Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

Применение общей схемы к исследованию функций

В соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике раздел «Функции» включает следующие вопросы:

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Учащиеся должны уметь:

• — определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
• — строить графики изученных функций;
• — описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
• — решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
• — использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;
• — вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы;
• — исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа.

Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений — важнейший раздел темы «Производная и ее применение». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и др. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).

Приведем тематическое планирование раздела: «Применения производной» в соответствии с учебником Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10−11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.

Тематическое планирование.

№. урока.	Содержание учебного материала.
1,2.	Касательная к графику функции. Уравнение касательной.
3,4.	Производная в физике и технике. Механический смысл производной.
5−7.	Признак возрастания (убывания) функции.
8−10.	Критические точки функции, максимумы и минимумы.
11−13.	Примеры применения производной к исследованию функции.
14−16.	Наибольшее и наименьшее значения функции.
	Контрольная работа.

Изучение темы «Применение производной к исследованию функций» требует знания некоторых определений и теорем, которые изучались ранее. Эти сведения следует повторить до изучения темы: понятия возрастания и убывания функции на множестве, определение производной, ее геометрический смысл, в связи с этим — понятия касательной, углового коэффициента прямой, условие параллельных прямых.

В ходе решения задач ученикам понадобится находить производные функций, пользоваться известными графиками для построения графиков других функций. Повторить нужно и метод интервалов. Наконец, для усвоения понятия экстремума функции и доказательства соответствующих теорем надо вспомнить определение предела функции. Поскольку в дальнейшем обучении будет идти речь о необходимых и достаточных условиях, и эти понятия должны быть усвоены учащимися.

Признак возрастания (убывания) функции.

Одно из основных применений производной в школьном курсе алгебры и начал анализа? это исследование функций, в частности нахождение промежутков возрастания и убывания. Программой по математике сформулированы требования к усвоению этого материала? учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания (убывания) функций.

Для подготовки к сознательному усвоению формулируемого в теме достаточного признака возрастания (убывания) функции (до его введения) полезно рассмотреть учащимся геометрические иллюстрации, на которых показаны графики функций, имеющих разный характер изменения, а также касательные в точках, принадлежащих к промежуткам возрастания и промежуткам убывания функций. Анализируя расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определяя тем самым знаки значений производной, учащиеся подводятся к самостоятельному формулированию требуемых признаков.

Достаточный признак возрастания функции. Если в каждой точке интервала, то функция возрастает на .

Достаточный признак убывания функции. Если в каждой точке интервала, то функция убывает на .

Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа.

Учащимся необходимо разъяснить наглядный смысл признаков, который приводится из физических рассуждений.

Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени имеет ординату. Тогда скорость этой точки в момент времени равна. Если в каждый момент времени из промежутка, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если, то. Это означает, что функция возрастает на промежутке .

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции.

Решение: найдем производную функции (заметим, что она существует для всех):

.

Приравняем производную к нулю:, откуда .

При, следовательно, при, функция возрастает, а при, следовательно, при, функция убывает [3].

После рассмотрения темы на возрастание (убывание) функции, вводится понятие критической точки или экстремумов функции.

Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.

Теоретический материал этой темы составляет основу получения общего метода решения большого класса задач? задач на нахождение экстремумов функций. На этапе, где рассматривается общая схема исследования функции, у учащихся еще не было метода нахождения точек экстремума. В данной теме рассматривается необходимый признак экстремума (Теорема Ферма) и достаточный признак максимума и минимума. После изучения темы каждый учащийся должен уметь находить экстремумы функций.

• 1. Для активного восприятия учащимся нового материала целесообразно повторить понятие точек экстремума и понятие экстремума.
• 2. Используя таблицу с рисунками (графиками функций), с помощью системы наводящих вопросов можно подвести учащихся к самостоятельному формулированию (к упрощенной формулировке) признаков максимума и минимума функции:
• 1) Укажите точки максимума и минимума функции.
• 2) Определите знак значений производной функции в промежутке слева от точки максимума (минимума).
• 3) Определите знак значений производной функции в промежутке справа от точки максимума (минимума).
• 4) Как меняется знак производной при прохождении через точку максимума (минимума)?

Доказательство признаков максимума и минимума функции необходимо проводить с привлечением учащихся.

Рассмотрим определение критической точки:

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых она равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции. Рассмотрим соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма.

Необходимое условие экстремума. Если точка является точкой экстремума функции, то она равна нулю: .

