Пропорциональные величины. 
Элементарные функции и их графики

Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x,.

где k — постоянная величина (коэффициент пропорциональности).

График прямой пропорциональности — прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол, тангенс которого равен k: tan = k (рис. 1). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис. 8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = ?3.

Рис. 1

Линейная функция

Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C,.

Где, по крайней мере, одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае — нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис. 2.

Рис. 2

Обратная пропорциональность

Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x,.

где k — постоянная величина.

График обратной пропорциональности — гипербола (рис. 3). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис. 3, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы:

xy = k.

Рис. 3

Основные характеристики и свойства гиперболы:

• — область определения функции: x 0, область значений: y 0;
• — функция монотонная (убывающая) при x 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему);
• — функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
• — нулей функция не имеет.