно описать формулой (7).

Наверное Вам будет интересно узнать, что Ньютону потребовалось около 20 лет на то, чтобы строго доказать, что формула (7) справедлива для шаров, находящихся на любом расстоянии R друг от друга. И это отнюдь не так очевидно, как Вам вначале показалось! Зато, как мы уже говорили, в процессе этих размышлений Ньютон и пришел к идее интегрального исчисления.

Ст: Да,… это очень интересно и я обязательно поищу в Интернете историческую справку о том, как Ньютон пришел к этому своему открытию.

Пр: Прекрасно. Обязательно постарайтесь найти также и информацию о том, как Ньютон пришел к закону всемирного тяготения и формуле (7) (неужели просто от удара яблока по голове?!). Могу только заметить, что формула (7) фактиески была им выведена из законов Кеплера…

Ст: Постойте-постойте, в связи с Вашими словами у меня возник вопрос… Ведь мы уже говорили, что законы Кеплера в Солнечной системе не являются точными, а лишь приближенными… Значит ли из этого, что выведенная с их помощью формула Ньютона (7) также является приближенной? Например, она могла бы иметь вид: где д — достаточно маленькая величина, обусловленная степенью приближенности законов Кеплера.

Пр: В настоящее время в учебниках обычно делается наоборот: не формула Ньютона выводится из законов Кеплера, а законы Кеплера получаются из формулы Ньютона в предположении, что она является точной. При этом следовало бы поступить следующим образом — перейти в задаче двух тел (движение планеты вокруг Солнца) к системе отчета, в которой центр масс этих тел покоится. Тогда мы приходим к задаче о движении одного тела в поле неподвижного силового центра, действующего на некоторую «приведённую массу» () с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до него.

Ст: Насколько я Вас понял, из предположения о точности формулы Ньютона следует, что законы Кеплера для задачи двух тел выполняются абсолютно точно. Но я все-таки не понимаю, насколько мы можем быть уверены в точности формулы Ньютона, если она сама была выведена на основе законов Кеплера, которые были открыты в результате астрономических наблюдений, и поэтому заведомо точными не являются?

Пр: В истории физики неоднократно делались попытки экспериментального подтверждения правильности формулы Ньютона (7), однако проведение таких экспериментов в земных условиях (поищите соответствующую информацию в Интернете!) крайне затруднительно в силу чрезвычайной малости гравитационных сил. Астрономические же наблюдения движения системы двух изолированных тел (без влияния со стороны каких-либо других космических объектов) невозможны в принципе. Тем не менее, есть некоторая другая область физики, где аналогичные исследования в земных условиях вполне выполнимы. Не догадываетесь ли Вы, на что я намекаю?

Ст: Да, конечно. Вы наверняка имеете в виду закон Кулона:, который описывает взаимодействие двух точечных зарядов.

Пр: Вы правы, я имею в виду именно закон Кулона. Он действительно неоднократно проверялся в земных условиях, уже хотя бы потому, что электростатические взаимодействия намного сильнее гравитационных. Более того, в случае электростатики были найдены некоторые косвенные методы проверки корректности формулы Кулона. В результате экспериментов, проведенных в разные годы разными авторами, в настоящее время известно, что отклонение от двойки показателя степени R в знаменателе формулы Кулоны не превышает величины 10−16.

Ст: Но ведь подтверждение закона Кулона не является автоматическим доказательством правильности формулы Ньютона, поскольку электрические и гравитационные взаимодействия имеют совершенно различную физическую природу.

Пр: В связи с этим, давайте вернемся к той задаче, которую мы уже рассматривали с Вами с помощью компьютерного моделирования — задаче о движении тела малой массы в гравитационном поле неподвижного Солнца. На сей раз будем предполагать, что их взаимодействие описывается не формулой (7), а некоторой ее модификацией которую Вы уже выше сами и предлагали.

