Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Министерство образования и науки республики Казахстан Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева Факультет информационных технологий Кафедра математики Курсовая работа

" Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца"

Петропавловск, 2007

Аннотация В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов пространств.

• Введение
• 1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции
• 2. Общие свойства интерполяционных пространств
• 3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
• 4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств
• Заключение
• Список использованной литературы
• Введение
• Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь функционального анализа сформировалась за последние 40−45 лет. Она играет все возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей построения совокупности «промежуточных» пространств — арены, на которой действуют «промежуточные» операторы. Основополагающий вклад в теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А. П. Кальдероном и С. Г. Крейном. При этом не следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали (и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции линейных операторов в пространствах l_p.
• Теория интерполяция также применяется в других областях анализа (например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе, теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции. Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц, соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы Рисса-Торина с ограничением p? q, которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог устранить ограничение p? q. В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума.
• 1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции
• Пусть (u, м) — пространство с мерой м, которую будем всегда предполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой м-меры. При этом обозначим через l_p(u, dм) или просто (l_p(dм), l_p(u) или l_p) лебегово пространство всех скалярнозначных м-измерных функций f и u, для которых величина
• конечна, здесь 1? p
• В случае, когда p=?, пространство l_p состоит из всех м-измеримых ограниченных функций. В этом случае
• Пусть T — линейное отображение пространства l_p=l_p(u, dм) в пространство l_q=l_q(v, dн). Это означает, что T (бf+вg)=бT (f)+вT (g).
• Если к тому же Tограниченное отображение, то есть если величина конечна, то пишут T: lplq.
• Число м называется нормой отображения T. Справедливы следующие известные теоремы:
• Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина)
• Предположим, что и что T: с нормой м₀ и T: с нормой м₁.
• Тогда T: ЃЁ с нормой м, удовлетворяющей неравенству (*), при условии, что 0<�и<1 и; .
• Неравенство (*) означает, что м как функция от и логарифмически выпукла, то есть lnм — выпуклая функция.
• Доказательство теоремы приведено в.
• Для скалярнозначной м-измерной функции f, принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m (у, f) по формуле
• Ясно, что m (у, f) представляет собой вещественнозначную функцию от у, определенную на положительной вещественной полуоси. Очевидно, что m (у, f) — невозрастающая и непрерывная справа функция. Кроме того,
• при 1? p
• и .
• Используя функцию распределения m (у, f), введем теперь слабые l_p-пространства, обозначаемые через. Пространства, 1? p
• В предельном случае p=?, положим .
• Заметим, что не является нормой при 1? p
• Действительно, ясно, что
• Применяя неравенство, заключаем, что
• Последнее означает, что представляет собой так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие от нормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника, в квазинормированных пространствах имеет место лишь «квази-неравенство треугольника» для некоторого k?1.) Однако, при p>1 в пространстве можно ввести норму, при наделении которой оно становится банаховым пространством.
• Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)
• Пусть p₀?p₁ и
• T: с нормой ,
• T: с нормой .
• Положим; , и допустим, что p? q.
• Тогда T: ЃЁ, с нормой м, удовлетворяющей неравенству .
• Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях.
• Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p? q. Наиболее важная особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства и заменены на более широкие пространства и .
• Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.

2. Общие свойства интерполяционных пространств

Пусть A — векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма), определенная на A, удовлетворяющая условием.

1), причем

2) (л-скаляр)

3) .

Пусть A и B — два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если

и .

Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.

Пусть A₀ и A₁ — топологических векторных пространства. Говорят, что

A₀ и A₁ совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A₀ и A₁, являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A₀ + A₁, и пересечение A₀?A₁. Сумма состоит из всех aU, представимых в виде a=a₀+a₁, где a₀A, и a₁A,

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A₀ и A₁-совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A₀?A₁, есть нормированное векторное пространство с нормой

A₀ + A₁, также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой

При этом если A₀ и A₁ — полные пространства, то A₀?A₁ и A₀ + A₁ также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория у состоит из объектов A, B, C…, и морфизмов R, S, T,… между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A? B.

Если T: A? B и S: B? C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A? C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T (SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из у существует морфизм I=I_A, такой, что для любого морфизма T: A? A TI=IT=T

Через у₁ обозначим категорию всех совместимых пар пространств из у.

Определение 2.1. Пусть =(A₀, A₁)-заданная пара из у₁. Пространство A из у будем называть промежуточным между A₀ и A₁ (или относительно), если имеют место непрерывные вложения.

.

Если, кроме, того T:? влечет T: A? A, то A называется интерполяционным пространством между A₀ и A₁.

Более общим образом, пусть и — две пары из у₁. Тогда два пространства A и B из у называются интерполяционными относительно и соответственно и T:? влечет T: A? B.

Если выполнено

В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа и (0?и?1), если

В случае с=1 говорят, что A и B — точные интерполяционные пространства типа и.

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц

Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство как множество всех наборов вида

a=(a₁, a₂,…, a_N)

с нормой

.

Множество Q={(k, l):k, l=1,…, N} назовем решеткой размерности N x N. Любое множество Q₀={(k_i, l_j):, } будет являться подрешеткой размерности r x m.

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве определяется следующим образом:

r (A)=,

где _k— собственные значения оператора A.

Пусть m? N, d₁,…, d_m — положительные числа. Через D_m обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…, d_m. Через P (A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AD_m. Если D={(k_i, l_j), i=1,…, q, j=1,…, p} подрешетка, содержащая P (A), то для соответствующего оператора А

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d₁,…, d_m и натуральное число m < N².

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d₁,…, d_m в решетке Q, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?