Важно отметить, что теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке не имеет.

Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует.

Пример 1. Рассмотрим функцию. Эта функция не имеет производной в точке 0. Значит, 0? критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Пример 2. Точка 0 для функции не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции. Если функция непрерывна в точке, а на интервале и на интервале, то точка является точкой максимума функции .

Учащимся удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция непрерывна в точке, на интервале и на интервале, то точка является точкой минимума функции .

Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка минимума [2].

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение: область определения заданной функции есть множество всех действительных чисел. Найдем критические точки функции, для чего решим уравнение .

Так как, то имеем, откуда .

Исследуем знак производной функции на всех промежутках, на которые стационарные точки разбили множество. При, при, а при. Итак, — точка максимума функции, а — точка минимума функции.

С учащимися необходимо рассмотреть тему на наибольшее и наименьшее значение функции, обращая особое внимание на тот факт, что наибольшее (наименьшее) значение функции не является максимумом (минимумом) функции.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т. е. существуют точки отрезка, в которых принимает наибольшее и наименьшее на значения.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

на отрезке .

Решение: запишем выражение для функции в более удобном виде, воспользовавшись для этого свойством четности функции косинуса.

Найдем.

Найдем значения аргумента, при которых, для чего решим уравнения и. Имеем следующую совокупность решений.

Отрезку принадлежит только три решения уравнения .

Действительно, длина заданного в условии задачи отрезка меньше, то есть меньше разности каждой из трех арифметических прогрессий, записанной выше совокупности решений, поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждого семейства.

Так как функция возрастает на своей области определения, то, то есть, откуда следует, что. То есть отрезку принадлежат и .

Находя значения и сравнив их, находим, что на отрезке функции имеет наибольшее значение, а наименьшее значение.

Теоретический материал, который требуется для изучения исследований функций с помощью производной уже известен учащимся. В данной теме фактически систематизируются знания учащихся, относящиеся к вопросам нахождения промежутков возрастания (убывания) и экстремумов, показывается общий метод получения результатов. Таким образом, изучение этой темы завершает рассмотрение теоретических вопросов, связанных с исследованием функций. Все положения, которые нужно отразить в решении задания на исследование, имеют теоретические обоснования, общие методы решения.

В ходе изучения этой темы учащиеся должны научиться проводить исследование функций по общей схеме и строить их графики. Построения графика функции необходимо начинать с исследования функции, которое состоит в том, что для данной функции:

• 1) находят ее область определения;
• 2) выясняют, является ли функция четной или нечетной, является ли периодической;
• 3) точки пересечения графика с осями координат;
• 4) промежутки знакопостоянства;
• 5) промежутки возрастания и убывания;
• 6) точки экстремума и значения в этих точках;
• 7) исследуют поведение функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю ;

На основании такого исследования строится график функции.

Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.

Пример 1. Исследуем функцию и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме.

• 1), так как — многочлен.
• 2) Функция не является ни четной, ни нечетной
• 3) График пересекается с осью ординат в точке чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение, один из корней легко найти. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Промежутки знакопостоянства не находим.
• 4) Найдем производную функции :

поэтому критических точек, для которых не существует, нет.

Заметим, что, если, т. е. при значениях аргумента, равных 0,-1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки.

Пример 2. Исследовать функцию.

• 1)
• 2) Функция четная, исследование ее можно проводить на промежутке .

• 3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решим уравнение. Пусть тогда уравнение примет вид: или, т. е. или, не имеет решения. Получили две точки пересечения с осью абсцисс. График пересекает ось ординат в точке .
• 4) Найдем производную функции
• 5) Найдем критические точки функции:
  • а), если, , или, или
  • б) определена на всей

Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по исследованию функций.

Исследуйте функцию и постройте ее график:

• 1)
• 2)

• 3)
• 4)
• 5)

После изучения данной темы учащимся предлагается контрольная работа.

Контрольная работа по теме «Производная и ее применение».

I вариант.

• 1. Дана функция. Найдите:
  • а) промежутки возрастания и убывания функции;
  • б) точки экстремума;
  • в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
• 2. Постройте график функции .
• 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
• 4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ?
• 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

II вариант.

• 1. Дана функция. Найдите:
  • а) промежутки возрастания и убывания функции;
  • б) точки экстремума;
  • в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
• 2. Постройте график функции .
• 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
• 4. В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой ?

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [10].