Аксиомы разумного выбора

Сформулируем определенные требования к функциям выбора, которые можно назвать аксиомами разумного выбора. Как будет показано в следующих разделах, при выполнении этих требований всегда имеет место принцип Эджворта—Парето. Тем самым, аксиомы разумного выбора выделяют определенный достаточно широкий класс многокритериальных задач, в которых успешный выбор обязательно должен осуществляться в пределах множества Парето. Это означает, для указанного класса задач оптимальность по Парето является необходимым условием приемлемости выбираемых вариантов. Тогда как за пределами этого класса (т. е. тогда, когда хотя бы одна из аксиом разумного выбора нарушается) наилучший выбор не обязан быть парето-оптимальным.

Аксиома 1. Для любых трех вариантов y?, y??, y???, удовлетворяющих равенствам Sel ({y?, y??}) = {y?} и Sel ({y??, y???}) = {y??}, всегда выполняется Sel ({y?, y???}) = {y?}.

Аксиома 1 устанавливает определенную естественную последовательность (логичность) в ходе осуществления выбора. Это свойство на языке бинарных отношений предпочтения носит название транзитивности.

Следует однако заметить, что при определенных обстоятельствах поведение человека, осуществляющего выбор, может оказаться несовместимым с аксиомой 1. Дело в том, что человек не всегда ведет себя разумно! Специалистам в области принятия решений давно известны случаи нарушения некоторыми индивидами свойства транзитивности, когда из трех предлагаемых решений первое предпочитается второму, второе предпочитается третьему, но при выборе из первого и третьего предпочтение отдается не первому, а третьему решению.

Пример 8. Рассмотрим задачу выбора из трех возможных претендентов на два вакантных рабочих места. При этом считается, что согласно имеющимся требованиям оба вакантных места обязательно должны быть заполнены. Предположим, что при сравнении претендентов выяснилось, что первый из них является предпочтительнее второго и третьего, а второй предпочтительнее третьего. Поскольку согласно условию из трех кандидатов обязательно следует выбрать двоих, то, очевидно, ими окажутся первый и второй. Таким образом, второй претендент в паре из первых двух уступает первому (так как первый предпочтительнее второго). Тем не менее, из всего множества трех претендентов он оказывается выбранным. Следовательно, аксиома исключения доминируемых решений здесь нарушается.

Аксиома 2. Для любых двух вариантов y?, y??, таких, что.

y? = (),.

y? = (), ,.

всегда выполняется равенство Sel ({y?, y??}) = {y?}, i =1,2, …, m .

Согласно аксиоме 2 вариант (и только этот вариант), являющийся более предпочтительным по какой-то одной компоненте по сравнению с другим вариантом при прочих равных условиях (т. е. при совпадении всех остальных компонент) обязательно будет выбран из данной пары.

Определение 1. Условимся говорить, что i-й критерий независим по предпочтению от остальных критериев, если из выполнения для некоторых двух вариантов и, s? t, принадлежащих множеству и связанных соотношением Sel ({a, b}) = {a}, всегда следует равенство Sel ({a?, b?}) = {a?}, в котором варианты и образованы с помощью произвольных компонент, удовлетворяющих включению a?, b?.

Утверждение. Если выполнена аксиома 2, то каждый критерий независим по предпочтению от остальных.

Доказательство. Зафиксируем произвольный номер i{1,2,…, m} .

Пусть по условию для некоторых a, b имеет место равенство Sel ({a, b}) = {a}. Благодаря s? t и слабой связности отношения, могут иметь место лишь два случая: t s или st. Первый из них на самом деле невозможен, так как тогда на основании аксиомы 2 выполнялось бы равенство Sel ({a, b}) = {b}, противоречащее условиям Sel ({a, b}) = {a} и a? b. Во втором случае согласно той же аксиоме 2 равенство Sel ({a?, b?}) = {a?} всегда будет выполнено для всех a?, b? из определения 1. Утверждение доказано.

Аксиомы 1?2 накладывают определенные ограничения на функцию выбора в пределах всего множества, тогда как следующая аксиома относится к выбору из фиксированного подмножества вариантов.

Зафиксируем некоторое непустое подмножество, которое будем называть множеством возможных вариантов.

Всюду далее будем считать, что Sel (Y)?. Это означает, что какой-то выбор из множества возможных вариантов Y обязательно должен быть произведен. При этом выбранными могут оказаться один, несколько или же бесконечное число вариантов.

Аксиома 3. Для любой пары вариантов y?, y?? Y, y?? y??, таких, что Sel ({y?, y??}) = {y?}, всегда выполняется y?? Sel (Y) .

Аксиома 3 требует, чтобы вариант, не выбираемый в некоторой паре, не выбирался и из всего множества возможных вариантов Y .

Эта аксиома определенным образом связана с обратным условием Кондорсе [Айзерман и др. 1990], которое формулируется следующим образом:

y? Sel (Y) y?? Sel ({y?, y??}) для всех y? Y.

Заметим, что включение y?? Sel ({y?, y??}) в общем случае не исключает возможности y? Sel ({y?, y??}).

Очевидно, обратное условие Кондорсе для множества Y может быть переписано в эквивалентной форме:

y??Sel ({y?, y??}) для некоторого y? Y y?? Sel (Y),.

где y?? Y. Сравнивая аксиому 3 с импликацией (1) и принимая во внимание, что.

Sel ({y?, y??}) = {y?}, y?? y? y?? Sel ({y?, y??}),.

можно сделать вывод о том, что выполнение обратного условия Кондорсе влечет справедливость аксиомы 3, но не наоборот.