История некоторых базовых понятий математического анализа и векторного исчисления

1. Функция.

Вероятно, невозможно указать, когда впервые появились функции в виде таблиц, графиков и т. п. Уже в 2000 г. до н. э. вавилонские математики широко использовали при вычислениях таблицы обратных чисел, квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и т. п. Самая древняя таблица хорд (синусов) нам известна из «Альмагеста» Птолемея.

Важную роль в развитии общего поняти функциональной зависимости сыграли в Средние века натурфилософские школы Оксфорда и Парижа, где проводились кинематические исследования. Здесь разрабатывали понятия движения (motus), скорости (latitudo motus или velocitadis), ускорения (latitudo aequisitionis latitudinis motus), мгновенной скорости, равномерного движения, равномерного ускорения. Орем привел одно из первых графических представлений функционального соотношения (между временем и скоростью). Развитие тригонометрии и открытие логарифмов в начале XVII в. также означали новые шаги в осознании идеи функциональной зависимости величин [5].

После появления символики буквенной алгебры в астрономии вместо составления таблиц начинают находить траектории небесных тел; их «уравнения», как во времена Аполлония, по-прежнему выражались на языке пропорций [4]. Наконец, в аналитической геометрии Декарта и Ферма (ок. 1637 г.) появилась четкая мысль, что уравнение, связывающее х и у, определяет функцию [11].

Латинское слово functio означает «свершение, исполнение» (латинский глагол fungor, functus sum, fungi значит «осуществлять, исполнять обязанность»). Как математический термин слово функция появилось впервые у Лейбница, в рукописях с 1673 г., в публикациях с 1692 г. В «Mathematische Lexicon» Вольфа (1716) термин функция еще отсутствует, слово уже встречается во втором издании (1747). В русской литературе появление термина функция относится к 1707 г., а до этого времени заимствования из латыни, а также итальянское funzione и польское funkcya. Функциями кривой Лейбниц называл абсциссы, ординаты, хорды и другие отрезки, связанные с рассматриваемой линией. «Функция"не рассматривалась как величина, зависящая от некоторой другой переменной. В 1698 г. И. Бернулли употребил термин «функция ординат» [10].

Позднее И. Бернулли определил функцию как «переменную величину, заданную аналитическим выражением, составленным из переменной х и постоянных величин» (1718), таким образом, понятие связывалось с формулой, а не с линией (заметим попутно, что «постоянные и переменные количества» были определены с самого начала в первом руководстве по дифференциальному исчислению, написанном Лопиталем и опубликованном в 1696 г.).

Знаменательно, что Ньютон в это же время (1676) употребляет для функции название «ордината». Он четко оценил роль понятия: «Я е мог бы получать эти общие результаты, если бы не отвлекся от рассмотрения фигур и не свел все просто к исследованию ординат». Ньютон употреблял также оборот «буквенное выражение» [3].

Эйлер дал общее определение функции как произвольной зависимости одной величины от другой; при этом он ввел неявно заданные и параметрически заданные функции (1755) и распространил определение на величины, зависящие от нескольких переменных (1748).

Фундаментальные открытия, менявшие лицо математики, вызывавшие пересмотр основ ее, неизбежно затрагивали понятие функции, в дискуссиях оно изменялось, уточнялось: отделение анализа от геометрии привело к понятию функции. Вековой спор о задаче колебания струны вызвал определение функции Дирихле-Лобачевского (1837−1848). Слова «определение функции по Дирихле» вошли в обиход, благодаря Ганкелю: до его работы 1870 г. никто не утверждал, что общее определение понятия функции принадлежит Дирихле. В связи с исследованиями по математической логике и основам арифметики Фреге («Begriffsschrift», 1879; последующие работы) отказался от само собой разумеющегося предположения, что аргумент и значения функции числа (в тесной связи с введенным им понятием «пропозициональной функции»). Наконец, определение функции как отображения одного множества на другое было установлено в полемике о теории множеств, при обсуждении понятия взаимно однозначного соответствия. Это определение Дедекинда-Пеано введено ими соответственно в «Was sind und was sollen die Zahlen?» (1888) и «Sulla definitione di funzione» (1911) [3].