Пусть в неотрицательной решетке Q m положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d₁,…, d_m в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d₁,…, d_m положительные числа, D_m — класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d₁,…, d_m. Если m? N, Q₀ -произвольная подрешетка размерности 1 m, то

.

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d₁=…=d_m=d, то есть D_m — множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q₀ -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn, где n=min{r: r²? m}. Тогда

где [m^½] - целая часть числа m^½.

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AD_m

.

Пусть Q₁ -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности. Тогда для AD_m, Q₁P (A)Q₀ имеет место представление

А=А₁+А₀, где А₁, А₀D_m, Р (А₁)=Q₁, P (A₀)Q₁Q₀.

Учитывая, что матрицы А₀ и А₁ неотрицательны, получаем

поэтому r (A₀)?r (A).

С другой стороны А₁ — симметричная матрица и следовательно

.

Таким образом,

.

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GQ, где Q — решетка размерности nn таково, что, если (k, l) G, то (l, m),(n, k) G для всех n, m{1,2,…, N}.

Тогда, если P (A)G, то r (P (A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы, А с ненулевыми элементами из G (т.е. P (A)G) имеет место равенство А²=0, т. е. А — нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AD_m. Пусть Q₀ -минимальная подрешетка содержащая P (A), (Q₀P (A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть A_d — матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A₀={(i, j), i=1,…, l; j=1,…, m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i₀, j₀) вне решетки Q₀. Возможны три случая:

1) 1? i₀? l, j₀ > m;

2) i₀ > l, 1? j₀? m;

3) i₀ > l, j₀ > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a_1m=0. Получаем:

Используя неравенства

имеем:

Пусть z₁=x₁, z₂=x₂,…, z_m= и

тогда

где элемент имеет координаты (1,m).

Следовательно

Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что a_l1=0. Аналогично первому случаю имеем:

.

Используя неравенства

получаем:

.

Пусть z₁=y₁, z₂=y₂,…, z_m= и

тогда

где элемент имеет координаты (l, 1). Следовательно

Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что a_lm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:

где элемент имеет координаты (l, m).

Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1],.

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Пусть 1? p < ?, 1? q? ?. Определим семейство конечномерных пространств:

где невозрастающая перестановка последовательности. Обозначим черезмножество всех непустых подмножеств из {1,2,…N} Пусть M, 1? p < ?, 1? q? ?, множество M назовем сетью.

Определим семейство конечномерных пространств

|e| - количество элементов множества e.

При q=? положим

Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в.

Будем говорить что {A^N}? {B^N} если существует константа c, такая что для любого, где c не зависит от .

Лемма 4.1 Пусть 1? q 1? ?, 1? p? ?,. Тогда имеет место вложение

то есть

где с не зависит от выбора N.

Доказательство. Пусть

(1)

то есть ?

Теперь рассмотрим случай, когда 1? q 1< ?, и воспользуемся неравенством (1)

Лемма доказана.

Лемма 4.2 Пусть 1? p

1 1??. Тогда имеем место вложение

Доказательство.

Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p_{1 :}

Получаем:

Лемма доказана.

Лемма 4.3 Пусть 1

Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от.

Доказательство. Сначала докажем соотношение:

(2)

Заметим, что

Поэтому

Теперь покажем обратное неравенство. Пусть. Учитывая выбор имеем.

~

~

Заметим, что

Согласно (2) получаем:

то есть ?.

Докажем обратное включение. Пусть Введем следующие обозначения:

Тогда

.

Пусть для определенности

.

Возможны следующие случаи:

.

В первом случае получаем, что

.

Во втором случае, следовательно. Представим, тогда. Здесь и далее — целая часть числа .

Получаем

Заметим, что существует такое, что

Положим Тогда .

.

Таким образом, получаем

Из того, что

Имеем

То есть. Следовательно? где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств определим интерполяционные пространства аналогично .

Пусть, тогда

где

При q=?

Лемма 4.4 Пусть, d>1. Тогда

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть? p₀

1 0, q₁??, M — произвольная сеть. Тогда

где

Доказательство.

Учитывая, что? нам достаточно, доказать следующее вложение

Пусть Рассмотрим произвольное представление a=a₀+a₁, где

тогда

(3)

Так как представление a=a₀+a₁ произвольно, то из (3) следует

Где Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

лемму 4.4, получаем:

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1? p₀

1 0, q₁??, Тогда имеет место равенство

Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими N.

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

.

Определим элементы и следующим образом

тогда .

Заметим что

(4)

где

(5)

где

Тогда

Из (4) и (5) имеем:

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

~

где .

Таким образом, получаем, что Аналогично рассмотрим второе слагаемое:

~

~

~

Таким образом, получаем

где c не зависит от .

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть — матрица, тогда

~

Причем соответствующие константы не зависят от

Доказательство.

Воспользуемся эквивалентными представлением нормы и неравенством о перестановках, получим

~

где — невозрастающая перестановка последовательности

Применим неравенство Гельдера

Учитывая лемму 3, имеем

Обратно, пусть e произвольное множество из M₁,, где

Тогда

В силу произвольности выбора e из M₁ получаем требуемый результат.

Следствие. Пусть — матрица

p₀

1, q₀1, тогда

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что

Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем

то есть

С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем

Следствие доказано.

Заключение

В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.

Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров.

1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства.

Введение

М.: Мир, 1980.

2. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

3. Костюченко А. Г., Нурсултанов Е. Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. № 2, 1999. С. 475−491.

4. Костюченко А. Г., Нурсултанов Е. Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.

5. Нурсултанов Е. Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, № 3.-С.83−102.

6. Таджигитов А. А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, Россия, 2004, с. 177−178.

7. Таджигитов А. А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции «Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках», Петропавловск, 2004, с. 104−107.

8. Таджигитов А. А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2005», Астана, 2005, с. 41−42.