Ст: Да, я обязательно проведу соответствующие вычисления. Мне кажется, что они достаточно просты, поскольку в той программе, которую я уже написал для случая традиционного гравитационного взаимодействия нужно изменить лишь показатель степени R в знаменателе.

Пр: Заметьте, что таким образом Вы проведете вычислительный эксперимент, который в принципе невозможно осуществить в виде реального физического эксперимента. Действительно, ведь мы с Вами не Боги и не можем по своему усмотрению изменить закон всемирного тяготения для того, чтобы проверить, к каким последствиям такое изменение может привести. А вот вычислительный эксперимент позволяет достаточно легко ответить на этот вопрос.

Как Вам кажется, каков может быть характер искажения орбиты планеты при условии, что гравитационная сила определяется формулой.

Ст: Мне кажется, что малая поправка в формуле (8) приведет к малому изменению формы эллипса (уж по крайней мере ясно, что за счет добавления 0 орбита планеты треугольной не станет!).

Пр: Да, действительно, треугольной она не станет… А вот рассказ, что с ней случится на самом деле, я жду от Вас на следующем нашем занятии.

Ст: Вы знаете, в результате проведенных вычислительных экспериментов, о которых мы с Вами договорились на прошлом занятии, я обнаружил, что траектория движения планеты уже не будет замкнутой кривой! Более того, при малых значениях (например, при =0.05) каждый виток планеты вокруг Солнца напоминает эллипс, но от витка к витку большая ось этого эллипса слегка поворачивается в его плоскости (см. рисунок 4а).

Если же следить за орбитой планеты достаточно долго, оказывается, что она полностью лежит в слое между двумя окружностями. Эта ситуация изображена при = -0.1 на рисунке 4б.

а) б) Рис. 4.

Пр: Это правильный результат. А не обратили ли Вы внимание на то, чем отличается картина движения планеты при >0 и <0?

Ст: Нет, не обратил, но я обязательно проведу соответствующие вычислительные эксперименты при различных знаках поправки .

Ст: Вы знаете, оказывается, что в зависимости от знака поправки, эллипс вращается или «по», или «против» часовой стрелки…

Пр: Скажите, а Вы никогда не слышали о небольших поворотах эллиптической орбиты у реальных планет Солнечной системы при их многократных оборотах вокруг Солнца?

Ст: Я слышал, что такое изменение орбиты наблюдается у самой близкой к Солнцу планеты — у Меркурия, но обычно этот эффект объясняют с помощью общей теории относительности Эйнштейна.

Пр: Да, Вы правы. Но мы сейчас не будем углубляться в эту теорию, а продолжим исследовать движение тел под действием обычных гравитационных сил, полностью оставаясь в рамках классической физики. В частности, попробуйте к следующему занятию исследовать зависимость скорости вращения главной оси эллипса от величины поправки к формуле (7) закона всемирного тяготения.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать характер искажения эллиптической орбиты планеты, движущейся вокруг неподвижного Солнца при условии, что гравитационная сила определяется формулой .

Тест рубежного контроля.

Тест содержит 3 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

• 1. Можно ли по формуле Ньютона найти силу притяжения между двумя астероидами неправильной форму при произвольном расстоянии между ними?
• 1) Нельзя
• 2) Можно, считая Rрасстоянием между центрами масс
• 3) Можно, считая Rрасстоянием между ближайшими точками астероидов

• 2. Как может измениться характер траектории движения тела, если бы закон всемирного притяжения имел вид, где — малая поправка?
• 1) Траектория превратится в эллипсис с измененным эксцентриситетом.
• 2) Траектория станет незамкнутой.
• 3) Превратиться в гипотрохоиду.
• 3. С какой степенью точности показателя 2 в знаменателе выполняется закон Кулона?
• 1)
• 2)
• 3)

Бланк ответов.

Критерий оценки Число правильных ответов — 3 2 1 0.

Оценка — 5 4 3 2.